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2020届高考数学压轴题跟踪训练31. (本小题满分12分)已知常数a 0, n为正整数,f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性,并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n a时, 有:(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |,所以p( x)不满足题设条件.(2)分三种情况讨论:10. 若u ,v 1,0,则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |,满足题设条件;20. 若u ,v 0,1, 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|,满足题设条件;30. 若u1,0,v0,1,则: |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|,满足题设条件;40 若u0,1,v1,0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x 1)的图象上,且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证:| ac | 4;(2) 求证:在(1,+)上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.证:(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 , c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 x1 x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1时,f ( x )单调递增.(3)(仅理科做)f ( x )在x 1时单调递增,| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4(本小题满分15分)设定义在R上的函数(其中R,i=0,1,2,3,4),当x= 1时,f (x)取得极大值,并且函数y=f (x+1)的图象关于点(1,0)对称(1) 求f (x)的表达式;(2) 试在函数f (x)的图象上求两点,使这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间上;(3) 若,求证:解:(1)5分 (2)或10分 (3)用导数求最值,可证得15分5(2020年福州上学期期末)(本小题满分13分)设M是椭圆上的一点,P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点,N为椭圆C上异于M的另一点,且MNMQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E的轨迹方程解:设点的坐标则1分 3分 由(1)(2)可得6分 又MNMQ,所以 直线QN的方程为,又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.13分
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