2020届高考数学压轴题跟踪训练10

2020届高考数学压轴题跟踪训练101（本小题满分14分）设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2（2020年冀州二模）（本小题满分12分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设是方程的两个不同的根， 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=1，代入得，的取值范围是（12，+）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意，N（1，3）是AB的中点， 又由N（1，3）在椭圆内，的取值范围是（12，+）.直线AB的方程为y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程的两根，于是由弦长公式可得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程得 同理可得 当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左边由和知，式右边式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得 解和式可得 不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）3（本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取N=1024，可使当nN时，都有