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阶段性测试题十二(算法初步、推理与证明、复数)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(文)(2020辽宁文)i为虚数单位,()A0B2iC2i D4i答案A解析本题考查了复数的定义及其运算,等比数列前n项和公式的应用,并考查了多种方法灵活处理问题的能力法1:i21,i3i,i5i,i7i,原式0.法2:把原式看成是以为首项,以为公比的等比数列的前4项和即原式0.(理)(2020辽宁理)a为正实数,i为虚数单位,|2,则a()A2 B.C. D1答案B解析本小题考查内容为复数的运算与复数的模的求法|1ai|2,a.2(2020大纲全国卷理)复数z1i,为z的共轭复数,则zz1()A2i BiCi D2i答案B解析本小题考查的内容是复数的概念与运算1i,zz1(1i)(1i)(1i)1i.3(2020新课标理)执行下面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是()A120 B720C1440 D5040答案B解析当输入的N是6时,由于k1,p1,因此ppk1.此时k1,满足k6,故kk12;当k2时,p12,此时满足k6,故kk13;当k3时,p123,此时满足k6,故kk14;当k4时,p1234,此时满足k6,故kk15;当k5时,p12345,此时满足k6,故kk16.当k6时,p123456720,此时k9,故运行输出结果为10.13(2020安徽理)如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是_答案15解析由TTk可知T是一个累加变量,原题实质为求123k的和,其和为,令105,得k14,故当k15时,T12315120105.此时输出k15.14(2020咸阳调研)已知点An(n,an)为函数y的图像上的点,Bn(n,bn)为函数yx图像上的点,其中nN*,设cnanbn,则cn与cn1的大小关系为_答案cncn1解析解法1:an,bnn,cnn,随n的增大而减小,为减函数,cn11,cncn1.15(文)(2020唐山模拟)方程f(x)x的根称为f(x)的不动点,若函数f(x)有唯一不动点,且x11007,xn1(nN),则x2020_.答案2020解析由x,得ax2(2a1)x0,f(x)有唯一不动点,2a10,即a,f(x),xn1xn.x2020x12020100710062020.(理)自然数按下表的规律排列则上起第15行,左起第16列的数为_答案240解析经观察可得这个自然数表的排列特点:第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;第一行第n个数为(n1)21;第n行从第1个数至第n个数依次递减1;第n列从第1个数至第n个数依次递增1.则上起第15行,左起第16列的数应为第16列的第15个数,即为(161)21141521141516240.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2020上海理)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.解析(z12)(1i)1iz12i设z2a2i,aR,则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i,z1z2R,a4,z242i.17(本小题满分12分)(2020合肥模拟)给出以下10个数:5,9,80,43,95,73,28,17,60,36,要求把大于40的数找出来并输出,试画出该问题的程序框图分析题目给出了10个数字,将大于40的数找出来解答本题先确定使用循环结构,再确定循环体解析程序框图如图所示:点评设计程序框图,首先由题意选择合适的结构,再确定本结构需要的条件18(本小题满分12分)设复数zlg(m22m2)(m23m2)i,当实数m取何值时(1)z是纯虚数(2)z是实数(3)z对应的点位于复平面的第二象限解析(1)由题意知解得m3.所以当m3时,z是纯虚数(2)由m23m20,得m1或m2,又m1或m2时,m22m20,所以当m1或m2时,z是实数(3)由即解得:1m1或1m3.所以当1m1或1m3时,z对应的点位于复平面的第二象限19(本小题满分12分)求证关于x的方程ax22x10至少有一个负根的充要条件是a1.分析需证明充分性和必要性证充分性时,可分a0,a0和0a1三种情况证明;证必要性,就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件. 证明充分性:当a0时,方程为2x10,其根为x,方程有一个负根,符合题意当a0,方程ax22x10有两个不相等的实根,且0,方程有一正一负根,符合题意当0a1时,44a0,方程ax22x10有实根,且,故方程有两个负根,符合题意综上知:当a1时,方程ax22x10至少有一个负根必要性:若方程ax22x10至少有一个负根当a0时,方程为2x10符合题意当a0时,方程ax22x10应有一正一负或两个负根则0或.解得a0或00时,不等式成立;当x0时,8x30,而(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)(x1)2(x21)(x)20.此时不等式仍然成立21(本小题满分14分)(2020贵阳一模)已知数列an中,Sn是它的前n项和,并且Sn14an2(n1,2,),a11.(1)设bnan12an(n1,2,),求证:数列bn是等比数列;(2)设cn(n1,2,),求证:数列cn是等差数列;(3)(理)求数列an的通项公式及前n项和公式解析(1)证明:Sn14an2,Sn24an12,两式相减,得Sn2Sn14an14an(n1,2,),即an24an14an,变形得an22an12(an12an)bnan12an(n1,2,),bn12bn.由此可知,数列bn是公比为2的等比数列(2)证明:由S2a1a24a12,a11,a25,b1a22a13,由(1)知bn32n1,又cn.cn1cn.将bn32n1代入得cn1cn(n1,2,)由此可知,数列cn是公差d的等差数列(3)解:由(2)得:c1,故cnn.cnn(3n1),an2ncn(3n1)2n2(n1,2,)当n2时,Sn4an12(3n4)2n12.由于S1a11也适合于此公式,所以an的前n项和公式为Sn(3n4)2n12.
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