2020届高中数学二轮总复习 综合训练（一） 理 新课标(湖南专用)

2020届高中数学二轮总复习 综合训练（一） 理 新课标(湖南专用)时量：50分钟满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1.已知向量a(sinx，)，b(cosx，1)(1)当ab时，求2cos2xsin2x的值；(2)求f(x)(ab)b在，0上的值域解析：(1)因为ab，所以cosxsinx0，所以tanx.所以2cos2xsin2x.(2)因为ab(sinxcosx，)，所以f(x)(ab)bsin(2x)因为x0，所以2x，所以1sin(2x)，所以f(x).所以函数f(x)的值域为，2.某外资企业计划从应届毕业的大学生中招聘从事外贸翻译工作的人员，现有若干人进入应聘面试阶段，他们至少精通英语和日语中的一种语言，已知精通英语的有5人，精通日语的有2人现从中随机选2人，设X表示选出的2人中既精通英语又精通日语的人数，且P(X0).(1)求进入应聘面试阶段的人数；(2)求X的分布列和数学期望EX.解： (1)设既精通英语又精通日语的人数为x，则进入应聘面试阶段的人数为7x人，只精通一种语言的人数为72x人由题设P(X0)P(X1)1P(X0)，所以P(X0)，因此，解之得x2.故进入应聘面试阶段的人数为5人(2)由题设X的可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).则X的分布列如下表：X012PEX012.3.在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值；(3)在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为PCB的外心若存在，试确定点G的位置；若不存在，说明理由解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，P(0,0，a)，F(，)(1)证明：因为(，0，)，(0，a,0)，所以(，0，)(0，a,0)0，所以EFCD.(2)设平面DEF的一个法向量为n(x，y，z)，则，即，取x1，则y2，z1，所以n(1，2,1)设BD与平面DEF所成的角为，则sin|cos，n|，所以BD与平面DEF所成角的正弦值为.(3)假设存在点G满足题意因为G平面PAD，可设G(m,0，n)因为(a,0,0)(0，a，a)0，所以BCPC.在RtPBC中，因为F为斜边PB的中点，所以F(，)为RtPBC的外心又(m，n)，由FG平面PCB，有(m，n)(a,0,0)a(m)0，得m.(m，n)(0，a，a)a(n)0，得n0.所以存在点G，其坐标为(，0,0)，即G为AD的中点4.某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区已知ABBC，OABC且ABBC2AO4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在OC上，问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积S最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图所示依题意可设抛物线方程为y22px(p0)且C(4,2)因为222p4，所以p.所以曲线段OC的方程为y2x(0x4，y0)设P(y2，y)(0y2)是曲线段OC上任意一点，则在矩形PQBN中，|PQ|2y，|PN|4y2，所以工业园区面积S|PQ|PN|(2y)(4y2)y32y24y8.又S3y24y4，令S0，得y1，y22.因为0y2，所以y.当y0，)时，S0，S是y的增函数；当x(，2)时，S0，S是y的减函数所以，当y时，S取得极大值，此时|PQ|2y，|PN|4y2，故S9.5(km2)因为y0时，S8，所以Smax9.5(km2)答：当矩形的长为 km，宽为 km时，工业园区的用地面积最大，且最大面积约为9.5 km2.