高中数学《平面直角坐标系中的基本公式》如何避免直线问题中的斜率讨论文字素材 新人教B版必修2

如何避免直线问题中的斜率讨论直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，很多利用直线斜率解决的问题，都要分斜率存在与不存在两种情况讨论如果你轻视斜率不存在这种特殊情况，往往会导致错误；如果你避免设斜率而求解，有时又可能会出现妙解下面介绍几种避免对直线斜率讨论的方法.一巧设直线方程如果所求直线可能涉及到斜率不存在的情况，则可以将过点(x0，y0)的直线方程设为xx0m(yy0)，则可以避免对斜率的讨论.例1求经过点(5，10)，且与原点的距离为5的直线方程.解析：设x5m(y10)，即xmy510m0，则由点到直线的距离公式，得5，解得m或m0,故所求直线的方程为3x4y250或x5.点评：从所求出的两个m的值可以发现m0对应的情形就是所求直线的斜率不存在的情形.二数形结合法在直线方程的五种基本形式中，如果利用选用点斜式或斜截式方程，则还须对直线不存在的情况进行补充.在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会更加完备.例2直线l经过点P(1，2)，且与两点M(2，3)、N(4，5)的距离相等，求直线l的方程.解析：因为M、N到直线l的距离相等，所以lMN或经过MN的中点，如图所示.而kMN，且MN的中点坐标为(1，1)，当lMN时，直线l的方程为4x3y20，当l经过MN的中点时，直线l的方程为x1，综上所述，所求直线l的方程为4x3y20或x1.点评：本题若按常规解法，则应当考虑所求直线的斜率是否存在，存在时直接设直线的点斜式方程.三、利用向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件坐标形式：若(x1，y1)，(x2，y2)，则0x1x2y1y20.对于两条直线互相垂直的问题，如果能根据直线上两点分别确定出所在直线的一个向量，则利用向量垂直的条件可快速求解.例3已知C(a，b)(ab0)是一定点，过C作两条互相垂直的直线l1与l2，其中l1交x轴于A，l2交y轴于B，求证：线段AB的中点M在一条定直线上.解析：如图，设点M(x，y)，由中点坐标公式，得A(2x，0)，B(0，2y)，则(a2x，b)，(a，b2y)，a(a2x)b(b2y)0，整理，得2ax2bya2b20，即点M在一条定直线上.点评：由于题设条件中有一已知点C，则易考虑利用点斜式方程来解决，但考虑对直线l1与l2的斜率是否存在进行分类讨论，而利用向量垂直的充要条件解答，奇妙无比.四、利用直线系方程主要的直线系方程：(1)与直线AxByC0平行的直线系为：AxBy0(为参数)；(2)与直线AxByC0垂直的直线系为：BxAy0(为参数)；(3)过已知两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系为程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(除去l2).例4求过点(3，5)且与直线3mx(m5)y3m70垂直的直线方程.解析：依题意，设所求直线方程为(m5)x3myC0，将点(3，5)代入所求方程，得(m5)33m5C0，解得C12m15.故所求直线方程为(m5)x3my12m150.点评：解此类问题时，当已知直线的斜率确定时，可根据已知直线的斜率写出所求直线的方程；当已知直线的斜率不确定，方程中含有参数时，为了避开讨论，常常通过利用直线系方程来解决.本题若按利用斜率间关系求解，则必须同时考虑已知直线与所求直线的斜率是否存在的情况，其过程较繁.五利用两条直线平行与垂直的充要条件已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则(1)l1l2的充要条件是A1B2A2B10，且A1C2A2C1，B1C2B2C1中至少一个不等于零；(2) l1l2的充要条件是A1B2A2B10.例5已知直线l1：x2my30与直线l2：(3m1)xmy50互相平行，求实数m的值.解析：由A1B2A2B10，得m1(3m1)2m0，即m(6m1)0，解得m0或m.当m0时，A1C2A2C151(3m1)(3)20，l1l2.当m时，B1C2B2C152m(m)(3)0，l1l2.所以m的取值为0和.点评：如果利用两条平行直线之间的斜率关系解答，则须考虑两条直线的斜率是否存在，而利用两条直线平行的充要条件可避开.六、利用“设而不求”法“设而不求”就是指在解题过程中，根据题目的要求设出相关的量对应的未知数，但整个过程中并不需要求出这些未知数就可以使问题顺利解决.例6已知一条直线l被两条平行直线l1：3x4y70和l2：3x4y80所截得的线段长为，且经过点(2，3)，求直线l的方程.解析：设直线l1与l1l2的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两个方程相减，得3(x2x1)4(y2y1)150，即y2y1(x2x1)，由|AB|，得(x2x1)2(y2y1)2()2，所以(x2x1)2(x2x1)2()2，即5(x2x1)218(x2x1)0，解得x2x10或x2x1.由x2x10，得所求直线方程为x2，由x2x1，得y2y1，所以所求直线的斜率为，直线方程为7x24y580.综上知，所求直线的方程为x2或7x24y580.点评：本题通过利用设而不求将x2x1与y2y1作为整体求解，进而确定所求直线的斜率，这种方法是解析几何中常用的手段和技巧.“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.