陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 典型例题函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象分析素材 北师大版必修4（通用）

函数图象例题分析例1由图414所示函数图象，求yAsin（x）图414（）的表达式.选题意图：考查数形结合的思想方法.解：由图象可知A2又（，0）为五点作图的第一个点因此2（）0，因此所求函数表达式为y2sin(2x)说明：在求yAsin（x）的过程中，A由函数的最值确定，由函数的周期确定，可通过图象的平移或“五点法”作图的过程确定.图415例2函数yAsin(x）（）的图象如图415，求函数的表达式.选题意图：考查数形结合的思想方法.解：由函数图象可知A1函数的周期为T23（1）8，即8又(1，1)为“五点法”作图的第二个点即（1），所求函数表达式为ysin（x）说明：如果利用点(1，1)，（1，0），（3，1）在函数yAsin（x）的图象上，得到，则很难确定函数关系式中的A、.例3如图416，已知函数y2sin(x)(的图象，那么A.， B.，C.2， D.2，选题意图：考查数形结合的思想方法.解：由(0，1)点在函数的图象上，知2sin1，又又(，0)是“五点法”作图的第五个点因此2，解得2.答案：C说明：在本题求的过程中，若利用(，0)在图象上，即sin（）0，则求出2或，很难判断我们所要选择的答案，因此图象上点的坐标适合关系式一定要慎重使用.例4画出函数，的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到此函数的图像解：函数的周期T=，先画出它在长度为的闭区间上的简图列表X0202020描点画图：描点，连接，根据这五个关键点画出函数的简图（图4-37）利用函数的周期性，可以把得到的在闭区间上的简图向左，右分别扩展，从而得到函数：R的简图函数R的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到：（1）先把的图像上所有的点向右平行移动个单位，得到的图像；再把的图像上的所有的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到的图像（2）先把函数的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图像；再把的图像上所有的点向右平行移动个单位，得到的图像评析：比较函数的图像和图像，容易发现，对于的图像上每一点，在的图像上总存在唯一一点和它对应，因此，R的图像可以看作是先把正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）再把所得各点向右平行移动个单位长度而得到变换的次序可以改变一般有，函数R，的图像，可以看作是用下面的两种方法得到的：（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当时）时或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当）到原来的A倍（横坐标不变）（2）先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当）到原来的A倍（横坐标不变），再把所得各点向左（当）时）或向右（当时）平行移动个单位长度例5画出函数R的简图，并说明由正弦曲线经过怎样的变换得到该函数的图像解：函数的周期，先画出它在长度为的闭区间上的简图列表：X0201010描点画图：描点、连接，根据五个关键点画出函数的简图，如图4-38所示利用函数的周期性，把它在上的简图向左、右分别扩展，就得到函数R的简图函数R的图像可以由正弦曲线经过下面的两种方式的变换得到：（1）先把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像；再把的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像（2）先把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像；再把的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像评析：比较函数的图像与的图像，不难看出，对于的图像上每一点，在的图像上总存在唯一一点和它对应，因此的图像，可以看作是先把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）再把所得各点向左平行移动个单位而得到的（变换次序可以改变）注意：在由的图像变换成的图像时，因为中的与2x中的x相对应，所以平移的是个单位，而不是个单位（这里是学生经常出现错误的地方，必须设法避免）一般地，函数R的图像，可以看作是用下面两种方法得到的：（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）（2）先把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度说明：讲例2和例3两题的目的有二：一是把本节课的知识引伸，二是为下节课作好准备，这样处理教学内容虽然本节课的难点增加了，难度加大了，但下一节课的难点分散了，难度降低了，实践证明这样做可以收到较好的教学效果，便于学生理解和掌握例6将余弦曲线上每一点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，再将所得图像向右平移个单位，所得函数图像的一个解析式为_解一：先把的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图像；再把的图像上所有的点向右平移个单位，得到的图像所求的解析式为解二：先把的图像上的所有的点向右平移个单位，得到的图像；再把的图像上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，因此所求的解析式为.例7把函数的图像上的每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位，所得到的曲线的解析式为，求的一个解析式分析：这个问题实际上是对的图像实施逆向变换得到的图像解：先把曲线上所有的点向右平移个单位，得到曲线；再把曲线上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）以，得到曲线因此，所求解析式为例8将正弦函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，所得图像的解析式为_解：先把的图像向左平移个单位，得到的图像，再把的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图像因而所求的解析式为.例9为了由函数的图像得到函数的图像，只要将函数的图像 ( )（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位解一：将的图像向左平移个单位，得到的图像；再将的图像向左平移个单位，得到的图像于是，把的图像向左平移个单位，就得到的图像故选（A）解二：令 得令 得点和点是函数的图像上和函数的图像上的对应点，平移方向从点点，所以向左平移个单位例10说明函数的图像经过怎样的变换就得到函数的图像分析：因为由的图像变换到函数的图像有如下两种方法（1）把函数的图像上所有的点向右平移个单位，再把所得各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），就得到函数的图像（2）把函数的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平移个单位，就得到函数的图像分别作以上两种方法的逆向变换，就可以得到由函数的图像变换成函数的图像的方法解：（1）把函数的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点向左平移个单位，就得到的图像（2）把函数的图像上所有的点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图像评析：用作逆向变换的方法，可以得到由函数R的图像及函数R的图像变换到正弦曲线R的方法这可让学生叙述说明：以上例题的讲解，都要注意以下几点：让学生体会得三个参数中有两个变化就引起图像进行两种变换，进一步强化每个参数对图像变化的影响；讲例题时仍然要坚持“数形结合”的思想，强化学生的“数”与“形”的相互联系相互制约的意识；让学生掌握凡是用“图像变换法”画出的图像和解出的问题是否正确，都可以用“五点法”的方法进行检验