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专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积真题试做1(2020湖南高考，文4)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()图12(2020天津高考，文10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3.3(2020湖北高考，文15)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_4(2020湖北高考，文19)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理已知AB10，A1B120，AA230，AA113(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？考向分析通过对近几年高考试题的分析可看出，空间几何体的命题形式比较稳定，多为选择题或填空题，有时也出现在解答题的某一问中，题目常为中、低档题考查的重点是直观图、三视图、面积与体积等知识，此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题交会，是每年的必考内容预计在2020年高考中：对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过此类题考查考生的空间想象能力；对表面积和体积的考查，常见形式为蕴涵在两几何体的“切”或“接”形态中，或以三视图为载体进行交会考查，此块内容还要注意强化几何体的核心截面以及补形、切割等数学思想方法的训练热点例析热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧(左)视图为()(2)若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是()规律方法 (1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点正(主)视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正(主)视图对正，画在正(主)视图的正下方；侧(左)视图要画在正(主)视图的正右方，高度要与正(主)视图平齐；(2)要注意到在画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线；(3)平面图形与立体图形的实物图与直观图之间的关系如下表：图形实物图直观图平面图形水平放置的平面图形直观图(斜二测画法，即平行于x轴的线段长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来长度的一半)设其面积S直观图面积为S由直观图求原图形元素间的关系，利用逆向思维，寻求突破口立体图形空间几何体直观图(只比平面图形的直观图多画了一个z轴且其长度不变)变式训练1 (1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A32 B1616C48 D1632(2)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A. B1C1 D2热点二空间几何体的表面积与体积【例2】(2020福建高考，文20)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积规律方法 (1)求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地考虑对于规则的几何体的体积，如求三棱锥的体积，采用等体积转化是常用的方法，转化的原则是其高与底面积易求；对于不规则几何体的体积常用割补法求解，即将不规则几何体转化为规则几何体，以易于求解(2)求解几何体的表面积时要注意S表S侧S底(3)对于给出几何体的三视图，求其体积或表面积的题目关键在于要还原出空间几何体，并能根据三视图的有关数据和形状推断出空间几何体的线面关系及相关数据，至于体积或表面积的求解套用对应公式即可变式训练2 已知某几何体的三视图如下图所示，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A24 B24C24 D24热点三多面体与球【例3】已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积规律方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)若球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，则4R2a2b2c2，把有关元素“补形”成为一个球内接正方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法变式训练3 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD底面ABCD，且PDa，PAPCa.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是_思想渗透立体几何中的转化与化归思想求空间几何体的体积时，常常需要对图形进行适当的构造和处理，使复杂图形简单化，非标准图形标准化，此时转化与化归思想就起到了至关重要的作用利用转化与化归思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等体积法，具体运用如下：(1)补法是指把不规则的(不熟悉或复杂的)几何体延伸或补成规则(熟悉的或简单的)的几何体，把不完整的图形补成完整的图形；(2)割法是指把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体；(3)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件转化为易求的面积(体积)问题【典型例题】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且EGBB1.由直棱柱知，AA1BB1.而D是AA1的中点，所以EGAD，所以四边形EGAD是平行四边形，所以EDAG.又DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(2)解：因为ADBB1，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBCEVABCEVEABC.由(1)知，DE平面ABC，所以VEABCVDABCADBCAG36412.1(2020山东济南三月模拟，4)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正(主)视图如图所示，则此三棱柱侧(左)视图的面积为()A2 B4 C. D22(2020安徽安庆二模，7)一空间几何体的三视图如图所示(正(主)、侧(左)视图是两全等图形，俯视图是圆及圆的内接正方形)，则该几何体的表面积是()A7 cm2B(54)cm2C(52)cm2D(622)cm23(2020北京丰台区三月月考，4)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A202B20C40D404(2020湖南株洲下学期质检，14)一个三棱锥的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如下，则这个三棱锥的体积为_，其外接球的表面积为_5已知正四面体的外接球半径为1，则此正四面体的体积为_6正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为_7如图，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合，求形成三棱锥的外接球的体积参考答案命题调研明晰考向真题试做1C解析：若为C选项，则主视图为：故不可能是C选项230解析：由几何体的三视图可知：该几何体的上部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m的长方体几何体的体积VV直四棱柱V长方体443262430(m3)312解析：该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V222112412.4解：(1)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD.又因为ABADA，所以AA2平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2BD.因为底面ABCD是正方形，所以ACBD.又已知平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABCDBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.于是由AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1.又因为AA2ACA，所以B1D1平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱侧面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因为四棱台A1B1C1D1ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形(其高为h)，所以S2S四棱台下底面S四棱台侧面(A1B1)24(ABA1B1)h2024(1020)1 120(cm2)于是该实心零部件的表面积为SS1S21 3001 1202 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S0.22 420484(元)精要例析聚焦热点热点例析【例1】 (1)D(2)B解析：(1)被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合，另一条为正方体的对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图及对角线方向，只有选项D符合(2)由正(主)视图可排除A，C；由侧(左)视图可判断该几何体的直观图是B.【变式训练1】 (1)B(2)D解析：(1)由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥如图：AO2，OB2，AB2.又S侧44216，S底4416，S表S侧S底1616.(2)如图，设直观图为OABC，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中，OCOA，且OC2，BC1，OA121，故其面积为(11)22.【例2】 (1)证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)解：由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos 451，CECDsin 451.又因为ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形所以S四边形ABCDS矩形ABCESECDABAECEDE1211.又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱锥PABCDS四边形ABCDPA1.【变式训练2】 A解析：由三视图可知该几何体为一个长、宽、高分别为4,3,2的长方体，剖去一个半圆柱而得到的几何体，其体积为23413，即24.【例3】 解：如图所示，SAC的外接圆是外接球的一个大圆，只要求出这个外接圆的半径即可，而内切球的球心到棱锥的各个面的距离相等，可由正四棱锥的体积求出其半径(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OAOCOS，O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径ABBCa，ACa.SASCACa，SAC为正三角形由正弦定理得2Ra，因此Ra，V外接球R3a3.(2)如图，设内切球的半径为r，作SE底面于E，作SFBC于F，连接EF，则有SFa，SSBCBCSFaaa2，S棱锥全4SSBCS底(1)a2.又SEa，V棱锥S底SEa2aa3，ra，S内切球4r2a2.【变式训练3】 (2)a解析：当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大设放入的球的半径为r，球心为O，连接OP，OA，OB，OC，OD，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则VPABCDr(SPABSPBCSPCDSPADS正方形ABCD)r(2)a2.由题意知PD底面ABCD，VPABCDS正方形ABCDPDa3.由体积相等，得r(2)a2a3，解得r(2)a.创新模拟预测演练1D2D解析：据三视图可判断该几何体是由一个圆柱和一个正四棱锥组合而成的，直观图如图所示：易求得表面积为(622)cm2.3B解析：由三视图可知该几何体的直观图为一个正四棱柱，从上表面扣除半个内切球易求出正四棱柱的底面边长为2，内切球的半径为1，故体积为22520.44295.解析：首先将正四面体补形为一个正方体，设正四面体棱长为a，则其对应正方体的棱长为a，且由球与正方体的组合关系易知32(12)2，解得a2，正四面体的体积为V3433.621解析：由正六棱锥的性质知，点P在底面内的射影是底面的中心，也是线段AD的中点又G为PB的中点，设P点在底面内的射影为O，则G点在底面内的射影为OB的中点M，且GMPO.又M为AC的中点，则GM平面GAC，所以点P到平面GAC的距离等于点O到平面GAC的距离又因为OM平面GAC，DC平面GAC，且DC2OM，则2.7解：由已知条件知，平面图形中AEEBBCCDDADEEC1，折叠后得到一个棱长为1的正三棱锥(如图)方法一：作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心，取EC中点G，连接DG，AG，过球心O作OH平面AEC，则垂足H为AEC的中心，外接球半径可利用OHAAFG求得AG，AF，AH，OA，外接球体积为OA3.方法二：如图，把棱长为1的正三棱锥放在正方体中，显然，棱长为1的正三棱锥的外接球就是正方体的外接球正方体棱长为，外接球直径2R，R，体积为3.
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