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第一单元长方体和正方体一、长方体和正方体的认识1.长方体和正方体的特征。(1)长方体和正方体各部分的名称。面:围成立体图形的平面图形叫作立体图形的面。棱:立体图形中,两个面相交的线段,叫作棱。顶点:三条棱相交的点叫作顶点。(2)长方体的特征。长方体面的特点。a.长方体共6个面,分别是上面和下面、前面和后面、左面和右面,它们分别是一组相对的面。b.把长方体放在一个平面上,从任意角度观察,最多能同时看到3个面。图1图2c.一般情况下,长方体每个面的形状都是长方形,如图1;但有的长方体有2个相对的面是正方形,其余4个面都是长方形,如图2。d.通过折一折长方体的平面展开图可以发现:相对的面能够完全重合,即上面和下面、前面和后面、左面和右面完全相同。长方体棱的特征。长方体有12条棱;相对的棱互相平行,相邻的棱互相垂直;相对的棱的长度相等,即4条相对的棱的长度相等。长方体顶点的数量:长方体共有8个顶点。(3)正方体的特征。正方体的面:一个正方体有6个面,每个面都是正方形,并且6个面完全相同。正方体的棱:正方体有12条棱,12条棱的长度都相等,相对的棱互相平行,相邻的棱互相垂直。正方体的顶点:正方体有8个顶点。2.长方体的长、宽、高和棱长的认识。相交于一个顶点的三条棱,分别叫作长方体的长、宽、高。长方体的12条棱可以分成3组,即4条长、4条宽、4条高,4条相对的棱的长度相等。长方体的棱长总和=(长+宽+高)4。3.正方体棱和棱长的认识。正方体有12条棱,每条棱的长度都相等。正方体棱长的总和=1条棱的长度12。4.长方体和正方体的关系:正方体是特殊的长方体。 5.长方体和正方体的联系与区别。面棱顶点个数形状大小关系条数长度关系个数长方体6每个面一般是长方形,也可能有两个相对的面是正方形相对的面形状相同,面积相等12相对的棱长度相等8正方体6每个面都是正方形面积都相等1212条棱都相等8二、长方体和正方体的表面积1.长方体、正方体表面积的意义。(1)长方体的表面积:把长方体6个面的面积合在一起,就是长方体的表面积。(2)正方体的表面积:把正方体6个面的面积合在一起,就是正方体的表面积。2.长方体表面积的计算方法。(1)长方体的表面积=长宽2+长高2+宽高2=(长宽+长高+宽高)2。(2)长方体表面积的字母公式:S=2ab+2ah+2bh=(ab+ah+bh)2。(S表示长方体的表面积,a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)3.正方体的表面积的计算方法。(1)正方体的表面积=棱长棱长6。(2)正方体表面积的字母公式:S=6a2。(S表示正方体的表面积,a表示正方体的棱长)三、长方体和正方体的体积1.体积和体积单位。(1)物体所占空间的大小叫作物体的体积。(2)体积单位:常用的体积单位有厘米3、分米3、米3。1厘米3:棱长1厘米的正方体,它的体积是1厘米3。1分米3:棱长1分米的正方体,它的体积是1分米3。1米3:棱长1米的正方体,它的体积是1米3。体积的大小是由体积单位的个数决定的。 (3)体积单位的换算。1米3=1000分米3或1 m3=1000 dm3;1分米3=1000厘米3或1 dm3=1000 cm3。相邻的两个体积单位间的进率都是1000。2.长方体和正方体的体积计算公式。(1)长方体的体积计算公式。长方体的体积=长宽高(2)用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的计算公式用字母表达式为V=abh。3.正方体的体积计算公式。(1)正方体是特殊的长方体,即正方体是长、宽、高都相等的长方体,根据长方体的体积公式推导出正方体的体积公式。长方体的体积=长宽高正方体的体积=棱长 棱长 棱长(2)如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积计算公式用字母表达式为V=aaa,通常写成V=a3。(3)长方体、正方体统一的体积计算公式。长方体的体积=长宽(底面积)高正方体的体积=棱长棱长(底面积)棱长(看作高)长方体(或正方体)的体积=底面积高如果用V表示体积,S表示底面积,h表示高,长方体、正方体统一的体积计算公式可以表示为V=Sh。四、容积1.容积的意义和单位。(1)容器:包装箱、油桶、医院用的注射器、集装箱等都是用来容纳物体的,通常被称为容器。(2)包装箱、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫作它们的容积。(3)容积的单位:计量容积一般就用体积单位,如厘米3、分米3、米3,但计量容器内所盛的液体的体积时,通常用“升”“毫升”作单位。升用字母“L”表示,毫升用字母“mL”表示。计量较大容器的容积用“升”作单位,计量较小容器的容积用“毫升”作单位。2.容积单位间的进率及容积单位与体积单位间的换算。(1)1升=1000毫升 1 L=1000 mL(2)1分米3=1升1 dm3=1 L 1厘米3=1毫升1 cm3=1 mL3.容积的计算方法。(1)规则容器容积的计算方法与体积的计算方法相同,但要从容器的里面测量所需的数据。(2)求不规则较小容器的容积时,可用量杯或量筒测量容器中所容纳的液体的体积;求不规则的较大容器的容积时,可以借助液体把它转化成求规则容器的容积来计算。4.容积与体积的联系与区别。(1)容积与体积的联系:容积的大小可以通过所能容纳物体的体积呈现出来,容积的计算方法与体积的计算方法相同。(2)容积与体积的区别。意义不同,体积是指物体所占空间的大小;容积是指所能容纳物体的体积。计算时,测量数据的方法不同,计算体积从物体的外部测量所需数据;计算容积从容器的里面测量所需数据。有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。五、探索规律1.组合正方体表面涂色情况的规律。如果用n表示正方体的棱长,那么,规律如下:(1)3面涂色的小正方体的个数=正方体的顶点个数=8。(2)2个面涂色的小正方体的个数=正方体棱的条数乘棱长减2的差=12(棱长-2)=12(n-2)。(3)1面涂色的小正方体的个数=正方体的面数乘棱长减2的差的平方=6(棱长-2)2=6(n-2)2。(4)没有涂色的小正方体的个数=正方体的棱长减2的差的立方=(棱长-2)3=(n-2)3。2.包装中的数学问题。把同样多的物体包装成长方体,长、宽、高越接近,表面积越小。物体的重合面越大,包装箱的用料越少。重点提示:立体图形和平面图形的区别,平面图形只在平面上占有一定的面积,立体图形不仅在平面上占有一定的面积,还占有一定的空间。易错点:判断:长方体的6个面一定都是长方形。()错解分析:此题错在对长方体的特征理解不全面。一般情况下,长方体的6个面都是长方形,但也有2个相对的面是正方形的长方体。正确答案:方法提示:沿着不同的棱剪开长方体后,可以得到多种形状的平面图。重点提示:有2个正方形的面的长方体中有8条棱的长度相等,而另外4条棱的长度相等。重点提示:对于同一个长方体来说,它的摆放方式不同,所对应的长、宽、高也就不同。一般把底面较长的那条棱叫作长、底面较短的那条棱叫作宽,垂直于底面的那条棱叫作高。重点提示:正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。重点提示:长方体和正方体展开图的形状不是唯一的,可以有多种展开方法。易错点:棱长1厘米的正方体的体积是1厘米3,但是体积为1厘米3的物体不一定就是棱长为1厘米的正方体。重点提示:已知长方体的体积计算公式中的任意三个量,都可以求出第四个量。即V=abh、a=Vbh、b=Vah、h=Vab。重点提示:aaa可以写成a3,a3读作a的立方,表示3个a相乘。易错题:判断:a3一定大于3a。()错解分析:a3表示3个a相乘,即aaa;3a表示3个a相加,即a+a+a;当a=1时,a3=1,3a=3,a3小于3a。正确答案:重点提示:计算体积从外部测量数据,计算容积从容器里面测量数据。易错题:判断:电冰箱的体积和容积相等。 ()错解分析:此题错在没有理解容积和体积之间的区别,两者之间虽有联系,但意义完全不同。冰箱的体积指的是冰箱所占空间的大小,冰箱的容积指的是冰箱容纳物体的体积;计算冰箱的体积要从外部测量数据,计算冰箱的容积要从里面测量数据。因此电冰箱的体积和容积相等是错误的。正确答案:方法提示:在研究一般性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质。
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