华师大八年级数学暑假专题辅导 相似三角形

暑假专题相似三角形 重点、难点：1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。【知识纵横】1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。议一议：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？2. 相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。说明：相似比要注意顺序：如ABCABC的相似比，而ABCABC的相似比，这时。3. 相似三角形的识别（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。【典型例题】例1. 如图，123，图中相似三角形有（ ）对。答：4对例2. 如图，已知：ABC、DEF，其中A50，B60，C70，D40，E60，F80，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使ABC所分成的每个三角形与DEF所分成的每个三角形分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。解：例3. （2004广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。（1）求证：CDEFAE；（2）当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF。命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。解析：由ABDC得：FDCE，EAFDCDEFAE，又E为AD中点DEAE，从而CDFA，结合已知条件，易证BFBC，FBCF解：（1）四边形ABCD是平行四边形ABCDFDCE，EAFDCDEFAE（2）E是AD中点，DEAE由（1）得：CDAF四边形ABCD是平行四边形ABCDABCDAFBF2CD，又BC2CDBCBFFBCF思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。例4. 在梯形ABCD中，A90，ADBC，点P在线段AB上从A向B运动，（1）是否存在一个时刻使ADPBCP；（2）若AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，则AP的长度为多少？解：（1）存在（2）若ADPBCP，则设或或或AP长度为4或6例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（ ）A. 4：10：25B. 4：9：25C. 2：3：5D. 2：5：25（2001年黑龙江省中考题）思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。选A例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C90，AB5cm，BC3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC4而CDABACBC，得又CEHCAB，得于是，解得：如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm由GHAC，得：即，解得：即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为例7. 如图，已知直角梯形ABCD中，AB90，设，作DEDC，DE交AB于点E，连结EC。（1）试判断DCE与ADE、DCE与BCE是否分别一定相似？若相似，请加以证明。（2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？解：（1）DCE与ADE一定相似，DCE与BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点由FADFBC，得：于是FDDC，从而可证FEDCED得AEDDEC所以DECAED（2）作CGAD交AD延长线于G，由AEDGDC，有，得要使DCE与BCE相似，那么一定成立即，得也就是当时，DCE与BCE一定相似。【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 如图，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，则AD：DB_。2. 如图，ABC中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC的面积为S，则ADE的面积为_。3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为_。（2000年武汉市中考题）4. 阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：，设分别表示这两个正方体的表面积，则，又设分别表示这两个正方体的体积，则。（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A. 两个球体B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体D. 两个长方体（2）请归纳出相似体的3条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于_；相似体表面积的比等于_；相似体体积的比等于_。（2001年江苏省泰州市中考题）5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ）A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD. 10.5 m6. 如图，D为ABC的边AC上的一点，DBCA，已知，BCD与ABC的面积的比是2：3，则CD的长是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AEBE，则有（ ）A. AEDBEDB. AEDCBDC. AEDABDD. BADBCD（2001年杭州市中考题）8. 如图，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB1：2：3，则等于（ ）A. 1：9：36B. 1：4：9C. 1：8：27D. 1：8：369. 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ACDB，求证：10. 如图，ABC中，D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。（1）求证：ABCFCD；（2）若，求DE的长。（2000年河北省中考题）11. 阅读并解答问题。在给定的锐角ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：第一步：画一个有3个顶点落在ABC两边上的正方形DEFG。第二步：连结BF，并延长交AC于点F；第三步：过F点作FEBC于E；第四步：过F点作FGBC交AB于点G；第五步：过G点作GDBC于点D。四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形。问题：（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；（2）在ABC中，如果，BAC75，求上述正方形DEFG的边长。（江苏省扬州市中考题）12. 如图，在ABC中，在BC上有100个不同的点，过这100个点分别作ABC的内接矩形，设每个内接矩形的周长分别为，则_。（安徽省竞赛题）13. 如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为，则ABC的面积为_。14. 如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是_厘米2。（第11届“希望杯”邀请赛试题）15. 如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ）A. 2：1B. C. D. 1：116. 如图，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（ ）A. 2B. C. D. 【试题答案】1. 3：12. 3. 或4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方5. C6. C7. B8. C9. 由ABCDCA，得10. （1）略（2）过A作AMBC于M由ABCFCD，得：又，得DEAM，得11. （1）易证明四边形EFGD为矩形，由，而，得EFGF，故四边形EFGD为正方形。（2）过A作AQBC于Q交GF于P，且AQBQ，BCA60，QAC30，又即，解得由，得12. 400提示：从内接一个矩形入手，探求内接ABC中任一矩形的长与宽的关系。13. 提示：14. 解：设，则由BCEEDF，得又，即15. C16. C提示：延长DA、CB相交于G，设，则即