初中几何辅助线大全

初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的， 当问题的条件不够时， 添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。一 添辅助线有二种情况：1 按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们 , 相交后证交角为90 ；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2 按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（ 1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（ 2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。 出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线； 出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段 的基本图形。（ 4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。 出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本 图形。（ 5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（ 6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形： 或添对称 轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明， 添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为 1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。（ 8）特殊角直角三角形当出现 30， 45， 60， 135， 150 度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用 45 角直角三角形三边比为1： 1：，2; 30度角直角三角形三边比为1:2:，3进行证明（ 9）半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点， 添 90 度的圆周角； 出现 90 度的圆周角则添它所对弦-直径； 平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧， 瓦， 水泥， 石灰，木等组成一样。二基本图形的辅助线的画法1. 三角形问题添加辅助线方法方法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。2. 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（ 1）连对角线或平移对角线：（ 2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（ 3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（ 4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（ 5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3. 梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：1）在梯形内部平移一腰。2）梯形外平移一腰（ 3）梯形内平移两腰（ 4）延长两腰（ 5）过梯形上底的两端点向下底作高（ 6）平移对角线（ 7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（ 8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（ 9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4. 圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（ 1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径， 一般是作直径所对的圆周角， 利用 直径所对的圆周角是直角 这一特征来证明问题。（ 3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用 切线与半径垂直 这一性质来证明问题。（ 4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（ 5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角； 第二， 是把三角形中的某一线段进行平移。 故作歌诀： “造角、 平、 相似， 和差积商见。托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦 六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是 连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条 件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为 辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反， 条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅 助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多 种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某 边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关 系证明，如：例1:已知如图1-1: D E为AABC内两点，求证:AB + AC BN D曰CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB AC于M N,在AMNfr, AM AN MD+ D曰 NE; （1）在BDMfr, MBMDBR（2）在CENfr, CN+ NECE（3）由（1） + （2） + （3）得：AM +AN+ MB MDb CW NE MDb D曰 N曰 BN CE.AB+AO BMD日 EC（法二：）如图1-2 , 延长BD交AC于F,延长CEX BF于G,在 ABFffi GFCffi GDW有：AB +AF BD+DG GF?（三角形两边之和大于第三边）（1）GF +FOG曰 CE （同上）（2）3）DG +GEDE （同上）由(1) + (2) + (3)得:AB +AF+ G斗 FC+ DG GE BN DG G斗 G曰 C曰 DE.AB+AO BMD日 EG二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或 延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角 形的内角位置上，再利用外角定理：:如图2-1:已知D为4ABC内的任一点，求证：/ BDO/ BAC分析 因为/ BDCf /BAC在同一个三角形中，没有直接系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDCM于在外 - - - - - - - - - - - - - - - - - - . - - ! ! - - - 位置，/ BACM于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDCg EDCfi# ,丁. / BDO / DEC 同理/ DEO / BAC / BDO / BAC证法二：连接AD,并延长交BC于F./ BD支4ABD的外角 ./BDF/BAD 同理，/ CDF/CAD / BD斗 / CDF / BAA / CAD即：/ BDO / BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构 三角形，如：例如lJ 口图一3-1二一上初一 AD为AAB.G的中.线二艮/J二/2 “迷心BmCFef?分析：要证B曰CF EF ,可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE? CF, EF移到同一个 三角形中2而由已知/ 1 = /2, /3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全 等对应边相等，把ENN, FN EF移到同一个三角形中。证明：在口截取D* DB，连接NE，NF,则DNN= DC在DBEffi ADNE:DN DB（辅助线的作法）: 12（已知）ED ED （公共边）. .DB图 ADNE （SAS. BE= NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF= NF在4EFN中EN+ FN EF （三角形两边之和大于第三边） .BE+ CF EF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如:如图4-1二AD为AABS的儿.线,县/1三/2,/一3三/%一求辿;.B4cf.ef证明：延长ED至M 使dm=dE连接CM ME 在BDEfflCDMfr,BD CD（中点的定义）1 CDM （对顶角相等）二 zBD图 ACDM （SASED MD （辅助线的作法）又/1 = /2, /3=/4 （已知）Z1 + Z2+Z3+Z4= 180 （平角的定义）. /3+/2=90 ,即：/ED已90ZFDMk / EDF =90在 zXEDFffi AMDFtED MD（辅助线的作法）EDFFDM （已证）DF DF （公共边）. .ED/ AMDF （SAS. EF= MF （全等三角形对应边相等）在ACMN, C斗C阵MF （三角形两边之和大于第三边） .BE+ CF EF注：上题也可加倍FD,证法同上使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形 例如：如图5-1: AD为ZXABC的中线，求证：AB+ AG2AD分析：要证 AB+ AO2AQ 由图想到：AB+BDAD,AOCDA口 所以有 AB+ AC+ BD+CD直接证出此EANAD= 2AR左边比要证结论多 BD+ CD故不能 题而由2AD想到要构造2ADL即加位史线，把所要 移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E,使DE=AD连接BE,则; AD为 ABC的中线 （已知） .BA CD （中线定义）在ACDffi zEBD 中. .AC四 AEBD （SAS. B已CA （全等三角形对应边相等）在4ABE中有：AB+ BEAE （三角形两边之和大于第三边） .AB+ AO 2ADD（常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2, 求证EF= 2AD六、截长补短法作辅助线 例如：已知如图 6-1:在4ABC中,AB AC, /1 = /2, P为AD上任一点。求证：AB- AC边一步差小PB- PC bf 13f1.1 .系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之分析：要证：AB- AG PB- PC,想到利用三角形三于第三边，从而想到构造第三边 AB- AG故可在AB取一 AN笠壬一 ACL得一无ACfe BN再连接PN一则工会EN区在- PNB史二一 PB? PN.BNi.JP;.AB- AG PB- PG证明：（截长法） 在AB上截取AN= AC连接PN , 在APNffi4APC中AN AC（辅助线的作法）, 12（已知）AP AP（公共边） .AP隼AAPC （SAS .PO PN （全等三角形对应边相等） 在4BPN中，有PB-PN PM- PC（三角形两边之差小于第三边）.AB- AG PB- PG七、延长已知边构造三角形: 例如：如图7-1 :_已知一A_C=.旦R _ADL AC于A , BC BD于B, 求证:A.匕BC 分析：欲证AD=BG先证分别含有AR BC的三角形全等，有几种方案： ADCf ABCQ AODWABOC AABD） BA（c但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设 法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。C证明：分别延长DA CB，它们的延长交于E点,. AD1 AC BC BD （已知）丁./ CAE= /DBE = 90（垂直的定义）在 DBEf CAE中EE（公共角） DBECAE（已证）BD AC（已知） .DBEi ACAE（AAS .ED= EC EB=EA （全等三角形对应边相等） .ED- EA= EC- EB即：AD= BG.（当条件丕足时一也通过一添加辅助线程也新的条件一，为证题创造条件9八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1 : AB/ CD AD/ BC一.求证:,AB=CD分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD . AB/ CD AD/ BC （已知）./1 = /2, /3=/4 （两直线平行，内错角相等）在ABCt CDA中AfDD12（已证）AC CA（公共边）34（已证）.AB登 ACDA （ASA.AB= CD （全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长 例如：如图 9-1 :在 RtAABO, A况 AG / BAC= 90 , / 1 = /2, CH BD 的延长于 E 。求证：B又2CE分析：要证B又2CE，想到要才造线段2CE，同时_CE 与 N-ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA, CE交于点F.BEX CF （已知）F丁. / BE已/ BEC= 90（垂直的定义）在 ZXBEF 与 4BEC 中，1 2（已知） BE BE（公共边）BEFBEC（已证）1.BEHABEC（ASA. CE=FE= CF （全等二角形对应边相等）. /BAC=90 BE CF （已知） /BAO /CA已 90/1 + /BD/ 90 /1 + /BFG= 90 ./ BDA= Z BFC在ABD MCF 中.ABDAACF （AASBD= CF （全等三角形对应边相等）.BA2CE 十、连接已知点，构造全等三角形 例如：已知：如图10-1 ; AG BD相交于O点，且AB= DC AOBR求证：/ A= / D。分析：要证/ A= /D,可证它们所在的三角形4 ABOffiDCOlr等，而只有AB= DC和对顶TMrMWWWMWWWWVWWWMWWWMWWWWVWWrWWVU-WWWWWWVWWWVWWWWWWVWWbTVWWWWWWWWWWVWWM-WMVWWMWWWMWWWyMWWWWWWWWWfyMWWWWW*WrWrWWVWWMWWWWWWWWWWWWWWWWMV角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由A况DC AC =BR若连接BC,则ABCffiDCBir等，所以，证得/ A= / D。图10 1证明：连接BG 在ABCffiADCBAB DC （已知） AC DB （已知）BC CB（公共边）. .AB登 ADCB (SSS) . / A= / D （全等三角形对应边相等）十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1: AB= DC /A= /D 求证：/ ABC= / DCB分析：由A况DG /A= /D,想到如取AD的中点N,连接N0 NC再由SA然理有 ABN空DCN 故.BNhCN-/ABNk/DCN.1BSffi/_NBGzLNCB 再取BC 的生点一 M 连接MN则由SS镂理有4NB阵NCM所以/ NBG= / NCB问题得证。B M C图11 1NDA证明：取AR BC的中点N M连接NB, NM NC则AN=DN BM=CM 在 ABN 和 DCN 中AN DN （辅助线的作法）AD（已知）AB DC（已知） .AB阵 ADCN (SAS丁./ABN= / DCN NB=NC （全等三角形对应边、角相等）在NBMf ANCh/lNB=NC（已证）BM = CM （辅助线的作法）NM=NM （公共边） .NMB2 ANCM (SSS) / NBC= /NCB (全等三角形对应角相等) / NBG / ABN = / NC即 / DCN 即 / ABC= / DCBAF: FC解:过占 八、CEF- CG= -GC 22GC-GC = 23= -GC 2-GC：2|e= 3D01: 3, AE EB= 2: 3,求 AF: FD=作如作3223DF = -BQ AF = -BG - B0 -BG= 8*9BG 4334如图 4,bdDC= 1:3,AF= FD,求 EF:FC117SF = -DG aDG- -DG = -DG解：过点D作DG 222-DGt -DG 22如图为,一旦上一DC.AE：E居1： 5,求 AF： FB02.如图 6, AD DB= 1: 3, AE: EO 3: 1,求 BF: FC答案：1、1: 10;2. 9: 1巧求三角形中线段的比值例 1.如图 1,在4ABC中，BD DC= 1: 3, AE: E况2: 3,求22AF=-DG-DG解：过点 D作 DG33 如图 2, BO CD, AF= FC,求 EF: FD初中几何辅助线初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和 口, 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。江忠点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平 行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于 有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造 对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是关的几在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相 何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定 理所涉及到的辅助线作以介绍如图1-1 , /AOC=BOC如取OE=OF并连接DE DF,则有 OEzOFD从而为我们证明线段、角相等创造了条件。如图 1-2, ABAC3 .已知：如图 2-5, ZBAC= CAD,ABADCEL AB,1eEEGij4DAE=2 (AB+AD .求证：/ D+/ B=18024 .已知：如图2-6，在正方形ABCg, E为CD的中点，F为BC上的点，/ FAEq DAE 求证：AF=AD+CF例1.已知：如图 2-7,在 RtAABC, /ACB=90?,CD_AB,1D, AE平分/ CA皎 CDT F,过 F 作 FH2 证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，垂足为可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形例3.已知：如图3-3在 ABC中,AD AE分别/ BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD交AD的延长 线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=ME分析：由AR AE是/BAC内外角平分线，可得E11 12AAF,从而有BF2 2 2 2已知，如图，/ C=2Z A, AC=2BC求证： ABC直角三角形。B2.已知：如图，AB=2AC /1 = /2, DA=DB 求ffiA DC!AC3.已知CE AD是 ABC的角平分线，/ B=60 ,BD4.已知：如图在 ABC, /A=90 , AB=AC BD是/ABC的平分线，求证：BC=AB+A由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法:1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之 差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的 不等关系证明，如:例1、 已知如图1-1: D E为ABCft两点，求证:AB+ACBD+DE+CE.图1 1证明：（法一）将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在AMNfr, AM+ANMD+DE+N：H;)在BDMfr, MB+MDBD2)在CENfr, CN+NECE(3)由(1) + (2) + (3)得：GFCAM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.AB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G 在ABF和 和GDM有:AB+AFBD+DG+GE角形两边之和大于第三边）（DGF+FCGE+CE) (2)DG+GED 加上)(3)由(1) + (2) + (3)得:AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+ACBD+DE+EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这 个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1:已知D为ABCft的任一点，求证：/ BDC2 BAC分析|因为/BDCW /BA5在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDC&于在外角白位置，/ BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDO EDCfi# , ./BDCXDEC 同理/ DECBAC . . / BDC2 BAC证法二：连接 AR并廷长交BC于F,这时/ BDF是4ABD的外角， ./ BDF/ BAD 同理，C CDF/ CAD . . / BDF+/ CDF/ BAD它 CAD 即：/ BDC4 BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时， 通常将大角放在某三角形的外角位置上, 小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构A/ 2, /证明，须造全等三角形，如:例如：如图3-1 :已知AD为4ABC的中线，且/ 1 =3=/4,求证：BE+CFEF分析上要证BE+CFEF可利用三角形三边关系定理 把BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知/ 1 = /2,/3=/4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN FNEF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB连接NE，NF,贝U DN=DC在DBEffi ANDE:DN=DB辅助线作法）1/1 = /2 （已知）ED=ED（公共边）. .DB窜 ANDE （SAS . BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在4EFN中EN+FNEF三角形两边之和大于第三边） .BE+CFEF注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形, 然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1:在4ABC中，ABAC / 1=/ 2, P为AD上任一点求证：AB-ACPB-PC四:要证：AB-ACPB-PC想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AG故可在AB上截取AN等于AG得 AB-AC=BN 再连接 PN 贝U PC=PN 又在 PNBfr, PB-PNPB-PC证明：（截长法）在 AB上截取 AN=A（J1接 PN,在AAPNffnzAPC中AN=AC（辅助线作法）1/1 = /2 （已知）AP=AP（公共边）.AP阵AAPC（SAS ,PC=PN（全等三角形对应边相等）在4BPN中，有PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC：角形两边之差小于第三边） .AB-ACPB-P C例2如图，在四边形 ABCm，AC平分/ BAD CH AB于求证：/ ADC廿 B=180oADAD+AB=2A E例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=A080 , BD平分 ABCBD EC CE BC,A=1求证：BC=AB+D C例 4如图，已知 RtABC中，/ACB=90 , A皿ZCAEML AB于 M 且 AM1=MB 求证：CD=2DBAD=AB+G D1.如图，AB/ CR AE DE分别平分/ BA略 /ADE 牺:例 1.如图，AC 平分 / BAD CH AB 且 / B+/ D=18(J ,求证：AE=AD+BEA的一条优线，星遍C在AE的异侧,2.如图，AABC中，/BAC=90 , AB=AC AE是过BDL AE于 D, CEL AE于 E。求证：BD=DE+CE四由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的 中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边 中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形1即如图1, AD是AABC的中线，则 &abd=Saacd=Saabc （因为 AABDt AACDt等底同高 的）。例1.如图2, A ABC中,AD是中线，延长 AD至ij E,使DE=AD DF是ADCE勺中线。 已知A ABC的面积为2,求：A CDF0勺面积。解：因为AD是AABC的中线，所以 Sacd=；Saabc=； X2=1,又因CD AACE勺中线， 故 Sa cd=Sa ac=1 ,因 DF是 ACDE勺中线，所以 Sacd=：Sacde=1 X1=1 o. A CDF的面积为；。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2.如图3,在四边形ABCEfr, AB=CD E、F分别是BG AD的中点，BA CD的延长线分别交EF的延长线 G H。求证：/ BGEW CHE证明：连结BR并取BD的中点为M 连结ME MF.ME是A BCD的中位线， .ME， CD ；/MEFW CHE =2.MF是A ABD的中位线，.MF .AB,./MFEW BGEv AB=CD ME=M尸/ MEFW MFE从而/ BGE=CHE（三）、由中线应想到延长中线例3.图4,已知 A ABC中,AB=5 AC=3连BC上的中线 AD=Z求BC的长。解：延长 AD至ij E,使 DE=AD 贝U AE=2AD=2 2=4。在 AACDffi AEBDt,. AD=ED / ADCW EDB CD=BD . A AC匪 A EBD AC=BE从而 BE=AC= 3在 A ABE中，因 AE+BE=42+32=25=AB,故 / E=90 ,BD=j5F77=T?T7y =a/13 ,故 BC=2BD施。例4.如图5,已知A ABC中，AD是/ BAC勺平分线,AD又是BC边上的中线。求证：A ABC是等腰三角形。证明：延长AD至I E,使DE=AD仿例3可证:A BE* A CAD故 EB=AC / E=/ 2,又 / 1=/ 2,；AB=EB从而AB=AC即A ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜边中线的性质1例5.如图6,已知梯形ABCLfr, AB2 2:如图,E、F分别在AR AC上，DEL DF, D是中点，试比较F的大小. ABOD平分BE+CB D D3:如图， ABO, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：/ BAE.中考应用DCCE图5 1eM图4 1(09崇文二模)以ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE,BAD CAE 90，连接DE, M N分别是BC DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及 数量关系.(1)如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是 ；(2)将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转 (0 PA.2:如图，在 ABC的边上取两点 D E,且B证：AB+ACAD+AE.1:如图，已知在 ABO, / B=60 , ABC的角平分线 AD,CE相交于点O,求证：O（06北京中考）如图，OP是/MON勺平分线，请你利用该（四）、借助角平分线造全等图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解 答下列问题:(1)如图，在 AB/, / AC%直角，/ B=60o , AD CE分别是/ BAC / BCA勺 平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；.M *B（五） PD/N AC A1:止方形AlCLfr, E为BC上的一点图F为CD （第23题 AF,求/EAF的度数.2: D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DMLDN,DBe于点E,FoE图 上幅一点，BE+DF=E D/M,DN 分别交 BC,CAC(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理MB(1) 当MDN绕点D转动时，求证(2) 若AB=2求四边形DECF勺面积DE=DFBoA3.如图，ABC是边长为 等腰三角形，且 bdc 1200MCl-A * A3的等边三角形，FBDC是,以D为顶点做一个60角,使其两边分 N别交AB于点ABCDM,交AC于点N,连接MN则AMN的周长为中考应用（07 佳木斯）已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD, AB BC , /ABC 120：, /MBN 60：, /MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD, DC （或它们的延长线）于E, F .当/ MBN绕B点旋转到AE CF时（如图1）,易证AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜 想，不需证明.（西二岁;已知:PA=PB=4. AB为一dlABCD使P、D两点落在直 线 AB的两侧.（1）如周即APB=45时，求AB?D的长；（图3）（2）当/ APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值,及相应/ APB的大小.（09崇文一模）在等边 ABC的两边AR AC所在直线上分别有两点 M N, D为&ABC 外一点，且 MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当M N分别在直线AR AC上移动 时，BM NC M也问的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2图3（I）如图1,当点M N边AR AC上，且DM=DNf, BM NC MN之间的数量关系是 ; 止匕时Q ;L(II )如图2,点M N边AB AC上，且当DM DN时，猜想(I )问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III )如图3,当M N分别在边AB CA的延长线上时，若AN=x ,则Q= (用x、L表示).六梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为和口。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点, 细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基 本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化 为三角形、平行四 边形。平移对角线。转化为三角形、平 行四边形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。（一）、平移1、平移一腰:例1.如图所示，在直角梯形ABCDK /A= 90 5, AB= 16, BC= 17.求 CD的长.解：过点D作DE/ BC交AB于点E.又AB/ CD所以四边形BCDEI平行四边形.所以 DE= BO 17, C5 BE.在RtDAE,由勾股定理，得aU = dE aD,即 aU=172 152 = 64.AB/ DC A又 1所以 BE= AB-AE= 168 = 8.例2如图，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月AD=4求另一腰BC的取值范围BS弟形ABCD(ADBC)EFDH1 GH2121 (BC2BG CH)DHBD EDBE125AC2CE22(5.2)2(5.2)252100EHDE2 DHS DBE1BE 2DH2 AC2 DH 21 (9 16) 12 2AE2 .152 1225.2S ABD S ACDS DCE5, 2S梯形ABCD5. 2S DBEAO BR AD= BC.9 BH BD2 DH2.202 122162150(cm )如图所示，四边形ABCDfr, AD不平行于BG判断四边形ABCD勺形状，并证明你的结论.解：四边形ABC此等腰梯形.证明：延长AD BC相交于点E,如图所示.,. AO BR AD= BG AB= BA,. .DA军 ACBA.丁 / DA乐 / CBA.E EB.又 AD= BGDE= CE / EDG= Z ECD.而 / E+ / EAB / EB / E+ / EDG / EC& 180 /ED秘 /EABDC/ AB.又AD不平彳r于BG四边形ABCD1等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例9如图6,在直角梯形ABCDS形 ABCDAE 3BE .3cm1BG2 BG BC CG BC(AD BC) AE 2AD)60 ,它的两底分别为11cm, 35cm,则它的腰长为 cm2.如图所示，已知等腰梯形 ABCW, AD/ BG /B= 60 , AD= 2, BO 8,则此等腰梯形的周长为（）A. 19B. 20C. 21D. 223.如图所示,ND/ BC,对角D的长.0 ,它的两AB/ CD AHDG A12, BD= 20, AO 15,贝U梯形 ABCD勺面积为(A. 130 B. 140 C. 150 D. 160*4.如图所示，在等腰梯形ABCDK已知A线AC与BD互相垂直，且 AD= 30, BO 70,求B5 .如图所示，已知等腰梯形的锐角等于6底分别为15cm和49cm,求它的腰长.6 .如图所示，已知等腰梯形 ABCDfr, AD/ BG AM BR AN BO 10, DH BC于E,求DE的长.7 .如图所示，梯形 ABCm,AB/ CD /D= 2/B, AD+ DC= 8,求 AB的长.*8.如图所示，梯形 ABC时，AD/ BG (1)若E是AB的中点，且AN BO CD贝U DE与CE有何位置关系？ ( 2) E是/ADCf/BCD勺角平分线白交点，则DE与CE有何位置 关系？1.圆中作辅助线的常用方法: (1)作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。(2)若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定 理的推论得出结果。(3)若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。(4)连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角 (5)若题中有与半径(或直彳空)垂直的线段，如图 1,圆。中，BMOA于D,经常是：如图1 (上)延长BD交圆于C,利用垂径定理图1 (下)延长 AO交圆于E,连结BE, BA彳导RtAABE图1(上)图1(下)若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的径， 若题目中有“两圆相切”(内切或外切)，往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心 线(连心线过切点)以沟通两圆中有关的角的相等关系(8)若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或 构成圆内接四边形解决