数字电路逻辑设计白静学习教案

会计学1数字电路逻辑设计白静数字电路逻辑设计白静第一页，共194页。模拟电路：工作在模拟信号模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。下的电子电路称为模拟电路。数字量：在时间和数量上的数字量：在时间和数量上的取值是不连续的、离散的，只能取值是不连续的、离散的，只能按有限个或可数的量化单位取值，按有限个或可数的量化单位取值，这类物理量叫做数字量。这类物理量叫做数字量。 例如例如(lr)：某一实际距离的值为：某一实际距离的值为3869.82526km，若取量化单位，若取量化单位为为1 km，则代表此距离的数字量，则代表此距离的数字量形状的信号都可称为脉冲信号。形状的信号都可称为脉冲信号。例如例如(lr)：矩形波、方波、锯齿：矩形波、方波、锯齿波等信号就是典型的数字信号。波等信号就是典型的数字信号。第2页/共194页第二页，共194页。数字电路：处理数字信号的数字电路：处理数字信号的电路称为数字电路。电路称为数字电路。同一物理量可以用连续的模同一物理量可以用连续的模拟信号表示，也可用离散的数字拟信号表示，也可用离散的数字信号表示。信号表示。 同模拟信号相比，数同模拟信号相比，数字信号具有传输可靠字信号具有传输可靠(kko)、易、易于存储、抗干扰能力强、稳定性于存储、抗干扰能力强、稳定性好等优点。好等优点。 因此，数字电路的应因此，数字电路的应电平、开关的断开，也可代表有电平、开关的断开，也可代表有脉冲信号等。脉冲信号等。第3页/共194页第三页，共194页。数字电路中把只由高、低两数字电路中把只由高、低两种逻辑电平组成的信号称为数字种逻辑电平组成的信号称为数字信号，或数字逻辑信号，这种信信号，或数字逻辑信号，这种信号只能由数字电路进行处理号只能由数字电路进行处理第4页/共194页第四页，共194页。1.1.2 数制及其转换数制及其转换1. 数制数制多位数码中每一位的构成方多位数码中每一位的构成方法法(fngf)以及从低位到高位的以及从低位到高位的进位规则称为计数进位制，简称进位规则称为计数进位制，简称数制数制(Number System)。 日常生日常生活中最常用的是十进制，数字电活中最常用的是十进制，数字电路及计算机等设备中还经常使用路及计算机等设备中还经常使用二进制、八进制和十六进制。二进制、八进制和十六进制。 对对制数制数749.25可表示成可表示成 749.25 = 71024101910021015102第5页/共194页第五页，共194页。上式中的上式中的102、101、100称称00112211102101211010101010).()(aaaaaaaaaaaNnnnnmnnmma1022111010 aa110nmiiia(1-1)第6页/共194页第六页，共194页。这种表示方法称为多项式表示法这种表示方法称为多项式表示法或按位权展开式。或按位权展开式。 上式中，上式中，ai为为十进制数第十进制数第i位的数码，它可以位的数码，它可以(ky)是是09这十个数码中的任意这十个数码中的任意一个；一个；n表示整数部分的位数，表示整数部分的位数，(1-2)221100112211210121).()(RaRaRaRaRaRaaaaaaaaNnnnnRmnnR1nmiiimmRaRa第7页/共194页第七页，共194页。式中，式中，ai为为R进制数第进制数第i位的数码位的数码第8页/共194页第八页，共194页。2) 二进制二进制(Binary)在二进制中，只采用在二进制中，只采用0和和1两两(1-3)122)(nmiiiaN式中，ai为第i位的0或1数码(shm)；2i为第i位的位权值。 例如，二进制数11101.101按位权展开式为(11101.101)2=124123122021120121022123二进制数N一般(ybn)用下角标2或B表示，如(101)2、(110.1)B等。 第9页/共194页第九页，共194页。3) 八进制八进制(Octal)(1-4)188)(nmiiiaN八进制数N一般(ybn)用下角标8或O表示，如(76)8，(35.1)O等。 第10页/共194页第十页，共194页。4) 十六进制十六进制(Hexadecimal)在十六进制中，采用在十六进制中，采用09、(1-5)11616)(nmiiiaN十六进制数N一般(ybn)用下角标16或H表示，如(E12)16，(2B)H等。 第11页/共194页第十一页，共194页。2. 不同数制的转换不同数制的转换1) R进制进制十进制转换十进制转换 将将R进制进制(R为二、八、十六为二、八、十六)数转换为等值的十进制数，其步数转换为等值的十进制数，其步骤为骤为(1) 将将R进制数按位权展开，进制数按位权展开，见式见式(1-2)；第12页/共194页第十二页，共194页。24123022121120121022123 第13页/共194页第十三页，共194页。2) 十进制十进制R进制转换进制转换将十进制数转换为等值的将十进制数转换为等值的R(R为二、八、十六为二、八、十六)进制数，需进制数，需将十进制数的整数部分和小数部将十进制数的整数部分和小数部分分别进行转换，然后再将它们分分别进行转换，然后再将它们合并起来。合并起来。整数部分转换时，采用除基整数部分转换时，采用除基取余法，具体步骤如下：取余法，具体步骤如下：第14页/共194页第十四页，共194页。【例【例1-4】 将十进制数将十进制数(83)10因此(ync) (83)10 = (1010011)2 第15页/共194页第十五页，共194页。【例【例1-5】 将十进制数将十进制数(93)10因此(ync) (93)10 = (5D)16 十进制小数部分转换时，采用乘基取整法，即将十进制小数依次乘以R，取每次得到的乘积的整数部分构成十进制小数的各位数，直到小数部分为0或达到一定的精度为止。 第一次乘积的整数作为二进制小数的最高有效(yuxio)位，最后一次乘积的整数作为二进制小数的最低有效(yuxio)位。 第16页/共194页第十六页，共194页。bi表示(biosh)小数点后第i次乘积的整数部分。 因此(0.375)10 = (0.011)2 有整数和小数的十进制数转换成R进制数时，将整数和小数部分分别进行转换，然后将结果合并起来。 例如，十进制数(83.375)10转换为二进制数时，综合例1-4和例1-6的转换结果，可得 (83.375)10 = (1010011.011)2 十进制小数部分的转换有一个精度问题，不可能准确地完全转换，只要满足(mnz)所要求的精度即可。 第17页/共194页第十七页，共194页。【例【例1-7】 将十进制数将十进制数(0.46)10转换成二进制数。转换成二进制数。(1) 要求转换误差不大于要求转换误差不大于28；(2) 要求精度达到要求精度达到 0.1%。解：解：(1) 要求误差不大于要求误差不大于28，只需保留只需保留(boli)至小数点后第至小数点后第八位，计算过程如下：八位，计算过程如下：0.462 = 0.92 b1 = 0 (0.46)10(0.01110101)2第18页/共194页第十八页，共194页。(2) 由于二进制数的小数点由于二进制数的小数点后第九位为后第九位为29=1/512 0.2%，第十位为第十位为210= 1/10240.1%，所以要达到所以要达到(d do)0.1%的精度，的精度，需保留至小数点后第十位。需保留至小数点后第十位。第19页/共194页第十九页，共194页。3) 二进制二进制八进制、八进八进制、八进制制二进制转换二进制转换二进制数转换为八进制数时，二进制数转换为八进制数时，由于三位二进制数恰好有八个状由于三位二进制数恰好有八个状态态(zhungti)，所以将三位二进，所以将三位二进制数直接用一位八进制数代替。制数直接用一位八进制数代替。二进制数即可。二进制数即可。第20页/共194页第二十页，共194页。4) 二进制二进制十六进制、十六十六进制、十六进制进制二进制转换二进制转换二进制数转换为十六进制数二进制数转换为十六进制数时，由于四位二进制数恰好有十时，由于四位二进制数恰好有十六个状态，所以将四位二进制数六个状态，所以将四位二进制数直接直接(zhji)用一位十六进制数代用一位十六进制数代时，将每位十六进制数直接时，将每位十六进制数直接(zhji)展开成四位二进制数即可。展开成四位二进制数即可。第21页/共194页第二十一页，共194页。5) 八进制八进制十六进制十六进制(sh li jn zh)、十六进制、十六进制(sh li jn zh)八进制转换八进制转换八进制数转换为十六进制八进制数转换为十六进制(sh li jn zh)数时，以二进制为数时，以二进制为八进制数。八进制数。第22页/共194页第二十二页，共194页。【例【例1-8】 将二进制数将二进制数因此(ync)因此(ync) (10011101100.001110111)2 = (4EC.3B8)16 第23页/共194页第二十三页，共194页。因此(ync) (BE.29D)16 = (276.1235)8 第24页/共194页第二十四页，共194页。1.1.3 码制码制数码不仅可以表示数量上的数码不仅可以表示数量上的大小大小(dxio)，而且还可用来表，而且还可用来表示特定的事物。示特定的事物。 例如例如“865”路公路公交车，学号交车，学号060016等，这些数码等，这些数码称为码制。称为码制。第25页/共194页第二十五页，共194页。1. 二二十进制代码十进制代码(BCD代代码码)在数字系统中，常用在数字系统中，常用0、1两两种数码的组合作为代码，称为二种数码的组合作为代码，称为二进制码。进制码。 二进制码可以二进制码可以(ky)是是多位数的，若用多位数的，若用4位二进制码表位二进制码表示示1位十进制数的代码，称为二位十进制数的代码，称为二合，表合，表1.1列出了几种常用的列出了几种常用的BCD代码。代码。第26页/共194页第二十六页，共194页。BCD代码(di m)分为有权码和无权码两类。 第27页/共194页第二十七页，共194页。1) 有权有权BCD码码有权有权BCD码是指码是指4位二进制位二进制数码都有确定的位权值。数码都有确定的位权值。 如表如表1.1中的中的8421码、码、2421码、码、5421码、码、631-1码等。码等。 对于有权对于有权BCD码，码，可根据位权展开求得所代表的十可根据位权展开求得所代表的十进制数。进制数。例如例如(lr)：10018421码码 = 位权值位权值8、4、2、1一致，所以也一致，所以也称为自然权码。称为自然权码。第28页/共194页第二十八页，共194页。2421码各位的权依次为码各位的权依次为2、4、2、1，其组成特点是，其组成特点是，2421码的前码的前5个码与个码与8421码一致，后码一致，后5个个码是码是8421码加上码加上(6)10 = (0110)2得到。得到。 另一显著特点是，将任意一个另一显著特点是，将任意一个(y )十进制数十进制数D的的2421码的码的第29页/共194页第二十九页，共194页。2) 无权无权BCD码码无权无权BCD码没有确定码没有确定(qudng)的位权值，不能按位权的位权值，不能按位权展开来求所代表的十进制数。展开来求所代表的十进制数。 如如表表1.1中的余中的余3码、余码、余3循环码、移循环码、移存码等。存码等。 但这些代码各有其特点，但这些代码各有其特点，可应用于不同场合。可应用于不同场合。余余3码是每个码是每个8421码加上码加上(3)10 = (0011)2得到的。得到的。 用余用余3码进行码进行个多位十进制数编制代码，需要个多位十进制数编制代码，需要用与十进制位数相同的几组用与十进制位数相同的几组BCD代码来表示。代码来表示。第30页/共194页第三十页，共194页。【例【例1-10】 用用8421码、码、2421码、余码、余3码分别表示十进制数码分别表示十进制数 869。 解解: 86910 = 1000 0110 10018421码码= 1011 1001 1100余余3码码 = 1110 1100 11112421码码第31页/共194页第三十一页，共194页。第32页/共194页第三十二页，共194页。由表由表1.2可以看出，两个可以看出，两个(lin )相邻的格雷码之间只相相邻的格雷码之间只相第33页/共194页第三十三页，共194页。第34页/共194页第三十四页，共194页。在数字电路和电子计算机中，在数字电路和电子计算机中，二进制数的正、负号也用二进制数的正、负号也用0和和1表表在数字电路中，两数相减的运算是用加法运算实现的，即减去一个(y )数等于加上该数的补码。 第35页/共194页第三十五页，共194页。二进制数的补码是这样定义二进制数的补码是这样定义的：最高位为符号位，正数为的：最高位为符号位，正数为0，负数为负数为1；正数的补码和它的原；正数的补码和它的原然后(rnhu)将两个补码相加并舍去进位第36页/共194页第三十六页，共194页。因此 (1010)2(0011)2 = (0111)21位二进制数码0和1，不仅可以(ky)表示数量的大小，进行算术运算，还可以(ky)表示两种不同的状态。 这时的0和1不再是通常的二进制数，而是代表两种逻辑状态的符号，它们的意义完全由事先约定。 如可以(ky)用1和0分别代表一件事情的是和非、真和伪、有和无，或者表示电平的高和低、电路的通和断、电灯的亮和灭等。 这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑，它们之间按照某种逻辑关系进行的运算称为逻辑运算。 逻辑运算和算术运算有着本质的区别。 下一节将重点介绍逻辑运算的各种规律。 第37页/共194页第三十七页，共194页。1.2 逻辑代数逻辑代数逻辑代数逻辑代数(Logic Algebra)是按一定逻辑规律进行运算的代是按一定逻辑规律进行运算的代数，由英国数学家数，由英国数学家George Boole于于1849年首先提出，因此又称年首先提出，因此又称第38页/共194页第三十八页，共194页。逻辑函数是由若干输入逻辑逻辑函数是由若干输入逻辑变量变量A、B、C、 经过有限经过有限(yuxin)的逻辑运算所决定的输的逻辑运算所决定的输出，若出，若F是输入逻辑变量是输入逻辑变量A、B、第39页/共194页第三十九页，共194页。1.2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑代数中最基本的逻辑运逻辑代数中最基本的逻辑运算有与逻辑算有与逻辑(AND)、或逻辑、或逻辑(OR)、非逻辑非逻辑(NOT) 三种，此外，还常三种，此外，还常第40页/共194页第四十页，共194页。1. 与逻辑与逻辑与逻辑表示这样一种因果逻与逻辑表示这样一种因果逻辑关系：只有决定一事件的全部辑关系：只有决定一事件的全部条件同时具备时，该事件才会发条件同时具备时，该事件才会发生。生。 例如，在图例如，在图1.1所示的电路所示的电路中，两个开关中，两个开关A和和B 串联控制一串联控制一个灯个灯F，只有当两个开关都接通，只有当两个开关都接通时，灯才亮，其工作状态时，灯才亮，其工作状态。中通常把条件或事件具备记作逻中通常把条件或事件具备记作逻辑辑1，条件或事件不具备记作逻，条件或事件不具备记作逻辑辑0。第41页/共194页第四十一页，共194页。第42页/共194页第四十二页，共194页。第43页/共194页第四十三页，共194页。在逻辑代数中，与逻辑也称在逻辑代数中，与逻辑也称为与运算或逻辑乘，可用如下逻为与运算或逻辑乘，可用如下逻辑表达式表示辑表达式表示F=AB(1-6)上式读作上式读作“F等于等于A与与B”。 式式中的中的A和和B是进行逻辑运算的逻辑是进行逻辑运算的逻辑变量变量(binling)；“”为逻辑乘为逻辑乘运算符号，在不会发生混淆时，运算符号，在不会发生混淆时，A1=A，AA=A(1-8)第44页/共194页第四十四页，共194页。在实际应用中，可有多个变在实际应用中，可有多个变量进行与运算，例如，量进行与运算，例如，F=ABC。在数字电路中，把能实现基在数字电路中，把能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路。逻辑门电路。 能实现逻辑乘的基能实现逻辑乘的基本单元电路称为与门，两输入与本单元电路称为与门，两输入与门的逻辑符号如图门的逻辑符号如图1.2所示。所示。 本本入信号全为入信号全为1时，输出才为时，输出才为1。第45页/共194页第四十五页，共194页。第46页/共194页第四十六页，共194页。2. 或逻辑或逻辑或逻辑表示这样一种因果逻或逻辑表示这样一种因果逻辑关系：决定一事件的各种条件辑关系：决定一事件的各种条件(tiojin)中，有一个条件中，有一个条件第47页/共194页第四十七页，共194页。第48页/共194页第四十八页，共194页。在逻辑代数中，或逻辑也称在逻辑代数中，或逻辑也称为或运算或逻辑加，可用如下逻为或运算或逻辑加，可用如下逻辑表达式表示辑表达式表示F=A+B (1-9)“+”为逻辑加运算符号，在有为逻辑加运算符号，在有些文献里，也有采用些文献里，也有采用、等符等符号来表示逻辑加。号来表示逻辑加。 从或逻辑真值从或逻辑真值示。示。第49页/共194页第四十九页，共194页。第50页/共194页第五十页，共194页。第51页/共194页第五十一页，共194页。3. 非逻辑非逻辑(lu j)非逻辑非逻辑(lu j)是逻辑是逻辑(lu j)的否定，表示这样一种因果逻辑的否定，表示这样一种因果逻辑(lu j)关系：当事件发生的条件关系：当事件发生的条件第52页/共194页第五十二页，共194页。第53页/共194页第五十三页，共194页。第54页/共194页第五十四页，共194页。在逻辑代数中，非逻辑也称在逻辑代数中，非逻辑也称为为(chn wi)非运算或逻辑反，非运算或逻辑反，可用如下逻辑表达式表示可用如下逻辑表达式表示(1-12)读做读做“A非非”或或“非非A”。 有的有的书上用书上用“”置于变量的右上方表置于变量的右上方表(1-14)AF A01, 10AAAAAA, 0, 1第55页/共194页第五十五页，共194页。实现逻辑反的电路称为非门，实现逻辑反的电路称为非门，非门的逻辑符号如图非门的逻辑符号如图1.6所示，图所示，图中的小圆圈是表示中的小圆圈是表示“非非”的定性的定性符号；若去掉小圆圈，则成为没符号；若去掉小圆圈，则成为没第56页/共194页第五十六页，共194页。第57页/共194页第五十七页，共194页。4. 与非逻辑与非逻辑(lu j)与非逻辑与非逻辑(lu j)是与逻辑是与逻辑(lu j)运算和非逻辑运算和非逻辑(lu j)运算运算的复合，它将输入变量先进行与的复合，它将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算运算，然后再进行非运算(先与先与后非后非)，其逻辑，其逻辑(lu j)表达式为表达式为真值表见表真值表见表1.9。BAF第58页/共194页第五十八页，共194页。第59页/共194页第五十九页，共194页。第60页/共194页第六十页，共194页。5. 或非逻辑或非逻辑或非逻辑是或逻辑运算和非或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的复合逻辑运算的复合(fh)，它将输，它将输入变量先进行或运算，然后再进入变量先进行或运算，然后再进行非运算行非运算(先或后非先或后非)，其逻辑表，其逻辑表达式为达式为1.10。BAF第61页/共194页第六十一页，共194页。第62页/共194页第六十二页，共194页。第63页/共194页第六十三页，共194页。6. 与或非逻辑与或非逻辑与或非逻辑是与逻辑运算和与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的复合，它是先将或非逻辑运算的复合，它是先将输入输入(shr)变量变量A、B及及C、D分分别进行与运算，然后再进行或非别进行与运算，然后再进行或非运算运算(先与后或非先与后或非)，其逻辑表达，其逻辑表达逻辑符号如图逻辑符号如图1.9所示，其逻辑真所示，其逻辑真值表见表值表见表1.11。CDABF第64页/共194页第六十四页，共194页。第65页/共194页第六十五页，共194页。第66页/共194页第六十六页，共194页。7. 异或逻辑异或逻辑异或逻辑是只有两个异或逻辑是只有两个(lin)输入变量的函数，其逻辑关输入变量的函数，其逻辑关系为：当两个系为：当两个(lin )输入变量输入变量取值相异时，输出为取值相异时，输出为1；否则输；否则输出为出为0。 异或运算在功能上相当异或运算在功能上相当见表见表1.12。BABABAF第67页/共194页第六十七页，共194页。第68页/共194页第六十八页，共194页。第69页/共194页第六十九页，共194页。从异或逻辑真值表可以得到从异或逻辑真值表可以得到(1-19)式式(1-19)为异或逻辑的运算规为异或逻辑的运算规则则(guz)，由此可以推出一般形，由此可以推出一般形式式(1-20)011, 101, 110, 0000, 1,0,1AAAAAAAA001001, 101101第70页/共194页第七十页，共194页。8. 同或逻辑同或逻辑同或逻辑也称异或非逻辑，同或逻辑也称异或非逻辑，它也是只有它也是只有(zhyu)两个输入变两个输入变量的函数，其逻辑关系与异或逻量的函数，其逻辑关系与异或逻辑相反，即当两个输入变量相同辑相反，即当两个输入变量相同ABBAF = A B 第71页/共194页第七十一页，共194页。第72页/共194页第七十二页，共194页。第73页/共194页第七十三页，共194页。从同或逻辑真值表可以得到从同或逻辑真值表可以得到0 0 = 1， 0 1 = 0， 1 0 = 0， 1 1 = 1(1-22)式式(1-22)为同或逻辑的运算为同或逻辑的运算规则，由此可以推出一般形式规则，由此可以推出一般形式 A 0 = ， A 1 = A，A = 0，A A = 1 (1-23)根据式根据式A A = 1，A 1 = AAA第74页/共194页第七十四页，共194页。对异或逻辑和同或逻辑进行对异或逻辑和同或逻辑进行比较后可看出，异或与同或逻辑比较后可看出，异或与同或逻辑恰好相反，因此有恰好相反，因此有(1-24)(1-25)(1-26)(1-27)BA =A B BABAA =A B B BABA第75页/共194页第七十五页，共194页。若逻辑若逻辑(lu j)变量变量A和和B取值取值相同，则必与相同，则必与B相异，或相异，或A与与必相异；若逻辑必相异；若逻辑(lu j)变量变量A和和BBABAABABAB第76页/共194页第七十六页，共194页。1.2.2 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律1. 逻辑函数的相等逻辑函数的相等设设F(A1，A2，An)，G(A1，A2，An)均为变量均为变量 A1，A2，An的逻辑函数。的逻辑函数。 若对若对应于应于A1，A2，An的任何一的任何一组取值，组取值，F和和G的值都相同，即的值都相同，即F 表，如果完全一样，则两个逻辑表，如果完全一样，则两个逻辑函数相等。函数相等。第77页/共194页第七十七页，共194页。【例【例1-12】 设设F(A，B)=，G(A，B)= ，试证明，试证明(zhngmng)：F = G。证明证明(zhngmng)：首先根：首先根BAAB001 BAF(A，B)=01 00 1),(BABAG第78页/共194页第七十八页，共194页。第79页/共194页第七十九页，共194页。观察表观察表1.14可看出，对应可看出，对应A，B的任意的任意(rny)一组取值，一组取值，F和和G的值完全相同，所以的值完全相同，所以F = G。BAAB第80页/共194页第八十页，共194页。第81页/共194页第八十一页，共194页。2. 基本定律基本定律根据逻辑变量的与、或、非根据逻辑变量的与、或、非等运算规则，可推导出如下逻辑等运算规则，可推导出如下逻辑代数的基本定律代数的基本定律(公式公式)：自等律自等律 A+0=A A1=A0-1律律 A+1=1 A0=0AAA第82页/共194页第八十二页，共194页。分配律分配律A(B+C)=AB+AC(乘对加乘对加分配分配) A+BC=(A+B)(A+C)(加对加对乘分配乘分配)反演律反演律(又称又称De Morgan德德摩根摩根定律定律)在多个变量的情况下，反演在多个变量的情况下，反演律。律。【例【例1-13】 证明加对乘的分证明加对乘的分配律：配律：A+BC=(A+B)(A+C)。BABABABA DCBADCBA.DCBADCBA第83页/共194页第八十三页，共194页。第84页/共194页第八十四页，共194页。BAABABABAAABAAABA)(ABCACCBACBAC第85页/共194页第八十五页，共194页。3. 异或和同或逻辑的基本定异或和同或逻辑的基本定律律根据逻辑变量的异或、同或根据逻辑变量的异或、同或等运算等运算(yn sun)规则，可推导规则，可推导出如下基本定律出如下基本定律(公式公式)： AA1AA01 AA0 AAABBACBACBA)(ACABCBA)(A 0 = AA 1 = A A =0 AAA = 1 AB = BA ABC =（A B）C A+( B C ) = ( A+B ) ( A+C ) 第86页/共194页第八十六页，共194页。反演律反演律 =A B= = BAABBABABABABA 第87页/共194页第八十七页，共194页。【例【例1-15】 证明等式证明等式A(AB)=A成立成立(chngl)。证明：证明：A(AB)=AABB第88页/共194页第八十八页，共194页。1.2.3 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则逻辑代数有以下三个重要规逻辑代数有以下三个重要规则。则。1. 代入规则代入规则对于任何一个含有某变量的对于任何一个含有某变量的等式，如果将所有出现该变量的等式，如果将所有出现该变量的地方都代之以一个逻辑函数，则地方都代之以一个逻辑函数，则原等式的逻辑关系。原等式的逻辑关系。第89页/共194页第八十九页，共194页。【例【例1-16】 若，若，F=DC，利用代入规则将，利用代入规则将F代换其代换其中的中的A。解：将等式解：将等式(dngsh)两边的两边的A用用F代入，则有代入，则有BABAABDCBDCDCBABAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBA第90页/共194页第九十页，共194页。nnAAAAAA2121nnAAAAAA2121 同理可得上式把反演(fn yn)律推广到了多变量情况。 利用代入规则可以将基本公式推广为多变量的形式，扩大了等式的应用范围。 第91页/共194页第九十一页，共194页。2. 反演规则反演规则对逻辑函数对逻辑函数F求反称为反演，求反称为反演，F称为原函数，求反后的函数记称为原函数，求反后的函数记作，称为反函数作，称为反函数(或称为反演或称为反演式，补函数式，补函数)。设设F为一逻辑函数，如果将为一逻辑函数，如果将该逻辑函数表达式中所有的原变该逻辑函数表达式中所有的原变解：由反演规则，可得解：由反演规则，可得FFDCBAFF)(DCBAF第92页/共194页第九十二页，共194页。DCBADCBAF)()(DCBADCBA【例【例1-19】 已知，求。已知，求。 解：由反演规则，可得解：由反演规则，可得 使用反演规则时需遵守两个规则：一是要保证原函数逻辑运算的优先顺序不变，为此，应合理地加入一些使用反演规则时需遵守两个规则：一是要保证原函数逻辑运算的优先顺序不变，为此，应合理地加入一些(yxi)括号以避免逻辑运算顺序出错；二是两个或两个以上变量所共用的长非号保持不变。括号以避免逻辑运算顺序出错；二是两个或两个以上变量所共用的长非号保持不变。 EDBCAFFEDCBAF)(第93页/共194页第九十三页，共194页。3. 对偶规则对偶规则CCCC第94页/共194页第九十四页，共194页。【例【例1-20】 已知，试证明。已知，试证明。证明：的对偶式为证明：的对偶式为 BABABABABABABABABABABABAEDBCAFEDCBAF)(*FF第95页/共194页第九十五页，共194页。【例【例1-22】 求求F=的对偶式的对偶式F*。解：解：BA)()(BABABAF)(BABABAAB BAFFAA第96页/共194页第九十六页，共194页。1.2.4 常用公式常用公式运用逻辑代数的基本定律，可以导出一些常用的公式，直接应用这些导出公式可以方便地进行逻运用逻辑代数的基本定律，可以导出一些常用的公式，直接应用这些导出公式可以方便地进行逻BABCABA第97页/共194页第九十七页，共194页。2. 吸收律吸收律2 BABAA)(BAAABAABABA)(1ABBAA)(,BAABACABCABAB第98页/共194页第九十八页，共194页。3. 吸收律吸收律3 证明证明(zhngmng)：对偶式为对偶式为ABAABAABBABAAB1)(ABABA)()(ABCAABCACCBAABC第99页/共194页第九十九页，共194页。CAABBCCAABBCAACAABBCCAAB)(BCACAABCABCAAB )()()(CABACBCABACAABBCDECAABCAABEFDBCCAAB)(第100页/共194页第一百页，共194页。5. 交叉交叉(jioch)互换律互换律证明：证明：)(BACACAABBCCAABAABACA)(BCCAABCAAB BAACCABA)()(BABABABA第101页/共194页第一百零一页，共194页。1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法(fngf)第102页/共194页第一百零二页，共194页。1.3.1 不同的表示方法及其转换不同的表示方法及其转换1. 真值表与逻辑函数式真值表与逻辑函数式通常，任何一个实际的逻辑通常，任何一个实际的逻辑问题问题(wnt)，都可以抽象成真值，都可以抽象成真值表的形式。表的形式。 建立真值表首先要确建立真值表首先要确定输入变量和输出变量的个数，定输入变量和输出变量的个数，然后在真值表的左边列出输入变然后在真值表的左边列出输入变量的所有可能取值组合，右边列量的所有可能取值组合，右边列出每种输入组合下相应的输出逻出每种输入组合下相应的输出逻“”、“ ”等逻辑运算符连接起等逻辑运算符连接起来的组合式，即是所需的逻辑函来的组合式，即是所需的逻辑函数表达式。数表达式。第103页/共194页第一百零三页，共194页。下面下面(xi mian)通过一个具通过一个具体例子讨论列真值表以及由真值体例子讨论列真值表以及由真值表写出逻辑函数式的方法。表写出逻辑函数式的方法。【例【例1-24】 列出下述问题的列出下述问题的真值表，写出描述该问题的逻辑真值表，写出描述该问题的逻辑函数表达式。函数表达式。有有A、B、C三个输入信号，三个输入信号，第104页/共194页第一百零四页，共194页。第105页/共194页第一百零五页，共194页。第106页/共194页第一百零六页，共194页。2) 或或-与表达式与表达式逻辑变量之间只进行逻辑加逻辑变量之间只进行逻辑加运算运算(yn sun)的表达式称为或的表达式称为或项，亦称和项。项，亦称和项。 或项之间只进行或项之间只进行逻辑乘运算逻辑乘运算(yn sun)的表达式的表达式称为或称为或-与表达式，或称为与表达式，或称为“和之和之”的或项；将这些或项相与，可得的或项；将这些或项相与，可得出出F的或的或-与逻辑函数表达式。与逻辑函数表达式。第107页/共194页第一百零七页，共194页。上例中，对应于上例中，对应于F=0的输入的输入变量组合也有四组，如有变量组合也有四组，如有A=0，B=0，C=0，用或项，用或项 A+B+C 来来表示表示(biosh)，其余三组的或项，其余三组的或项分别为分别为A+B+C、A+B+C和和A+B+C，将这些或项相与后得到，将这些或项相与后得到的逻辑函数表达式为的逻辑函数表达式为F=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)真值表。真值表。第108页/共194页第一百零八页，共194页。【例【例1-25】 已知逻辑函数已知逻辑函数F(A，B，C)=AC，求它对应的真，求它对应的真值表。值表。第109页/共194页第一百零九页，共194页。第110页/共194页第一百一十页，共194页。2. 逻辑函数式与逻辑图逻辑函数式与逻辑图将逻辑函数式中各变量之间将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用逻辑的与、或、非等逻辑关系用逻辑图形符号表示出来，再用线段将图形符号表示出来，再用线段将这些符号与对应的逻辑变量连接这些符号与对应的逻辑变量连接重要的表示方法。重要的表示方法。第111页/共194页第一百一十一页，共194页。若逻辑函数式已知，转换为若逻辑函数式已知，转换为相应的逻辑图时，只需用相应的逻辑图时，只需用(x yn)逻辑图形符号代替逻辑函逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，即可优先顺序将它们连接起来，即可得到相应的逻辑图。得到相应的逻辑图。 如例如例1-12中中的图的图1.12是由逻辑函数式是由逻辑函数式F(A，图如图图如图1.13所示，写出它的逻辑所示，写出它的逻辑函数式。函数式。第112页/共194页第一百一十二页，共194页。第113页/共194页第一百一十三页，共194页。解：这是由两个非门和三个解：这是由两个非门和三个或非门组成的逻辑图。或非门组成的逻辑图。 从输入从输入A、B开始，逐个开始，逐个(zhg)写出每个图写出每个图形符号输出端的逻辑式，得到形符号输出端的逻辑式，得到BABAF)(BABABABAFABBA=A B 第114页/共194页第一百一十四页，共194页。3. 真值表与波形图真值表与波形图将逻辑函数中输入变量每一将逻辑函数中输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来就是值按时间顺序依次排列起来就是该逻辑函数的波形该逻辑函数的波形(Waveform)图，图，也称时序图也称时序图(Timing Diagram)。在将真值表转换为波形图时，在将真值表转换为波形图时，只需将真值表中所有的输入变量只需将真值表中所有的输入变量解：例解：例1-25真值表的波形图真值表的波形图如图如图1.14所示。所示。第115页/共194页第一百一十五页，共194页。第116页/共194页第一百一十六页，共194页。已知逻辑函数波形图求对应已知逻辑函数波形图求对应的真值表时，应先从波形图上找的真值表时，应先从波形图上找第117页/共194页第一百一十七页，共194页。1.3.2 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式(即标即标准表达式准表达式)有最小项表达式和最有最小项表达式和最大项表达式两种。大项表达式两种。 逻辑函数的表逻辑函数的表第118页/共194页第一百一十八页，共194页。1. 最小项最小项第119页/共194页第一百一十九页，共194页。第120页/共194页第一百二十页，共194页。观察表观察表1.17可以看出，最小可以看出，最小项具有以下主要性质：项具有以下主要性质： 对于任意一个最小项，取对于任意一个最小项，取值为的机会值为的机会(j hu)只有次，只有次，即只有一组变量的取值可以使其即只有一组变量的取值可以使其1120niim第121页/共194页第一百二十一页，共194页。2. 最大项最大项逻辑函数的最大项逻辑函数的最大项(Maxterm)是一个是一个(y )和项，在该和项中包含了逻辑函数的全部变量，和项，在该和项中包含了逻辑函数的全部变量，第122页/共194页第一百二十二页，共194页。第123页/共194页第一百二十三页，共194页。观察表观察表1.18可以看出，最大可以看出，最大项具有项具有(jyu)以下主要性质：以下主要性质： 对于任意一个最大项，取对于任意一个最大项，取值为值为0的机会只有的机会只有1次，即只有一次，即只有一组变量的取值可以使其值为组变量的取值可以使其值为0，个个)的逻辑乘恒为的逻辑乘恒为0，即，即0120niiM第124页/共194页第一百二十四页，共194页。3. 最小项与最大项之间的关最小项与最大项之间的关系系iiiiMmmM,3377MCBACBACBAmmCBACBAM第125页/共194页第一百二十五页，共194页。4. 最小项表达式最小项表达式逻辑函数的最小项表达式是逻辑函数的最小项表达式是CABCBACBACBAF),(640mmm)6 , 4 , 0(m 逻辑函数(hnsh)的最小项表达式可由配项法和真值表法得到。 第126页/共194页第一百二十六页，共194页。1) 配项法配项法对于对于(duy)不是标准与不是标准与-或或-DCCDAABCDCBAF),(DCBADCBADCABDCBACDBABCDADABCABCDDCADCACDBABCDADABCABCDDCAACDBBADDABCDCCDAABC)()()()15,14,12, 8, 7, 4, 3, 0(04128371415mmmmmmmmmF(A，B，C，D)第127页/共194页第一百二十七页，共194页。要注意的是，要注意的是，F(A，B，C)和和F(C，B，A)的区别，读者可做一的区别，读者可做一做做F(A，B，C)=和和F(C，B，A)= 的最小项展开式。的最小项展开式。同一逻辑式对应的最小项的编号同一逻辑式对应的最小项的编号是不同的。是不同的。BCABCBABCABCBA第128页/共194页第一百二十八页，共194页。第129页/共194页第一百二十九页，共194页。BABABAF),()2, 0(m20mm 第130页/共194页第一百三十页，共194页。5. 最大项表达式最大项表达式)()(),(CBACBACBACBAF137MMM)7, 3, 1 (M对于不是标准或-与形式的或-与表达式，与最小项类似，可利用(lyng)互补律配项，之后再整理成标准或-与形式，也可通过真值表得到。 第131页/共194页第一百三十一页，共194页。)(CBABA)(CBACCBA)()(CBACBACBA410MMM)4, 1 , 0(M真值表的每一行(yxng)也对应着一个最大项，只要将真值表中使函数值为0的各个最大项相与，便可得出该函数的最大项表达式(参见例1-24或-与表达式)。 第132页/共194页第一百三十二页，共194页。)(),(BABABAF31MM ) 3, 1 (M第133页/共194页第一百三十三页，共194页。6. 最小项表达式与最大项表最小项表达式与最大项表达式的关系达式的关系最小项表达式与最大项表达最小项表达式与最大项表达),(BAF)2, 0(m) 3, 1 (M可以看出，两种标准式中的最小项和最大项序号间存在一种互补关系，即最小项表达式中未出现的最小项序号k必以最大项的序号k出现在最大项表达式中，反之亦然。 利用这一特性(txng)，可以方便地根据一种标准表达式写出另一种标准表达式。 第134页/共194页第一百三十四页，共194页。例如，例如，F(A,B,C)= 的最大项表达式为的最大项表达式为F(A,B,C)=)7, 4, 1 , 0(m)6 , 5 , 3, 2(M第135页/共194页第一百三十五页，共194页。第136页/共194页第一百三十六页，共194页。F)7, 6, 4, 2, 1 (mFCBABCACBAF)()(*CBACBACBAF)2, 4, 7(M)6, 5, 3, 1 , 0(m)5, 3, 0(mF第137页/共194页第一百三十七页，共194页。观察此例可看出，若逻辑变观察此例可看出，若逻辑变量数为量数为n，由，由2n个最小项中除个最小项中除去去F中已包含的最小项以外的全中已包含的最小项以外的全*FFF第138页/共194页第一百三十八页，共194页。1.3.3 逻辑函数的常见表达式逻辑函数的常见表达式逻辑函数表达式除了标准形逻辑函数表达式除了标准形一一与-或式 或-与式 与非-与非式 或非-或非式 与或非式 标准(biozhn)与-或式标准(biozhn)或-与式BCABCBABCBBACBBA)(CBBACBABF)(CBBACBACBACABABC)()()(CBACBACBACBA第139页/共194页第一百三十九页，共194页。1.4 逻辑函数的简化逻辑函数的简化如前所述，同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁或简。如前所述，同一函数的逻辑表达式有多种形式，或繁或简。第140页/共194页第一百四十页，共194页。使电路最简的与使电路最简的与-或式应满足：或式应满足：(1) 乘积项的个数最少，这意味乘积项的个数最少，这意味着实现电路所用门的个数较少；着实现电路所用门的个数较少；(2) 每个乘积项中包含的变量每个乘积项中包含的变量(binling)个数个数(因子因子)最少，这最少，这第141页/共194页第一百四十一页，共194页。1.4.1 公式化简法公式化简法公式化简法就是运用逻辑代公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。子，以求得函数式的最简形式。ABAABBCDDCBDBCDCBFCBAABCCABCBAF21第142页/共194页第一百四十二页，共194页。BDCBDCBCDDCBDCDCBFAACCABBACBBCAF )()()()()()(21第143页/共194页第一百四十三页，共194页。2. 消项法消项法利用公式利用公式A+AB=A及及CDBBADAFBDDCDAABCF21CAABBCCAAB解：解：BABCDBADAFDCDAABCBDDACABCBDDCAABCF21)(DAC (根据多余项公式消去(xio q)BD，将展开)第144页/共194页第一百四十四页，共194页。3. 消去互补因子法消去互补因子法DCDAACFCDCABAF21BABAA解：解：DACDACACDCAACFCBDACDCBAF)(21第145页/共194页第一百四十五页，共194页。4. 配项法配项法利用公式利用公式A+=1，将某乘，将某乘AAABBCCBBAF1ADEFCBCBCAABF2解：解：ABCBCACABACBBBCAABABCCBCBABCACBAABBCAABCCBCBACBAABAABCCBCCBAABBCCBBAF) 1() 1()()()()()()(1第146页/共194页第一百四十六页，共194页。CBCBAADEFCBCBAADEFCBCBCBAADEFCBCBCBAF)(2第147页/共194页第一百四十七页，共194页。)()()()()(FEDFBFECADBCABAAF)()()()()(FEDFBFECADBCABAAF)()(FBDBCAA)(FBDBAC解：这是一个或解：这是一个或-与表达式，可利用与表达式，可利用(lyng)各公式的或各公式的或-与式来进行化简：与式来进行化简：若对或-与形式的公式(gngsh)不熟练，可采用二次对偶法更为方便。 即对或-与表达式求其对偶，变成与-或式，并对该与-或式进行化简，最后将化简后的与-或式再求对偶，即可得到原函数的最简或-与式。 第148页/共194页第一百四十八页，共194页。FBBDCAFBBDCAADEFFBCEFABDCAABAF 由等式(F*)*=F可知，求F*的对偶(du u)式，即为F的最简函数式：)(FBDBACF两种方法的化简结果(ji gu)是相同的。 由上述举例可以看出，利用公式法化简逻辑函数，要求熟练掌握对公式的运用，技巧性较强，而且化简后的结果(ji gu)不易判断是否已简化到最简形式。 第149页/共194页第一百四十九页，共194页。1.4.2 卡诺图化简法卡诺图化简法卡诺图卡诺图(Karnaugh Map)化简化简法是将逻辑法是将逻辑(lu j)函数用卡诺图函数用卡诺图第150页/共194页第一百五十页，共194页。1. 卡诺图结构卡诺图结构卡诺图实际上是真值表的另卡诺图实际上是真值表的另一种形式一种形式(xngsh)。 它是将逻辑它是将逻辑变量分成两组，每一组变量取值变量分成两组，每一组变量取值组合按循环码的规则排列所构成组合按循环码的规则排列所构成的方格图，图中的每一个小方格的方格图，图中的每一个小方格代表真值表上的一行，真值表有代表真值表上的一行，真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方多少行，卡诺图就有多少个小方以改画成图以改画成图1.15(a)或或(b)的卡诺图的卡诺图形式形式(xngsh)。第151页/共194页第一百五十一页，共194页。第152页/共194页第一百五十二页，共194页。第153页/共194页第一百五十三页，共194页。第154页/共194页第一百五十四页，共194页。从图从图1.16卡诺图上可以卡诺图上可以(ky)看出，任意两个相邻的最小项在看出，任意两个相邻的最小项在图中几何位置也是相邻的，如三图中几何位置也是相邻的，如三变量的变量的m7同它的三个相邻项同它的三个相邻项m3、m5、m6在图中的位置相邻；包在图中的位置相邻；包括上下两边、左右两边以及四个括上下两边、左右两边以及四个角都分别相邻。角都分别相邻。 相邻的最小相邻的最小(大大)项可以项可以(ky)合并消去一个变量，合并消去一个变量，如如m7和和m5相邻，相邻，m7+m5=直观。直观。ACBBACCBAABC)(第155页/共194页第一百五十五页，共194页。第156页/共194页第一百五十六页，共194页。2. 逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示由于任意一个由于任意一个n变量的逻辑变量的逻辑函数都可以变换成最小项表达式，函数都可以变换成最小项表达式，自然可以用卡诺图来表示任意一自然可以用卡诺图来表示任意一逻辑函数都等于它的卡诺图中添逻辑函数都等于它的卡诺图中添1的那些最小项之和。的那些最小项之和。【例【例1-38】 用卡诺图表示用卡诺图表示逻辑函数逻辑函数)7, 6, 5, 3(),(mCBAF第157页/共194页第一百五十七页，共194页。第158页/共194页第一百五十八页，共194页。如果逻辑函数如果逻辑函数(hnsh)不是不是最小项表达式的形式，可将逻辑最小项表达式的形式，可将逻辑。ACBDACBAF15,14,11,10, 7, 5, 9, 8 mABCDDABCCDBADCBABCDADCBADCBADCBAACBDACBAF卡诺图表示(biosh)见图1.18。 第159页/共194页第一百五十九页，共194页。第160页/共194页第一百六十页，共194页。学习中需要注意卡诺图和函学习中需要注意卡诺图和函数最小数最小(大大)项表达式的关系项表达式的关系(gun x)： (1) “1格格”代表的最小项进代表的最小项进入函数的最小项表达式，入函数的最小项表达式，“0格格”代表的最小项不进入函数的最小代表的最小项不进入函数的最小的卡诺图如图的卡诺图如图1.19所示，试写出所示，试写出该函数的最大项逻辑式。该函数的最大项逻辑式。第161页/共194页第一百六十一页，共194页。第162页/共194页第一百六十二页，共194页。)( )()(DCBADCBADCBADCBADCBAF)12, 6, 2, 1, 0(M第163页/共194页第一百六十三页，共194页。3. 用卡诺图化简法求逻辑函用卡诺图化简法求逻辑函数的最简与数的最简与-或表达式或表达式卡诺图化简逻辑函数的原理卡诺图化简逻辑函数的原理第164页/共194页第一百六十四页，共194页。1) 合并最小项原则合并最小项原则两个相邻项的合并：两个相邻项的合并： 两个