概率统计章节作业答案

第一章 随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A=出现奇数点，B=出现1或3点，则下列选项正确的是( B ).A. AB=出现奇数点 B. =出现5点C. =出现5点 D. 2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. B. C. D.3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令Ai=第i次正面向上（i=1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A. B. C. D.4.某人向一目标射击3次，设Ai表示“第i次射击命中目标”（i=1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A. B. C. D.5.设A与B为互为对立事件，且，则下列各式中错误的是( A ). A. B. C. D. 6.设事件A与B相互独立,P(A)=0.2, P(B)=0.4, 则= ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.87.已知事件A与B互不相容, P(A)0, P(B)0, 则 ( C ). A. B. C. D.8.设P(A)=0, B为任一事件, 则 ( C ). A. B. C.A与B相互独立 D. A与B互不相容9.已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, 且,则P(A|B)= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 110.设A与B为两事件, 则= ( B ). A. B. C. D. 11.设事件, P(A)=0.2, P(B)=0.3,则 ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.4412.设事件A与B互不相容, P(A)=0.4, P(B)=0.2, 则P(A|B)= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 013.设A, B为随机事件, P(B)0, P(A|B)=1, 则必有 ( A ). A. B. C. P(A)=P(B) D. P(AB)=P(A)14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. B.0.4 C. 0.25 D.16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ). A. 0.125 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为 ( A ). A. 0.72 B. 0.75 C. 0.96 D. 0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为 ( C ). A. B. C. D. 20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为 ( C ). A. B. C. D. 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为 ( C ). A. B. C. D. 22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为 ( D ). A. B. C. D.23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ). A. B. C. D. 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为 ( A ). A. B. C. D. 25.某人每次射击命中目标的概率为p(0p1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为 ( D ). A. p2 B. (1-p)2 C. 1-2p D. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为 18/35 .2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为 1/16 . 3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为 0.25 . 4.从数字1，2，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为 0.0486 . 5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为 0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为 5/12 .7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则= 0.5 .8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设，则P(AB)= 0.42 .10.设，则P(A+B+C)= 5/12 . 11.已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3, 则= 0.6 . 12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 . 13.已知P(A)=0.4, P(B)=0.8, P(B|A)=0.25, 则P(A|B)= 0.125 . 14.设，则= 1/3 .15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 . 16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P(A)=0.4, P(B)=0.2, , 求P(AB)以及P(A|B).解:由得:即,解得:P(AB)=0.02. 从而, .2.已知求：(1)；(2)P(AB)；(3)；(4) ；(5)P(B-A).(1)由概率的性质，知；(2)因为，所以，P(AB)=P(A)=0.2；(3)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0；(4) 因为，所以, =P(B)=0.3；或者，=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；3.若事件A与B互不相容，P(A)=0.6, P(A+B)=0.9, 求：(1)；(2)；(3).解:(1) 因A与B互不相容，故，P(AB)=0，所以=1-P(AB)=1；(2) 因A与B互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=0.3，从而 =；(3) =.4.已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.4, P(A+B)=0.6, 求(1)P(B)；(2) ；(3)P(A|B).解：(1)因为事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，0.6=0.4+P(B)-0.4P(B)，解得：P(B)=；(2) 因为事件A与B相互独立，所以A与也相互独立，故=；(3) 因为事件A与B相互独立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解：设A“3个产品中至少有2个产品等级相同”，“3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得，从而.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A“取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知： .3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A“4只鞋子中至少能配成一双”，则“4只鞋子都不同”.由古典概率得：，故.4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A“排成的数是三位数且是偶数”，A0“排成的三位数末位是0”，A2“排成的三位数末位是2”，则A=A0+A2，且A0与A2互不相容，因为 所以，.5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设Ai “第i次取到合格品”（i=1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为： .(2)A“三次内取得合格品”，则，所求概率为： 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A1“第一次取出的是红球”，A2“第二次取出的是红球”，则(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为： ；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：；(3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为： 7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设Ai“第i台设备生产的零件”(i =1，2)，B“产品是废品”，由题意知：P(A1)=25%，P(A2)=35%，P(A3)=40%，P(B|A1)=0.05, P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为： .8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.解：设B“零件是合格品”，A“第一台车床加工的零件”，则“第二台车床加工的零件”，由题意知：.(1)由全概率公式得： ；(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为： 9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设B“色盲患者”，A“随机挑选一人是男人”，由题设知： ，则(1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为： ；(2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为： ；(3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：.10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.解：设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为： ；(3)甲乙丙都抽到难签的概率为： ；(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：.由全概率公式得，乙抽到难签的概率为： .丙抽到难签的概率为： =0.4.得，P(A)=P(B)=P(C)=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率. 解：设Ai表示“三人中恰有i人击中飞机”，i=0，1，2，3.B“飞机被击落”.A0, A1, A2, A3构成完备事件组，且，,.由题设知：.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为： .12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.解：设Ai表示“三人中恰有i人击中飞机”，i=0，1，2，3.B“飞机被击落”.A0, A1, A2, A3构成完备事件组，且由贝努里公式得：，.由题设知：.故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.解：设A“产品是合格品”，B“经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P(A)=95%, .则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为： ；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为： .14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设Ai“第i台机床需要看管”，i=1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为： 15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设Ai“第i道工序加工出次品”，i=1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A1+A2+A3，且A1，A2，A3相互独立，从而也相互独立.所求概率为： .16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.解：设A，B，C分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C表示“密码被破译”，且A，B，C相互独立，从而也相互独立，故所求概率为： .17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设A，B分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知： .(1)两粒种子都能发芽的概率为：；(2)至多有一粒种子能发芽的概率为： ；(3)至少有一粒种子能发芽的概率为： .18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p3.解：该问题是参数p=0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1=；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为： p2=；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：p3=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为, 求射手射击一次命中目标的概率.解：设射手射击一次命中目标的概率为p，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：，由题设知： ，解得：.20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p, 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为： .五、证明题1.设0P(B)0，则；(2)若A与B互不相容，则；(3).证：(1)因为，而，所以，且，；(2)若A与B互不相容，则AC与BC也互不相容，从而 ；(3)由性质(2)得：，又，由性质(1)知，所以，即第二章 随机变量及其概率分布X 0 1 2P0.3 0.2 0.5 一、单项选择题1.设随机变量X的分布律为 则PX1= ( C ). A. 0 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5X 0 1 2 3P0.1 0.2 0.3 a2.设随机变量X的概率分布为则a= ( D ). A. 0.2 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.43.设随机变量X的概率密度为则常数c = ( D ). A. B. C. - D. 14.设随机变量X的概率密度为则常数a = ( D ). A. B. C. 3 D. 45.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ). A. B. C. D. 6.设函数在区间上等于，而在此区间外等于0；若可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间为 ( A ). A. B. C. D. 7.下列函数中，可以作为某随机变量X的分布函数的是 ( C ). A. B. C. D. 8.设是随机变量X的分布函数，则 ( B ). A. 一定连续 B. 一定右连续 C. 是不增的 D. 一定左连续9.设是随机变量X的分布函数，则下列结论错误的是(D ). A.是定义在上的函数 B. C. D.对一切实数x，都有03= ( A ). A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.819215.设随机变量XN(1，4)，Y=2X+1，Y ( C). A. N(1, 4) B. N(0, 1) C. N(3, 16) D. N(3, 9)16.设，是N(0, 1)的分布函数，则= ( D ). A. B. C. D.17.设XN(-1，4)，是N(0, 1)的分布函数，则P(-2X0)= ( A ). A. B. C. D.18.设XN(0，1)，是X的概率密度函数，则 (C ). A. 0 B. 0.5 C. D. 119.设X服从均匀分布U0，5，Y=3X+2，则Y服从 ( B ). A. U0, 5 B. U2, 17 C. U2, 15 D. U0, 1720.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X表示中奖的件数，则X的分布为 ( D ). A.正态分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.二项分布21.设X服从参数的泊松分布，是X的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ). A. B. C.P(X=0)=P(X=1) D.22.设X服从参数的泊松分布，且，则= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若,其中x10时, X的概率密度= 1 . .8.设随机变量X的分布律为X 0 1 2 P0.4 0.2 0.4 则= 0.6 .9.设随机变量XN(3, 4), 则 0.148 .(其中)10.设随机变量X服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律 P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3 .11.若随机变量XB(4, 0.5), 则= 15/16 .12.若随机变量XU(0, 5),且Y=2X,则当时, Y的概率密度= 1/10 .13.设随机变量XN(0, 4)，则= 0.5 .14.设随机变量XU(-1, 1)，则= 0.5 .15.设随机变量X在2, 4上服从均匀分布，则= 0.5 .16.设随机变量XN(-1, 4)，则 N(0，1) .17.设随机变量X的分布律为，则a= 2/3 .18.设连续型随机变量X的概率密度为，则k= -1/2 .19.若随机变量XN(1, 16)，Y=2X-1，则Y N(1，64) .20.若随机变量XU(1, 6)，Y=3X+2，则Y U(5，20) .三、计算题 1.设连续型随机变量X的分布函数为，求X的概率密度函数.解：由分布函数与概率密度函数之间的关系知，当0x1时， ，当或时，=0，所以，X的概率密度为.2.设X服从参数p=0.2的0-1分布，求X的分布函数及P(X0.5).解：X的分布律为 X 0 1 P0.8 0.2当时，=0；当时，=；当时，=.所以，X的分布函数为；而P(X0.5)= P(X=0)=0.8.3.设随机变量XU(a, b)，求X的密度函数与分布函数.解：X的密度函数为；分布函数，当时，；当时，；当时，.所以，X的分布函数为.4.设随机变量XN(3, 4)，求：(1)P(2X3)；(2) P(-4X2)；(4)P(X3).解：(1)P(2X3)= =0.1915；(2) P(-4X2)= =0.6977； (4)P(X3)=0.5.5.已知随机变量X的密度函数为，求：(1)常数k；(2)分布函数；(3).解：(1)因为，所以，故k=3.即随机变量X的概率密度为；(2)当时，=0，当时，=，当时，=所以，随机变量X的分布函数为；(3)；6.设随机变量X的概率密度为，求X的分布函数.解：当时，=0；当时，=；当时，=；当时，=.所以，随机变量X的分布函数为.7.设随机变量X，求：(1)；(2).解：(1)= =；(2)=.8.设随机变量X在0，5上服从均匀分布，求方程有实根的概率.解：X，而方程有实根的充分必要条件是，即，故所求概率为： =0+=0.6.X-1 0 1 2 P0.1 0.2 0.3 0.49.设随机变量X的分布律为求：(1)Y=2X的分布律；(2)Z=|X|的概率分布；(3)X2的分布律.解：(1)由X的分布律知，Y的取值为-2，0，2，4.且 ， ，.Y-2 0 2 4 P0.1 0.2 0.3 0.4所以，Y的分布律为(2)Z=|X|的取值为0，1，2.， .所以，X2的分布律为：X2 0 1 4 P 0.2 0.4 0.410.设XU0，4， Y=3X+1，求Y的概率密度.解：X，Y=3X+1的取值范围是1，13.Y的分布函数当时，有，；当时，有，；当时，有，.11.已知随机变量XN(1，4)，Y=2X+3，求Y的概率密度.解：X，建立Y的分布函数与X的分布函数之间的关系.因为： ，两边对y求导： ，即YN(5，16).12.已知X服从参数的指数分布，Y=2X-1，求Y的概率密度.解：由题设知，X，方法1 ，两边对y求导：，又因为，所以，Y的概率密度为： .四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X的分布律；(2)随机变量X的分布函数.解：(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，且，得到X的分布律为：X 0 1 2 P (2)X的可能取值0，1，2将分布函数F(x)的定义域分为四部分：当时，当时，当时，当时，.从而得到X的分布函数为：.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X的概率分布及分布函数.解：X的可能取值为1，2，3.且，所以，X的概率分布为：X 1 2 3 P 当时，当时，当时，当时，.从而得到X的分布函数为： 3. 袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X表示取出的两个球的最大号码，求X的概率分布.解：X的所有可能的取值为2，3.且，从而得到X的概率分布为：X 2 3 P 4.设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X的概率分布.(1)不放回抽样；(2)有放回抽样.解：(1)不放回抽样，X的可能取值为0，1，2，40.X=k表示100个样品中恰好有k个次品，则，得到X的概率分布为： (2)有放回抽样，X的可能取值为0，1，2，100.由于有放回抽样，抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验，且每次抽到次品的概率都是0.04，抽到正品的概率为0.96，XB(100,0.04).则X的概率分布为： 5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为，连续抛掷10次，以X表示正面出现的次数，求X的分布律.由题设知，XB(10，). 则X的分布律为： 6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.解：设X表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数，由题意知，XB(1000，0.0001).由于n=1000很大，p=0.0001很小，故利用泊松分布近似代替二项分布计算.其中，查泊松分布表可得，所求概率为：7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有4次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.解：设X表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数，由题意知，XP(4)，其分布律为： ，则(1)每分钟恰有4次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.解：X表示取出3个球中含有红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，3.且 ， ，于是，X的概率分布为：X 0 1 2 3 P 9.已知某类电子元件的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度为，一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p1；(2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p2.解：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率为： p1=；(2)一台仪器能正常工作到1000小时以上，需要这3个电子元件的寿命都在1000小时以上，由独立性知，所求概率为： p2=.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X服从（厘米），（厘米）的正态分布，即.问车门高度应如何确定？解：设车门高度为h厘米，由题意知，即.因为XN(170，36)，所以，查表得：，所以，解得h=183.98.设计车门的高度为183.98厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过0.01.五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求：(1)抽样次数X的概率分布；(2)X的分布函数F(x)；(3).解：(1)X的可能取值为1，2，3.且，.所以，X的概率分布为：X 1 2 3 P (2)当时，当时，当时，当时，.所以，X的分布函数为：；(3)；或.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求.解：(1)由题设知，则司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率为： ；(2)由题意知，Y的分布律为： .3.甲乙丙三人独立地等1，2，3路公共汽车，他们等车的时间（单位：分钟）都服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.解：设一个人等车的时间为X，由题设知，XU0，5，其密度函数：.则一个人等车不超过2分钟的概率为：.设Y表示三人中等车时间不超过2分钟的人数，则YB(3，0.4)，则三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率为：=0.352.4.设测量距离时产生的随机误差XN(0，102)（单位：米），现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率.解：(1) p=0.05.(2)由题意知，YB(3, 0.05)，Y的分布律为：(3)三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率为： =0.142625.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：分钟）服从参数的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.解：(1)由题设知，等待服务的时间X，顾客离开银行的概率为：.由题意知，YB(5，e-1)，其分布律为：(2)所求概率为=.6.设连续型随机变量X的分布函数为：，求：(1)系数A；(2)X的概率密度；(3)；(4)Y=X2的概率密度.解：(1)由F(x)的连续性知，有，得；(2)X的概率密度；(3)，或=；(4)因为，所以，当时，当时， ，当时，所以，X的分布函数为：，X的概率密度为：.7.连续型随机变量X的分布函数为，求：(1)常数A，B；(2)；(3)X的概率密度.解.：(1)由分布函数的性质知，即，解得：所以，(2)(3)X的概率密度8.设X是连续型随机变量，其概率密度为：，求：(1)系数A及分布函数F(x)；(2)；(3)Y=2X的概率密度.解：(1)由概率密度的性质知：，得，从而，.当时， ，当时，当时，所以，X的分布函数为：；(2)，或；(3)因为，上式两边对y求导：，又因为，所以，Y=2X的概率密度为：.9.设X的分布律为：X-1 1 2 3 P0.3 0.2 0.1 0.4求：(1)Y=(X-1)2的分布律；(2)Y的分布函数；(3).解：(1)Y的可能取值为0，1，4，且，得到Y的分布律为：Y 0 1 4 P 0.2 0.1 0.7 (2)当时，当时，当时，当时，.所以，Y的分布函数为：.(3)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.2+0.1=0.3.第三章 多维随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设二维随机变量(X, Y)的分布律为：Y X 0 1 2012 0.1 0.2 0 0.3 0.1 0.1 0.1 0 0.1则P(X=Y)= ( A ). A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.82.设随机变量X与Y相互独立，且，则P(XY=-1)= ( B ). A. B. C. D.3.设二维随机变量(X, Y)的分布律为：Y X 1 2 3-101 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0则P(X+Y1)= ( A ). A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.14.设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y)，则 ( B ).A.0 B. C. D.15.设随机变量X与Y相互独立，且XN(3, 4), YN(2, 9), 则Z=3X-Y ( C ). A.N(7,12) B.N(7,27) C.N(7,45) D.N(11,45)6.设二维随机变量，则Y ( D ). A. B. C. D. 7.二维随机变量(X, Y)只取如下数组中的值(0, 0), (-1, 1), (-1, ), (2, 0)，且相应的概率依次为，则c的值为 ( B ). A.2 B.3 C.4 D.58.设随机变量(X, Y)的联合概率密度为，则= ( C ). A. B. C. D.9.设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为，则常数c为 ( C ). A.1 B.0.5 C.2 D.310.设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y)，其边缘分布函数为、，且对某一组有，则下列结论正确的是( B ). A.X和Y相互独立 B. X和Y不独立 C. X和Y可能独立，也可能不独立 D. X和Y在点()处独立11.设二维随机变量，且X与Y相互独立，则( B ). A. B. C. D. 12.设随机变量X与Y相互独立，且，则下列结论正确的是 ( B ). A. B. C. D.二、填空题1.设二维连续随机变量(X, Y)在区域G=上服从均匀分布，则其概率密度 0 .2. 设二维随机变量(X, Y)的分布律为：Y X 1 2 3-101 0.2 0.1 0.1 0 0.1 0.2 0.2 0.1 0