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专题突破三数列通项公式的求法求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1由数列的前n项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，；(2)，；(3)2，；(4)，.解(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an4(1)n，nN.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an，nN.(3)数列可化为11,2，3，4，5，所以它的一个通项公式为ann，nN.(4)数列可化为，所以它的一个通项公式为an，nN.反思感悟这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一跟踪训练1由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，7,13，19,25，；(2)，；(3)1，.解(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n+1(6n5)，nN.(2)数列化为，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an，nN.(3)数列化为，所以数列的一个通项公式为an(1)n+1，nN.二、利用递推公式求通项公式命题角度1累加、累乘例2(1)数列an满足a11，对任意的nN都有an1a1ann，求通项公式；(2)已知数列an满足a1，an1an，求an.解(1)an1ann1，an1ann1，即a2a12，a3a23，anan1n(n2)等式两边同时相加得ana1234n(n2)即ana1234n1234n.又a11也适合上式，an，nN.(2)由条件知，分别令n1,2,3，n1，代入上式得(n1)个等式，累乘，即(n2)，又a1，an.又a1也适合上式，an，nN.反思感悟形如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下：第一步将递推公式写成an1anf(n)；第二步当n2时，依次写出anan1，a2a1，并将它们叠加起来；第三步得到ana1的值，解出an；第四步检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式叠乘法类似跟踪训练2在数列an中，a11，anan1n1(n2,3,4，)，求an的通项公式解当n1时，a11，当n2时，这n1个等式累加得，ana112(n1)，故ana1且a11也满足该式，an(nN)命题角度2构造等差(比)数列例3已知数列an满足an13an2，且a11，则an_.答案23n-11解析设an1A3(anA)，化简得an13an2A.又an13an2，2A2，即A1.an113(an1)，即3.数列an1是等比数列，首项为a112，公比为3.则an123n-1，即an23n-11.反思感悟形如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设递推公式可改写为an1tp(ant)；第二步由待定系数法，解得t；第三步写出数列的通项公式；第四步写出数列an通项公式跟踪训练3已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式解设an15n+12(an5n)，将an12an35n代入式，得2an35n5n+12an25n，等式两边消去2an，得35n5n+125n，两边除以5n，得352，则1，代入式得an15n+12(an5n)由a1516510及式得an5n0，则2，则数列an5n是以1为首项，2为公比的等比数列，则an5n2n-1，故an2n-15n(nN)命题角度3预设阶梯转化为等差(比)数列例4在数列an中，a12，an14an3n1，nN.(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN.因为a1110，所以ann0，所以4，所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列(2)解由(1)，可知ann4n-1，nN，于是数列an的通项公式为an4n-1n，nN.反思感悟课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深跟踪训练4在数列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN)(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由3anan1anan10(n2)，整理得3(n2)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an，nN.三、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式例5已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN，则an等于()A2n+1B2nC2n-1D2n-2答案A解析因为Sn2an4，所以n2时，Sn-12an-14，两式相减可得SnSn12an2an1，即an2an2an-1，整理得an2an1，因为S1a12a14，即a14，所以2.所以数列an是首项为4，公比为2的等比数列，则an42n-12n+1，故选A.反思感悟已知Snf(an)或Snf(n)的解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式；第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入n2时的an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例3形式的问题跟踪训练5在数列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN)，求数列an的通项公式an.解由a12a23a3nanan1，得当n2时，a12a23a3(n1)an1an，两式作差得nanan1an，得(n1)an13nan(n2)，即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21，于是2a22，故当n2时，nan23n-2.于是an1已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n-11BanCan2sinDancos(n1)1答案C解析对n1,2,3,4进行验证，知an2sin不合题意，故选C.2数列0，的一个通项公式为()Aan(nN)Ban(nN)Can(nN)Dan(nN)答案C解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可3已知数列an满足a11，anan1(n2)，则an_.答案解析因为anan1(n2)，所以an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11也满足an.综上an.4数列an的前n项和为Snn23n1，nN，则它的通项公式为_答案an解析当n1时，a1S15；当n2时，anSnSn12n2.故数列an的通项公式为an5在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是_答案an4n-1解析依题意a14a142a121，所以a11，所以ana1qn-14n-1.6已知数列an的前n项和Sn2n23n.求an的通项公式解因为Sn2n23n，所以当n2时，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，所以anSnSn14n5，n2，又当n1时，a1S11，满足an4n5，所以an4n5，nN.7已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.证明an是等比数列，并求其通项公式解由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.所以an是首项为，公比为的等比数列，所以ann1，nN.一、选择题1已知数列an中，a12，an1an2n(nN)，则a100的值是()A9900B9902C9904D11000答案B解析a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)2229 902.2已知数列an中，a11，an1，则这个数列的第n项为()A2n1B2n1C.D.答案C解析an1，a11，2.为等差数列，公差为2，首项1.1(n1)22n1，an.3已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的通项公式an等于()A2nBn(n1)C.D.答案C解析an1an，2n+1an12nan2，即2n+1an12nan2.又21a12，数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，an.4已知数列an满足aa4，且a11，an0，则an等于()A.B.C.D8n答案A解析aa4，数列a是等差数列，且首项a1，公差d4，a1(n1)44n3.又an0，an.5已知数列an满足：Sn1an(nN)，其中Sn为数列an的前n项和，则an的通项公式an等于()A.B.nC21-2nD2n答案B解析因为Sn1an，所以Sn11an1，得an1an1an，所以an1an.n1时，a11a1，解得a1，所以an是首项为，公比为的等比数列，所以ann-1n.6某种细胞开始时有2个，一小时后分裂为4个并死去1个，两小时后分裂为6个并死去1个，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数为()A21001B21001C2991D2991答案B解析由题意得2，an2n-11，a1012101-1121001.二、填空题7如果数列an的前n项和Sn2an1，则此数列的通项公式an_.答案2n-1解析当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n-1，nN.8等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列an的通项公式为_答案an23n-1解析当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n-1.9在数列an中，a11，an1an，则数列an的通项公式an_.答案n解析当n2时，ana1n，n1时，a11也符合此式10数列an满足a11，anan1(n2且nN)，则数列an的通项公式为an_.答案2解析anan1(n2)，a11，a2a11，a3a2，a4a3，anan1.以上各式累加，得ana11.ana112，当n1时，21a1，an2，故数列an的通项公式为an2.11若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n-1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n-1.三、解答题12已知数列an中，a11，an12an3，数列bn中，b11，且点(bn1，bn)在直线yx1上(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的通项公式解(1)an12an3，an132(an3)，2，又a134，数列an3是首项为4，公比为2的等比数列，an342n-12n1，an2n+13，nN.(2)(bn1，bn)在直线yx1上，bnbn11，即bn1bn1，又b11，数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，bnn，nN.13已知Sn4an，求an与Sn.解Sn4an，Sn14an1，n2，当n2时，SnSn1anan1an.anan1n-1.2，2nan2n-1an12，2nan是等差数列，d2，首项为2a1.a1S14a12a1，a11，2nan22(n1)2n.annn-1，nN，Sn4an4n4.14若数列an中，a13且an1a(n是正整数)，则它的通项公式an为_答案an解析由题意知an0，将an1a两边取对数得lg an12lg an，即2，所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an(lg a1)2n1lg ，即an.15已知数列an的首项a11，an1(nN)(1)证明：数列是等比数列(2)求an的通项an.(1)证明因为an1，所以.所以.又a11，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知n-1，即，所以an.13
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