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2019八上几何综合题2019昌平八上27. 在ABC中，AB=AC，BAC=90. 过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD，直线BD交直线AP于点E（1）依题意补全图27-1； （2）在图27-1中，若PAC=30，求ABD的度数；（3）若直线AP旋转到如图27-2所示的位置，请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并证明 图27-1 图27-227. 解：（1）补全图形如下图:图27-1 1分（2）连接AD. 由轴对称的性质可得：PAD=PAC=30，AD=AC. 2分 AB=AC,AD=AB. 3分 BAC=90,BAD=150. ABE=15. 4分（3）补全图形，连接CE，AD. 由轴对称的性质可得：CE=DE，AD=AC， ACE=ADE. 5分 AB=AC， AD=AB. ADB=ABD. ACE=ABD. ABD+ABE=180， ACE+ABE=180. 在四边形ABEC中， BAC+ABE+BEC+ACE=360， 又BAC=90，BEC =90. 6分 BE2+CE2=BC2. EB2+ED2=BC2. 7分2019朝阳八上27已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE（1）如图1，点C在线段AB上根据题意补全图1；求证：EAC=EDC；（2）如图2，点C在直线AB的上方， 0CAB30，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明图2图1 27 解：（1）补全图形如图所示 证明：直线m是AB的垂直平分线， EA=EB，CA=CB EAC=B ACD是等边三角形， CA=CD CD=CB EDC=B EAC=EDC（2）BE=CE+DE 证明：如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF直线m是AB的垂直平分线，EA=EB，CA=CBEAB=EBA，CAB=CBAEAC=EBCACD是等边三角形，CA=CD，ACD=60CD=CBEDC=EBCEDC=EAC1=2，DEA=ACD=60 AEB=120EA=EB，mAB，AEC=BEC=60CEF是等边三角形CEF=CFE=60CDFCBEDF=BEBE=CE+DE2019大兴八上28. 已知:如图, 过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，CE，其中CE交直线AP于点F.（1）依题意补全图形；（2）若PAB=16，求ACF的度数； （3）如图，若45PAB90，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明.28.（1）补全图形，如图所示. 1分（2）解：连接AE，点E与点B关于直线AP对称，对称轴AP是EB的垂直平分线.AE=AB，EAP=BAP=162分等腰直角三角形ABC,AB=AC， BAC=90AE=AC.AEC=ACF. 3分2ACF+32+90=180.ACF=29 4分 （3）AB，FE，FC满足的数量关系：FE2+FC2=2AB25分证明：连接AE，BF，设BF交AC于点G，点E与点B关于直线AP对称，对称轴AP是EB的垂直平分线.AE=AB，FE=FB.AF=AF，AEFABFFEA=FBA.AB=AC，AE=AC.ACE=AEC.ACE=ABF. 6分 又CGF=AGB，CFB=BAC=90. 7分FB2+FC2=BC2.BC2=2AB2，FE2+FC2=2AB2 8分2019东城八上27（本小题6分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边ABC边长为2，过AB边上一点P作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1.等边ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PECA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D.请你在图（2）中补全图形并求DE的长.2. 已知等边ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE射线AC于点E， Q为 （BC边上；BC的延长线上；CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上) 图（1） 图（2） （备用图）27. 解：（1）DE=1. 1分(2) 1. 正确补全图形. 2分过点P作PFBC交CA的延长线与点F. PFA=C. ABC是等边三角形， 可证 APF为等边三角形. AP=PF.又 PECA的延长线于点E ， AE=FE=. 3分 AP=CQ， PF=QC. FDP=CDQ， FDPCDQ. FD=CD=. 4分 DE=DF-EF=. 5分2. . 6分2019东城八上28. （本小题6分）在平面直角坐标系xOy中，为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P.（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出的度数；（2）如图2，将绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为，6090，依题意补全图形，并求出的度数；（用含的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系.（直接写出结果） 图1 图228 解：（1）120； 1分（2）正确画出图形. 2分 , . 3分 BO=BD, OBD=ODB. . 4分（3）. 6分说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.2019房山八上30. 如图9，是等腰的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，其中，分别交射线于点，（1）依题意补全图形；（2）若，求的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明30、解：（1） -2分（2） ABC=90 MBC=ABC=90 点C关于BN的对称点为D BC=BD，CBN=DBN= -3分 AB=BC AB=BD -4分 BAD=ADB=45 -5分(3) 猜想： -4分证明：过点B作BQBE交AD于Q -6分BPA=DBN+ADB，ADB=45，DBN=BPA=DPE=45点C关于BN的对称点为DBECDPD=PE，PQ=PB， -7分BQBE，BPA=45BPA=BQP=45AQB=DPB=135又AB=BD，BAD=ADBAQBBPD（AAS）AQ=PDPA=AQ+PQ -8分2019怀柔八上27如图1，在ABC中，AB=AC， D为直线BC上一动点（不与B，C重合），在AD的右侧作ADE，使得AE=AD，DAE=BAC，连接CE（1）当D在线段BC上时，求证:BAD CAE；（2）当点D运动到何处时，ACDE，并说明理由；（3）当CEAB时，若ABD中最小角为20，直接写出ADB的度数图1备用图27解：（1）DAE=BAC，BAD=CAEAB=AC，AD=AE，BAD CAE（SAS）2分（2）当D运动到BC中点时，ACDE 3分D是BC中点，AB=AC ，1=2BAD CAE，1=32=3AD=AE，ACDE当D运动到BC中点时，ACDE5分（3）ADB=20或40或100 7分28解：（1）如图：1分（2）在ACE和BCD中，ACE BCD （SAS）1=2AEC=BEF，BFE=ACEACE=90，AFB=90AFBD3分（3）数量关系是：CQ=CF4分过C作CGCF交AF于GGCF=90ACB=90，3=41=2，AC=BC，ACG BCF（ASA）CG =CFCGF是等腰直角三角形CFG=45CFD=45点C与 Q关于BD对称，CF =FQCFD=QFD=45CFQ是等腰直角三角形CQ=CF7分2019门头沟八上28已知：ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使ADP=30，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE （1）当点D在线段BC上运动时， 依题意将图1补全； 请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，并证明； （2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明 图1 备用图28（本小题满分7分）解：（1）补全图形1分AB=CE+CD2分证明： 点A关于射线DP的对称点为E， DP垂直平分AE， AD=DE又ADP=30， ADE=60； ADE是等边三角形3分 AD=AE，DAE=ADE=60又ABC是等边三角形， AB=AC=BC，BAC=60 BACDAC =DAE DAC，即：BAD=CAE在BAD和CAE中 BADCAE 4分 BD=CE AB=BC=BD+CD= CE+CD （2）AB= CE+CD，AB= CECD，AB= CDCE7分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分2019密云八上27. 已知：在ABC中，ABC=45，于点D，点E为CD上一点，且DE=AD，连接BE并延长交AC于点F，连接DF.（1）求证：BE=AC（2）用等式表示线段FB、FD、FC之间的数量关系，并加以证明.27 . (1) 1分 3分(2) 4分证明： ， 7分2019平谷八上26阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E小聪想：要想解决问题，应该对B进行分类研究图1B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究（1）当B是直角时，如图1，在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E=90，则RtABCRtDEF（依据：_）（2）当B是锐角时，如图2，BC=EF，B=E90，求证：ABCDEF图326解：（1）ABCDEF（依据：HL）1分 3分（2）选择C 4分（3）证明：如图，过点C作CGAB交AB的延长线于点G，过点F作DHDE交DE的延长线于点H，CBA=FED，180CBA=180FED，即CBG=FEH， 5分在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D， 6分在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）7分2019石景山八上28是等边三角形，点关于对称的点为，点是直线上 的一个动点，连接，作交射线于点 （1）若点在线段上（不与点，点重合） 如图1，若点是线段的中点，则的长为 ； 如图2，点是线段上任意一点，求证：； （2）若点在线段的延长线上 依题意补全图3； 直接写出线段，之间的数量关系为： 图1 图2 图328（1） 2分 证法一：图1 作交于点，如图1 3分 是等边三角形， （等边三角形的三个角都是） 点与点关于对称， ， 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形） （等边三角形的三边都相等）， ， （等量减等量，差相等） 4分 在和中， （） （ 全等三角形的对应边相等） 5分 证法二：延长到点，使，连接，如图2 3分 是等边三角形（已知），图2 （等边三角形的三个角都是） 点与点关于对称（已知）， 在和中， （） （全等三角形的对应边相等）， 4分 （全等三角形的对应角相等） ， （对顶角相等）， （三角形内角和定理） （等量代换） （等角对等边） 又（已证）， （等量代换） 5分图3 证法三： 延长到点，使， 连接，如图3 可证（） 再证是等腰三角形 证法四： 连接，在上截取， 连接，如图4 可证（） 图4 图5 证法五： 过点作交的延长线于点，于点，如图5图6 可证（） （2）补全图形，如图6所示； 6分 7分2019通州八上28. 在等边中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，求的度数；（2）点是边上的两个动点（不与重合），点在点的左侧，且，点关于直线的对称点为，连接依题意将图2补全；求证：图1 图228. （1）解： ABC为等边三角形B=60APC=BAP+B=80AP=AQAQB=APC=80.(2分) （2） 补全图形如图所示. .(4分) 证法不唯一证明：过点A作AHBC于点H，如图. 由ABC为等边三角形，AP=AQ， 可得PAB=QAC. .(5分) 点Q，M关于直线AC对称，QAC=MAC，AQ=AMPAB=MAC，AQ=AMPAM=BAC=60.(6分) APM为等边三角形PA=PM. .(7分) 2019西城八上26在ABC中，ABAC，在ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD （1）如图1，若BAC=100，求BDF的度数；（2）如图2，ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN补全图2；若BN=DN，求证：MB=MN 图1 图2（1）解：在等边三角形ACD中， CAD =ADC =60，ADAC E为AC的中点，ADE=ADC302分 ABAC， ADAB BAD=BAC+CAD160 ADB=ABD10 BDF=ADF -ADB204分（2） 补全图形； 证明：连接AN CM平分ACB， 设 ACM=BCM= ABAC， ABC=ACB=2在等边三角形ACD中， E为AC的中点，DNAC NA=NC NAC=NCA= DAN=60+ 在ABN和ADN中， ABN ADN ABN=ADN30，BAN=DAN60+ BAC60+ 2在ABC中，BAC+ACB +ABC180， 60+ 2+ 2+2=180=20 NBC=ABC-ABN= 10 MNB=NBC+ NCB=30 MNB=MBN MB=MN8分2019延庆八上27.如图，MON45，点A是OM上一点，点B，C是ON上两点，且ABAC，作出点B关于OM对称的点D，连接AD，CD（1）按要求补全图形；（2）判断DAC ；（3）判断AD与DC的数量关系 ，并证明27解：（1）如图 2分 （2）DAC=90 3分 （3） 4分 证明：点B与点D关于AO对称 BD被AO垂直平分 AD=AB 又AB=AC AD=AC 5分 ABC=ACB=O+OAB BAC= DAC=90 6分 ADC是等腰直角三角形 7分 2019延庆八上28如图，在ABC中，ABC15，AB，BC2，以AB为直角边向外作等腰直角BAD，且BAD=90；以BC为斜边向外作等腰直角BEC，连接DE （1）按要求补全图形；（2）求DE长；（3）直接写出ABC的面积 28解：（1）如图所示 2分（2） 连接DC 解：ABD是等腰直角三角形, AB=，BAD=90. AB=AD= ，ABD=45. 由勾股定理得DB=2. DBC=ABC+ABD=60. BC=2. BC=BD. BCD是等边三角形. BD=CD=2. D点在线段BC的垂直平分线上. 又BEC是等腰直角三角形. BE=CE ，CEB=45 E点在线段BC的垂直平分线上. DE垂直平分BC. BF=BC=1， BFE=90 FBE=BEF=45 BF=EF=1 RtBFD中，BF=1，BD=2 由勾股定理得DF= DE=DF+EF= 6分 （3） 7分2019燕山八上图127已知BC5，AB1，ABBC，射线CMBC，动点P在线段BC上(不与点B，C重合)，过点P作DPAP交射线CM于点D，连接AD图2(1) 如图1，若BP4，判断ADP的形状，并加以证明(2) 如图2，若BP1，作点C关于直线DP的对称点C，连接AC 依题意补全图2； 请直接写出线段AC的长度27(1) ADP是等腰直角三角形 1分证明：BC5，BP4，PC1，AB1，PCAB 2分ABBC，CMBC，DPAP，BC90，APBDPC90，PDCDPC90，APBPDC， 3分在ABP和PCD中，ABPPCD， 4分APPD，APD90，ADP是等腰直角三角形 5分(2) 依题意补全图2； 6分 AC 7分2019顺义八上30数学课上，老师给出了如下问题： 已知：如图1，在RtABC中，C=90，AC=BC，延长CB到点D，DBE=45，点F是边BC上一点，连结AF，作FEAF，交BE于点E（1）求证：CAF=DFE；（2）求证： AF=EF 经过独立思考后，老师让同学们小组交流小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，因此我过点E作EGCD于G（如图2所示），如果能证明RtACF和RtFGE全等，问题就解决了但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样做辅助线行不通”小亮同学说：“既然这样做辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明 30证明：（1）C=90， CAF + 1 = 90 1 分FEAF， DFE + 1 = 90 2 分 CAF = DFE 3 分（2）在 AC 上截取 AG=BF，连结 FG，如图 44 分AC= BC， AC - AG = BC - BF 即 CG= CFC=90， CGF = CFG = 45 AGF = 180 - CGF = 135 DBE=45， FBE = 180 - DBE = 135 AGF = FBE 5 分由（1）： CAF = DFE AGFFBE（ASA） 6 分AF=EF7 分2019丰台八上28如图，RtABC中，ACB = 90，AC = BC，点D为AB边上的一个动点(不与点A，B及AB中点重合)，连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F.（1）如图1，当ACD = 15时，根据题意将图形补充完整，并直接写出BFC的度数；（2）如图2，当45ACD90时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明.图1 图2
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