第二讲圆幂定理

黄金数学组 专注专业 彰显权威 坚持 执着 高效 调节 反思 总结 第三讲 直线与圆的位置关系一、 知识扫描（一）、直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：（二）、切线的性质及判定1、切线的性质（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心2、切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂直在圆上3、切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角二、 考点聚焦考点题型1、直线与圆位置关系的确定例1、在中，以点为圆心，为半径的圆和有怎样的位置关系？为什么？ ；例2、如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是ABC11D例3、如下左图，在直角梯形中，且，是的直径，则直线与的位置关系为( )A相离B相切 C相交 D无法确定巩固练习：如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置关系是 考点题型2、切线的性质与判断例4、（1）如图，中，以上一点为圆心作与相切，又与的另一交点为，则线段的长为_（2）是圆的直径，是它的弦，过作圆的切线，过作交于，求证：例5、已知：如图，在中，以为直径的半圆与边相交于点，切线，垂足为点求证：（1）是等边三角形；（2）巩固练习：在中，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点（1）求证：；（2）若，求的面积例6、（1）如图，为等腰三角形，是底边的中点，与腰相切于点，求证与相切（2） 已知：如图，内接于，是过的一条射线，且求证：是的切线（3）如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：是的切线；（4）如图，已知AB为O的弦，C为O上一点，C=BAD，且BDAB于B求证：AD是O的切线若O的半径为3，AB=4，求AD的长巩固练习：1、如图所示在中，的平分线交于，为上一点，以为圆心，以的长为半径画圆求证：（1）是的切线；（2）2、如图，是的直径，点在圆上，于在延长线上，且求证：是的切线3、如图，是的外接圆，点是圆外一点，切于点，且（1）求证：是的切线（2）已知，求的半径考点题型3、切线长定理例7、（1）如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底以及腰均相切，切点分别是若半圆的半径为，梯形的腰为，则该梯形的周长是_（2）如图，分别切于，若，周长为，求的半径（3）如图，是的内切圆，是切点，又直线切于，交于，则的周长为_巩固练习：1、等腰梯形外切于圆，且中位线的长为，那么这个等腰梯形的周长是_2、如图，切于，切于，交于两点，已知，求的周长例8、（1）如图，以正方形的边为直径作半圆, 过点作直线切半圆于点, 交边于点. 则三角形和直角梯形周长之比为_（2）梯形中，是上一点，以为圆心的半圆与都相切。已知，求的长。例9、（1）如图, 是直径, 于,交于,切于,交于.求证 ; （2）（2012岳阳）如图，为半圆的直径，分别切O于两点，切O于点与相交于与相交于，连接，对于下列结论：；，其中正确的是_综合提升例10、如图，为的直径，是的中点，交的延长线于，的切线交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为，求的长例11、已知，如图在矩形中，点在对角线上，以长为半径的圆与分别交于点，（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的半径例12、已知：在中，是直径，是弦，于点，过点作直线，使，交的延长线于点（1）求证：是的切线；（2）设与相交于点，若，求半径的长；（3）在（2）的条件下，当时，求图中阴影部分的面积例13、如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是弧的中点，交于点，若，求的值对应练习：1、如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、（1）求证：与相切（2）若正方形的边长为，求的半径2、如图，是的的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点（1）求证：点是的中点；（2）求证：是的切线；（3）若，的半径为，求的长3、如图，是的直径，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，且（1）证明是的切线；（2）设的半径为，且，求的长第四讲 圆幂定理一、知识扫描1、弦切角定理定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。如图，PA是O的切线，A是切点，AB是弦，则PABACB。 证明：2、相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。 即：证明：3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图，PT是O的切线，T是切点，PAB、PCD是割线，则PT2PAPB，PAPBPCPD。 证明：小结：（圆幂定理）过圆所在平面内任一点作直线，与圆交于两点，则点与圆上两点的距离之乘积等于点心距与半径的平方差的绝对值.即 (因叫做点对于O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理) 二、方法技能平台例1、（1）已知：如图 ，、切于两点，为直径，则图中与相等的角的个数为 （2） 已知：如图，直线切于点，那么 （3） 如图，为直径，切于点，为垂足，则_;_.（4） 已知：如图，三角形的，内切圆与的三边分别切于，三点，那么 对应练习：如图，内接于O，BC是直径，B35，MN是过A点的切线，则C_，CAM 。例2、(1)如图，已知AB是O的直径，直线MN切O于点C，ADMN于D，AD交O于E，AB的延长线交MN于点P，求证：。(2)已知：内接于O， AE切O于A，BD平分ABC交O于D，交AE于E，DFAE于F，求证：;.(3)如图，、切于、，为割线。求证： 拔高训习：如图，为圆的切线，为切点，为割线，的平分线交于点，交于点求证：（1）；（2）；（3）若是上的点，交于，且，试确定点在上的位置，并证明你的结论例3、（1）如图，O的弦AB与CD相交于点P，PA3cm，PB4cm，PC2cm，那么PD_cm。（2）如图，在O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OMMC，若AM1.5，BM4，则OC的长为_。如图，在O中，P为弦AB上一点，POPC，PC交O于C，那么( )A B C D（4）如图，在直径为的半圆上有两动点，弦相交于点，则 例4、如图，和是的半径，并且是上任一点，的延长线交于点，过点的的切线交延长线于点（）求证：；（）若，试求的长对应练习：如图，内接于O，的延长线与过点的切线相交于点与相交于点，且求证：（1）； （2）例5、（1）如图，点是O的直径延长线上一点，与相切于点，垂足为，连接，那么下列结论中：；正确的有_ （2） 已知如图，的内接四边形，、的延长线交于点，切于点，则_;_.（3） 如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，AB12，CD9，则MD_.例6、如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，P是BA延长线上的点，连结PC交O于F，如果PF7，FC13，且PAAEEB241，那么CD的长是_。例7、如图，AC是O的直径，OBAC，M是AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA得延长线于P，求证：;若O的半径为，,求的周长.例8、如图，PA是O的切线，从PA的中点B作割线BCD，分别交O于C、D，连结PC、PD，分别交O于E、F，求证：APDEFD。例9、如图，已知是O直径延长线上一点，割线交O于、两点，弦于，交于点；(1)连接，求证：(2)求证：；(3)若，O的半径为，求的长。 （备用图）- 17 -