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专题九指数函数【咼频考点解读】1. 了解指数函数模型的实际背景.2理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算.3理解指数幕的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.【热点题型】题型一指数函数性质的考查例1、求下列函数的定义域和值域.2_+2xrV12J十(i)y=3|x1；(【提分秘籍】解决与指数函数的性质问题时应注意大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断.与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用.【举一反三】(1)4x+寸已知函数f(X)=.(1)若a=_1,求f(x)的单调区间；)y=2%+1；(若f(x)有最大值3，求a的值.)y=-解析】定义域痂因为一|x+L创,所以严舒叫=人耐值域为：匚二因为+10晅成立，所以定買域次X.丁工11又因汽=百丁=1一匸所，而吐二匚所以一直一召纵解得0斗1,所以值域为0切卜十11.3令X-?.v+4j,解得一4致ELJJi所以函数尸2，：的定义域为-.;1.设L=yf7x+4i易得!j在工=初取最大值三在丄=4或1时取最小值：，即0业令1-r-.h+1厂所创函数丁=二的值域为(20-251-冃剧簸严丄的值域为1,42.(:)严*3【解析】当e1时，金)=3.令目卫=一詁一七+3,由于目加在L心一2：上是増加的，在I一占+巧上是J威少的，而=1:討在文上是減少的.所以祇在i.f7上是减少亂在7+匚上是増加的，即函数您的iiiaJ是(一*+x谨减区面是乜，一亠令蛇尸於一抵+3,J=(j)由于/(Q有最大值3,所以乩V应有最小1-I-因此边有12-16解得=1.即当空鬲最大值丄时，卫的值等于1.【热点题型】题型二指数函数的图象及应用例2、(1)已知函数f(x)=(xa)(xb)(其中ab)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=ax+b的图象是()若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是.i解WT7I)由已知并结合图象可知J0且a丰1三者之间的关系：y=ax与y=|ax|是同一函数的不同表现形式.函数y=a|x与y=ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0寸两函数图象相同.【举一反三】【解析】选凡当时严泸:为増函数而直线一.七与；-轴交点应为0扯4忘.：)不就又c中込1也不衬.当?bl时v-ax-b与bub0且a1函数y=a2x+2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值.【解析】令fW且辱则原函数化为一Hh：” 当4*1时腔一*“讣此时慣)在卜，所以皿3：=注=Irl二一L14bjCEJ所以-+1：=1621./所以=g或玄=又因洵口沁，所以尸g当。1旳，.走1.1S匚丄LJLe二此时血在占：T上是蜡疋：IclJ所以I1p-=i74?J=(*；2=14-T.|-rrg.Jh*解得舍去.综上得柑或3.【提分秘籍】分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a1或0a0，且1的图像如图1-1所示，则下列函数图像正【答案“【解析】由破)=8册的图慷过点(玉“得尸严頑A中的驗用尸*;则其函救图像不正晞；选项m中的函数为K则其函数限广篇选项匚巾的函数为T=炉则其函数图像不正隔彰J中的函数知=:酸-，则虽嗷图像不E确”2.(2014江西卷)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aR).若fg(1)=1，则a=()A.1B.2C.3D.-1【答案】A【解析】g(1)=a1，由fg(1)=1,得5|a1|=1，所以|a1|=0，故a=1.11113. (2014辽宁卷)已知a=23，b=Iog2,c=log，则()A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】C111111【解析】因为0a=231,b=Iog23ab.4. (2014山东卷)设集合A=x|x1|V2,B=y|y=2x,x0,2，则AAB=()A.0,2B.(1,3)C.1,3)D.(1,4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A=x|1vxv3,B=y|1浮w4,所以AAB=x|1实v3.故选C.5. (2014山东卷)已知实数x,y满足axvay(0vav1)，则下列关系式恒成立的是()1_l_A.x2+1y2+1B.ln(x2+1)ln(y2+1)C.sinxsinyD.x3y3【答案】D【解析】因为&V潜所&所以P.丄亠Lni.v*1+11Inrv:+1、J6. (2014陕西卷)下列函数中，满足“(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()13A.f(x)=B.f(x)=x31xC.f(x)=2D.f(x)=3x【答却B【解析】由于r十门邃排幕啮项九h=次单调il遍函数，所以捷除选项D.1r,8. (2013安徽卷)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x)x2,则f(10x)0的解集为()A.x|xlg2B.x|1xlg2D.x|x0的解是1x2，故110x；,解得xa0,cb0.(1)记集合M=(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为;若a,b,c是厶ABC的三条边长，则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号) x(汽1),f(x)0; xR,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长； 若ABC为钝角三角形，则x(1,2),使f(x)=0.【答宪】【解析巳=1）,所IzAkBfxj=2a,fC-S又因升bi:不能构成一牛三角形且DaXhob3*-xT鬲1TS5（a+b=2a0ob0）贝del,oJL当孟曰一,1W?肓J諾7召所以T+7诗牛L汩萃为三角形三边j则宦有a+tCr故对曲A-0即f凶A=T：3：卜佟1.-Of故正确；取只=二D?J:7?+匕uaJV-u.-H口”口+i取x3t则-+-*+Zj由必傑存三K=ti时，有：丿+訝49P护十2吗二Jrr-J.*1故正瞩对于，因fi1）=卄b-cMb北2）=十圧一心C対犍角h根堀零点存在性定理可知，xFi：h2-便fix：i=：=-故正彌.埜塘.10. (2013浙江卷)已知x,y为正实数，则()A2x+y=2x+2yb2*+y)=2x2yC2xy=2igx+2igyd2刈=2x2y【答案】D【解析】TIg(xy)=Igx+Igy，二2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx2lgy，故选择D.【随堂巩固】14：1.已知a0，且a1)f(2)=4,则()A.f(2)f(1)B.f(1)f(2)C.f(1)f(2)D.f(2)f(2)【答案】A【解祈】：亦）=厂8鼻且0=1）,5-=4,+.斤-1）|故选*3.若点（a,9）在函数y=3x的图像上，贝Vtan*%值为（）A.0C.1B.33D.3【答累】3【解析】本题主要着查了掉喰函数U圾=1座滋求值.依题慧?=汛7=二石二山=点舷n-34.函数y=axa（a0，且a丰1的图像可能是（）【答案】C【解析】肚題考查了指数函数尸心且店打的上下平榻可题.可根据函数尸下r过定魚判定排除法得C项正确.5.给出下列结论：32当a1,nN+,n为偶数);127 函数f(x)=(x2)(3x7)的定义域是x|x2且x;；3 若2x=16,3y=丄，贝Ux+y=7.其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】弓【解析】gD时，巧0启四，*提然1E隔解“得x2.5.r二正确,1.37=J丁严=1乐.m.工+=4+-3)=b豎错.6.函数y=ax在0,1上的最大值与最小值的和为3,则a的值为()1A.2B.21C.4D.4【答需】弓【解析】当e山E时，=展定日蛊上的单调可L因此其最值*refii的两个端点得到，于是必有1十二=3,二左=2,7.设a0且al,贝U函数f(x)=ax在R上是减函数是函数g(x)=(2a)x3在R上是增函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本小题着查了指飯函数与暮函数的单调性以马二条件-芦函数貼)=序在h上是减iistr等价于0-1；壬：13徽詳j=i2ajx彳土上也遛t:等价于2一eQf即(Kapc2f且片1,故戸是学咸立的充分不莎要秦件.131311424222&若x0，则(2x+3)(2x3)4x(xx)=【答案】23+4=23.a的取值范围是131111斗4212222【解析】原式=(2x)2(3)24x+4x=4x334x9若函数f(x)=ax1(a0且a1的定义域和值域都是0,2，贝Va=【答累】远【解析】当41时，5増函叱,岬If5血k1=2.当时，：碉圍数，无解-综上F,10若直线y=2a与函数y=|ax1|(a0且1的图像有两个公共点，则【解析】数形结合由图可知叱贰1作出和11两种斟像易知只有0解得一ln丈门=1厂茁丄杲増函数12.已知定义域为R的函数f(x)=2x+i+a是奇函数.k的取值范围【解析】门门是奇函数,点0尸山即I】汁1+fimr从而有网=立(1) 求a,b的值；若对任意的tR,不等式f(t13.已知f(x)=3x，并且f(a+2)=18,g(x)=3ax4x的定义域为求函数g(x)的解析式；判断g(x)的单调性；若方程g(x)=m有解，求m的取值范围.2t)+f(2t2k)0恒成立，求又由51J=f1：知解得经检验-适咅无点,所求乩色的值分别为二1解法1：由订i知/i.vj匚1=2十詁由上式易知血)在1Kj+書)上为济，:-，又因；U)是奇函数，从而不等式坏一二;汁记匸非等丿于因.：1是減函数由上式推得严一A上即对一切有汗一二一沁1,1.从而列别式J=4+I2；:if解得+7|:=.一誉辰.自Hi+IswT必十201釜3【二UX耳|务2八-=$皿3蛋n(wcoIn(c+尺00)【车】扁.7岳邑vlc去医馥因壇DHH二M+为HSM星rlffl乐严L二|世+?-|=君益破庶WHS叨则慣朵B6.总因姥喇H二W3M去磴麻rspH三M右痢畳黑+l)imil再V暫7. (2014陕西卷)已知4a=2,lgx=a，则x=.【答案】10111【解析】由4a=2，得a=2，代入lgx=a，得lgx=?，那么x=10?=i；10.
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