基本计数原理

基本计数原理一、主要内容一般计数原理部分的考试，分为两种， 一是排列组合二项式定理单独出题，二是在概率中需要用到排列组合二项式定理。1、基本计数原理2、排列和组合3、常用方法二、知识梳理1、基本计数原理（ 1）分类加法计数原理从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：可以乘火车，可以坐汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1 班，汽车每日3 班，轮船每日2 班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？（1+3+2=6种）做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中，有m1 种不同的方法，在第二类办法中，有 m2 种不同的方法，以此类推，在第n 类办法中，有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 . mn 种不同的方法。和1（ 2）分步乘法计数原理。某中学的阅览室有50 本不同的科技书，80 本不同的文艺书，现在张三同学想借本文艺书，共有多少种借法？（50*80=4000 ）1 本科技书做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m1 种不同的方法， 做第二个步骤有m2种不 同 的 方 法 ， 以 此 类 推， 做 第n 个步 骤 有 mn 种 不 同 的 方 法 ， 那 么完 成 这 件 事 共 有Nm1m2 . mn 种不同的方法。以上两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论依据。成一件事的方法总数的不同计算方法。注意：分类要“不重不漏”，每类的每一种方法都能独立完成事件；他们分别给出了两种不同方式完分步要“步骤完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。2、排列与组合（ 1）排列有红球、白球、黄球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少种不同的方法？（3*2=6 ）我们把被取的对象叫做元素。取出的元素按照已知的顺序排成一列，我们称它为该问题的一个排列。一般地，从 n 个不同元素中任取出m(mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列。两个排列相同，则组成排列的元素相同，并且元素的排列顺序也相同。从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号Anm表示。根据分步乘法计数原理，得到公式Anmn(n1)(n2)(nm1)这里 n, mN，并且mn ，这个公式叫做排列数公式。一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时mn ，则有Anmn ?( n1) ?(n2) ? 3?2 ?1，这个公式是由1 到n 。我们把正整数1 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n! 表示。所以n个不同元素的全排列数公式可以写成Annn!排列数的公式还有下面的另一种形式：Anm( nn!m)!，我们规定 0!1 。（ 2）组合有红球、黄球、白球各一个， 从这三个小球中，任意取出两个小球，共有多少种不同的取法？（与顺序无关，共3 种）一般地，从 n 个不同元素中，任意取出m(mn) 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合。从 n 个不同元素中， 任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号Cnm表示。一般地，从n 个不同元素中，任取m 个元素的排列，可以分两步完成：第一步选取元素从 n 个不同元素中，任意m 个元素的组合，有种Cnm方法；第二步排位置选出的m 个不同元素的全排列，有Amm种方法。根据分步乘法计数原理，得：AnmC nm ? Amm由 AnmCnmAnmCnm 的计算公式为：的计算公式和Amm可以得出组合数C nmn(n1)(n 2).( nm1)m!C nmn!m!( nm)!通过上面两个公式还可以推出：Cn01（ 3）组合数的两个性质性质 1C nmCnn m性质 2C nm 1C nmCnm 13、排列组合的常用方法（ 1）捆绑法解决相邻问题；（ 2）插空法解决不相邻问题；（ 3）除序法解决相同元素问题，除序法是除法；（ 4）排除法解决算多了需要减掉多余的，排除法是减法；（ 5）特殊元与特殊位优先解决，再解决一般；（ 6）穷举法。练习题1、一个科技小组中有3 名女同学， 5 名男同学（ 1）若从中任选一名同学参加学科竞赛，共有多少种选派方法？（ 2）若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有多少种选派方法？2、求证：C22C32C42.C1002C10133、（ 1） 4 个同学分配到3 个课外小组中，共有几种分配方法？（ 2） 4 个同学争夺3 项竞赛的冠军，冠军的获得者共有几种可能情况？4、 4 名男生和3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？5、四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有？6、某市植物园要在30 天内接待20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排方法有多少种？7、 从 6 名男生和4 名女生中， 选 3 名代表，要求至少包含1 名女生，则不同的选法有_ 种？8、12 个篮球队中有3 个强队，将这12 个队任意分成3 个组，则3 个强队恰好被分在同一组的概率为？9、 7 人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？10、3 个歌舞， 4 个独唱， 2 个小品排成一份节目单，3 个歌舞中任意两个都不排在一起，共有多少种排法？11、求三元一次方程xyz100 （ x, y, zN ）解的个数？12、5 名运动员参加军事三项赛，射击、游泳和长跑各设一名冠军，则三项冠军获得者的结果有多少种？13、有 3 枚一分硬币，6 枚一角硬币，4 张十元硬币，共组成多少种非零币值？14、甲乙丙丁参加400 米接力比赛， 甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同跑法？15、某宿舍4 个人互赠贺卡，每个人都拿到不是自己的贺卡情况有多少种？16、8 个人排队照相，按如下要求各有多少种不同的排队方法：（ 1）甲乙丙三人必须相邻，丁戊不相邻；（ 2）甲乙两人必须站中间，丙丁两人不站两端；（ 3）甲不在左端且不在乙右侧的任何位置；（ 4） 8 人中，有4 个男生 4 个女生，要求同性别不相邻。17、8 个人中， 3 个大人 5 个小孩，要求每个大人右边相邻的必是小孩，有几种方法？18、8 人中 3 名教师， 5 名学生（ 1） 3 名教师随意站， 5 名学生必须从左至右从高到低，共有几种方法？（ 2）甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，共有多少种排法？19、用 09 这十个数字组成无重复数字的自然数（ 1）可组成多少个四位的自然数？（ 2）可组成多少个四位偶数？（ 3）可组成多少个被 25 整除的四位数？（ 4）可组成多少个从高位开始偶数位上是偶数的四位数？（ 5）可组成的四位自然数的个位上的数字之和？（ 6）比 5612 大的四位数有多少个？（ 7）将组成的所有四位数按大小从小到大排队，第1010 个数是哪个?20、从 16 人中选出3 名会议代表，其中甲乙丙三人至少一人当代表的选法是多少种？21、1 到 18 的 18 个数中，取三个数相加，要求他们的和恰好被3 整除的情况有多少种？22、某篮球队共10 名队员，其中4 名只会打前锋，另外4 名只会打后卫，其余2 名是全面手，现派5 名队员上阵，其中3 名前锋， 2 名后卫，有多少种选派方法？