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第十章动量定理10-1.图示系统中，已知阻力系数c，弹簧刚度系数k，杆端小球质量m及图示尺寸，不计杆重，若将坐标原点选在杆静平衡时的水平位置，试求系统微幅振动的微分方程，并计算其固有频率。aXix,X2解:由质点运动微分方程，有bamx()kx()cx=0a2c2l2m2422242bkac_41bkm-ac2424210-2.如图所示，物块A(质量mA)放在光滑的水平面上，与物块B(质量mB)铰接，在力偶矩M的作用下，物块B从水平位置转到铅垂位置时，求物块A移动的距离SA。解：设物块A向右移动距离SA。因为aFx=0,且二xC=0，有7m=0。即mASamB(Sa)=0Sa=(ab)mB2(mAmB)左移10- lm4lm4lm3.女口图所示，椭圆摆由一滑块A(质量mA)与小球B(质量mB)所构成。滑块A可沿光滑水平面滑动，小球B用长为丨的杆AB与滑块A铰连。在运动的初瞬时，杆与铅垂线的偏角为L，且无初速度释放。不计杆的质量，求滑块的位移，用偏角:表示。解：设物块A向右移动距离SA。因为7Fx=0，且二xC=0，有vmx=0。即mASAmB(SAl(sin0-sin)=0mAmB得Sa=(sin;：0-sin:)mA+mB4.均质杆AG与BG由相同材料制成，在点G铰接，二杆位于同一铅垂面内，如图所示。AG=250mm，BG=400mm。若GG240mm止释放，求当A、B、C在同一直线上时，与两端距离。时，系统由静点各自移动的解：设物块A向右移动距离SA。因为aFx=0，SbACBC2-BH,SaACBC2AH且二xC=0，有amX=0。即由重心坐标公式AC.252-242/2BC(252-242402-242/2)253.5-4023AH=xC15.5cmAC+BC65BH=：；252-242402-242-AH=23.5cm有Sa二一BC-AH=32.523.5=9cmSACBC-BH=32.515.5=17cm第十一章动量矩定理1.如图所示，A为离合器，开始时轮2（转动惯量J?）开始静止，轮1（转动惯量Ji）具有初角速度0。当离合器接合后，靠摩擦带动轮2。求接合后，两轮共同转动的角速度。解：系统对转轴的外力矩为零，故动量矩守恒，有J1J1J20J-o=（J1J2）放置后，轮A的重量由轮B支持,2图示系统中，均质轮A（质量mA，半径：）以角速度绕杆OA的A端转动，此时将其放置在静止的均质轮B（质量mB，半径甩）上，轮B可绕其中心轴自由转动,略去轴承摩擦和杆OA的质量，并设两轮间的摩擦因数为f。问自轮A放到轮B上到两轮没有相对滑动为止，经过多少时间?解：分析A轮，有；FN二mAg1mAr2dt积分得分析B轮,有:2dt积分得=Fst又Fs解得tmB%2gf(mAmiB)11-3.如图所示，有一轮子，轴的直径为50mm，无初速度沿倾角-20的轨道只滚不滑，5秒内轮心滚过的距离s=3m，求轮子对轮心的惯性半径。解：设轮子对轮心的惯性半径为，则ma二mgsinj-FS0二Fn-mgcos二a=r，摩擦力为恒量，故a2S二0.24m/s二90mm11-4.均质圆柱的半径r，质量m，今将其放在图示位置。设在A和B处的摩擦因数为f。若给圆柱以初角速度-.0，导出到圆柱停止所需的时间表达式。1 解：由刚体平面运动微分方程，有0=Fsb-Fnao=FnbFsa-mg2dmr(FsaFSB)rdtFsa=fFna，FsfFnb解得2r0(1f)2gf(1f)11-5.在粗糙斜面上有一薄壁圆筒和一实心圆柱，如图所示。设均质圆筒和均质圆柱的质量均为m，外径均为r。不计滚动阻力和圆筒与圆柱之间的摩擦阻力，求圆筒与圆柱中心的加速度。解：圆筒，受力如图，由对于速度瞬心的动量矩定理，有2mr-(mgsinFn)r32mr:=(mgsin-Fn)r2圆柱，受力如图所以，中心的加速度FmgFnaFSAa。=r二=11-6.如图，一均质塔轮外半径为2r,内径为r,惯性半径为，质量为mi，其上作用一不变的转动力矩m2的重物。若不座反力。M(M足够大)，在圆盘和塔轮上分别绕吊绳提升质量均为计轴承摩擦及吊绳的质量，求重物的加速度和轴承0的支解：Lo=Jo，亠m2r2,亠4m2r2=(m25m2r2)Mo(F)二M-3m2gr由动量矩定理有：22(m2)gac3m2rGm12m2Fn二m2m2)g3m2r:-第十二章动能定理11- 1.在半径为r、质量为m的均质圆盘的直径上固结一长为2r、质量为m1的均质细杆。圆盘作纯滚动。已知圆盘中心的速度为v0。求系统的动能。解:T盘=-mv：-mr2222vo232mvlr丿4T杆二-miv0-m(2r)22212T=(3m2m,)vo432.重为200N的木块上装有4个重量均为20N的轮子，在倾角日=30的斜面上滚下，如图所示。设轮过1m时木块的子的半径为5cm，惯性半径为4cm，求从静止开始滚速度。解：T1=0Z2T2=m木块v2+4Jm轮（P2+r2）-22j丿=1（m木块439m轮）孑225W12=（m木块g4m轮g）Ssin由动能定理有2一（m木块3m轮）v=（m木块4m轮）gSsi2(m木块4m轮).22801v=gSsin日=J汉9.8汉1汽=2.9cm/s十+八39匕V324.82ym木块+4減石m轮12-3.如图所示，十字形滑块K重G3，把固定杆CD和重为G2的杆AB联接成直角，杆AB的点A与半径为r、重量为G1的均质圆盘铰链。盘上作用一不变力偶矩M。忽略摩擦，求圆盘的角速度与其转角的关系。设机构位于水平位置。解：分析系统，=0分析运动，AB杆做平动。K为动点，AB为动系，有Vk=Va-VrvK二vAcos=rcos1G22(2g2VAB2VkG12G22G3cos24g由动能定理t2-tm:得=114gM:r2(G2G22G3cos2)12-4.图示机构，各构件的质量均为m,曲柄OA=l在不变力偶矩M作用下绕轴O从图示位置开始转n圈后，求此时曲柄OA的角速度。解：由T2-W，得CO1122123211mlOA1m(lOA)3m(lOA)前12-5.如图所上作纯滚动。_2(6dMnOAI17m示系统中,mm5kg,k=7N/cm。均质圆盘A只能在斜面今将圆盘从平衡位置向下移过10cm后放开。求当圆盘回到平衡位置时斜面B的速度。解：水平方向动量守恒，有43mBVBmA(VB-Vrcos30)=0，得vVb3vmvBvrcos3WvB由动能定理，得11T2-T；k(、k、stmg、sin301212122其中T|=0，T?JAmAvAmAvA=3mvB222vmgsin30再、.=0.1m，而、st0.035mk解得vb=9Qk(22gSin30=0.48m/s2m12-6.如图所示的均质塔轮的质量m，外轮半径R，内轮半径r，对其中心轴的惯性半径t。今在塔轮的内圆上绕一软绳，绳的另一端通过定滑轮B悬挂质量为mA的重物，塔轮沿水平面纯滚动，不计滚动阻力和滑轮B及软绳的质量。试求绳的张力和水平面对塔轮的摩擦力。解：(1)由dT/dt=W，得、W=mAgvAdt=mAg(R-r)dt11dT=dm(?2R2)2-mAvA=d2m(b+R2)+mA(R-r)%2222m(R)mA(R-r)：二mAg(R-r)，otmiAg(R-r)m(r2R2)miA(R-r)m)AgR(R-r)ar-m(:?2R2)mA(R-r)acFdFs(2)研究塔轮mac=Fd-Fsm(予R2)：二FD(R-r)F=mRX厂DR-r12-7.如图所示，均质杆长21，重G，细绳长I，摩擦不计。求杆由图示静止位置滑到细绳的虚线位置时，杆端B的速度。解：由T2、W，得-GvC二G仝I一(.31I)2g2Va=Vb=Vc=gl圆盘半二角瞬时杆12-8.均质杆OA长I，重G，可绕水平轴O转动，另一端A与均质圆盘的中心铰接，如图所示。径r，重p。当杆处于右侧水平位置时，将系统无初速度释放，不计摩擦。求杆与水平线成的角速度和角加速度。解：由T2=嘉w，得第十三章达朗贝尔原理13-i.曲柄滑块机构如图所示，已知圆轮半径为r，对转轴的转动惯量为轮上作用一不变力偶矩ABD滑道的质量为m，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。解：分析滑道，加惯性力ma,分析C点其中aa=r，an=r贝UF=m(r)2sinvrcosj)F分析轮，加惯性力矩J，2Jv-M-mr(rvsinvrvcosn)Jvmr(rv2sinvrjcosv)=MDCABDma13-2.轮轴质心位于O处，对其轴的转动惯量为Jo，在轮轴上系有两个质量分别为mi和m2的物体。若此轮轴以顺时针转向转动，求轮轴的角加速度和轴承O处的附加动约束力。解：加惯性力如图Fx=0Mo=0,FymR-m2r0Fy=0，22(JOm1Rm2r)：m1g-m2g0m2rmiR22gmiRm2rJo2(m2r-m|R)miR2m2r2JOg10- 3.如图所示，质量为mi的物体A下落时，带动质量为m2的均质圆盘B转动。不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，BC=l，盘B的半径为r，求固定端的约束力。Ma：解：分析轮及物块，加惯性力如图Fx12由MB=0，(?m2mjr二-miigr=04CiFy尹竽m1amigot2mig(m22m1)r分析整体,Fx=0,Fx=0Fy=0,Fyme-me-m20；Fy3m1m22m1m2m2gMe=0,12MAmig(lr)m2glm2r:-m1(lr)a=012MAm2r二-mi(lr)-m1g(lr)-m2gl22m1m23m1m2m2gl13-4.图示均质板的质量为m，放在两个均质圆柱滚子上，磙子的质量均为m，其半径均为r。如在板2上作用一水平力F，并设滚子无滑动，求板的加速度。解：分析板，加惯性力如图B二FX=0，F-2Fs-ma=0分析轮，加惯性力如图ma、MP=0,ma1Fs2r1FsFs又2ai=a联立解得8Fa=11mmra1P14-1.如图所示结构由8根连杆铰链成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力第十四章虚位移原理Fi与F2的大小关系（不计杆重）。解：给F2点一个向下的虚位移3,则Fi点一个向下的虚位移为3/3。如图所示，由、WF=0,有F2-Fi/3=0解得：F|=3F214-2.如图所示组合梁中，已知Fj=5kN,F2=4kN,F3=3kN，力偶矩M=2kNm。不计梁重和摩擦，试求固定端的约束力偶。解：给A支座转动3列虚功方程，有(F12-MAK(F21F33MH-0又Sc=3=3、门,有、/、门-1将（2）式代入（1）式，得MA=2F1F2M-3F3=7kNm14-3.如图所示三根均质杆相铰连，AC=a,CD二BD=2a,AB=3a,AB水平，各杆重量与长度成正比。求平衡时，二、与间的关系。解：系统具有一个自由度，取广义坐标二，建立图示坐标系，列虚功方程，有mg、y2mgy22mg、.y3=0其中asi”2Viacos2y2二acosv、vacos、y2=asinvasin,y3=asinI-,代入上式，整理得5cosv、J2cos：2cos：=02式中只有S为独立变分，由几何关系可得acos：2acos2acos：=3aasinv2asin=2asin:cos-2cos、=cosv)sinll2sin、-sinr得+42sin(B+V)2sin()5cossin(P+了)-2cos?sin(B+P)+2cosPsin(?-&)段整理得：7tan3tan-4tan)-014-4.结构受载如图，已知：q=2kN/m,F=4kN,=12kN,力偶矩M=18kNm。试求A、B支座约束力。解：1、去掉B点的约束，给一个虚位移、：Sb，列虚功方程：FbSb(-6q3M-F1sin609)*=0虚位移关系为：SB=6二：得：1FB(623-1812sin609)=18.588kN62、去掉A点的竖向反力约束，给一个虚位移、；Sa,列虚功方程：FAy、SA(6q3MF,sin603)0虚位移关系为、Sa=6、宀得：FAy=-(62318-12sin609)=3.804kN63、去掉A点的弯矩约束，给一个虚位移:.A，列虚功方程：(MA3F)、:A-F.COS600=0虚位移关系为、：s二、：Sb1得Ma=-43126=24kNm2去掉A点的水平反力约束，给一个虚位移、5从，列虚功方程：(FaxF)、Sa_F1cos60、SB=0虚位移关系为Sax=Sbx1得：Fax一-4122kN2
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