北京市重点中学高三上学期第一次月考数学理试卷

北京市重点中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试卷 （考试时间120分钟 满分150分）第I卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1已知集合，若，则实数的取值范围是A B C D 2下列四个命题：p1：x(0，)，logxp3：x(0，)，logx p4：x，logx其中的真命题是Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p43如图所示，程序框图的输出结果是A B C D 4由直线，曲线及轴 所围成图形的面积为A B C D5已知为的导函数，则的图象是xyOAB6如右图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为,那么A B C D7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是A B C D 8. 如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则 A B C D第II卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 曲线在点处的切线方程为 .10. 向量、满足 ，与的夹角为，则 .11. 设是等差数列的前项和，若 ，则 .12. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .13若函数在内有极小值，则实数的取值范围是 .14当n为正整数时，定义函数N(n)为n的最大奇因数如N(3) 3，N(10) 5，.记S(n) N(1)N(2)N(3)N(2n)则S(3) ；S(n) .三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15（本小题14分）已知函数的最小正周期为.（）求的值及的单调递增区间；（）求在上的最大值和最小值16（本小题13分）在中，角的对边分别为，已知，且成等比数列 （）求的值； （）若，求及的值. 17（本小题13分）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由.18（本小题13分）已知（）当时，求函数的极值；（）若函数没有零点，求实数的取值范围.19（本小题14分）已知函数（为自然对数的底数）.（）求函数的单调区间；（）设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围20（本小题13分）对于项数为的有穷数列，设为 中的最大值，称数列是的控制数列例如数列的控制数列是.（）若各项均为正整数的数列的控制数列是，写出所有的；（）设是的控制数列，满足 （为常数，）.证明：（）.（）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由20142015学年度第一学期第一次月考高 三 数 学（理）试 卷 答 案（考试时间120分钟 满分150分）2下列四个命题：p1：x(0，)，logxp3：x(0，)，logx p4：x，0，T，1. -5分故f(x)sin.令，解得.的单调递增区间为 -8分（）0x，2x， -9分sin(2x)1， -10分当，即时，取得最大值；-12分当，即时，取得最小值. -14分16（本小题13分）在中，角的对边分别为，已知，且成等比数列 （）求的值； （）若，求及的值. 解：（）依题意，-1分由正弦定理及 -3分-6分 （）由 由（舍去负值）-8分从而- -9分.- -11分由余弦定理，得代入数值，得解得：- -13分17（本小题13分）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由.解：（），即，-4分解得.-5分故.-6分（）.-8分令，.当为偶数时，因，故上式不成立；-10分当为奇数时，.-12分综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为.-13分18（本小题13分）已知（）当时，求函数的极值；（）若函数没有零点，求实数的取值范围.解：（）， 当时，. -2分20极小值所以，函数的极小值为，-4分无极大值. -5分（）. -6分(1)当时，的情况如下表：20极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当，解得, 所以此时；- -9分（2）当时，的情况如下表：20极大值因为,且，所以此时函数总存在零点. - -12分（或：因为,又当时，； 故此时函数总存在零点.）- -12分（或：当时，当时，令 即由于令得，即时，即时，存在零点.）- -12分综上所述，所求实数的取值范围是- -13分19（本小题14分）已知函数（为自然对数的底数）.（）求函数的单调区间；（）设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围解：（）函数的定义域为R，.2分当时，；当时，.的单调递增区间为；单调递减区间为.4分（） 5分存在，使得成立.6分 7分 当时，在上单调递减，即, .9分 当时，在上单调递增，即， .11分 当时，在，在上单调递减；在， 在上单调递增.所以，即 由（）知，在上单调递减，故，而，所以不等式无解 .13分综上所述，实数的取值范围是.14分20（本小题13分）对于项数为的有穷数列，设为 中的最大值，称数列是的控制数列例如数列的控制数列是.（）若各项均为正整数的数列的控制数列是，写出所有的；（）设是的控制数列，满足 （为常数，）.证明：（）.（）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由（）解：数列有个，分别为；.3分注：对2个给1分；对4个给2分；对6个给3分；错写扣分.（）证明：因为， ，所以.4分因为，所以，即，故，即. 5分于是，故，（）. 6分（）设数列的控制数列为，因为为前个正整数中最大的一个，所以 7分若为等差数列，设公差为，因为，所以且 8分（1）当时，为常数列：.（或）， 9分此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列； 10分（2）当时，符合条件的数列只能是，此时数列是，有1个； 11分（3）当时， 又， . 这与矛盾！所以此时不存在. 12分 综上满足条件的数列的个数为个（或回答个） 13分