（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步章末复习学案 新人教B版必修2

（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步章末复习学案 新人教B版必修2学习目标1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系1空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的这三种几何体都是多面体(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体2空间几何体的直观图斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半3几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)hh(rrr1r2)直棱柱S侧chVSh正棱锥S侧chVSh正棱台S侧(cc)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3(2)求几何体体积常用技巧等体积法；割补法4平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线平行即如果直线ab，cb，那么ac.(2)直线与平面平行的判定与性质定理条件结论符号语言判定如果不在一个平面的一条直线和平面内的一条直线平行这条直线和这个平面平行l，m，lml性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交这条直线和两平面的交线平行l，l，mlm(3)平面与平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行符号语言：a，b，abP，a，b.图形语言：如图所示(4)平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言：，a，bab.图形语言：如图所示作用：证明两直线平行5垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直符号表示：ab.性质2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行(3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面6共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面(2)异面直线：既不平行又不相交的直线1菱形的直观图仍是菱形()2简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()3夹在两平行平面的平行线段相等()类型一空间几何体的表面积与体积例1如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比解由题意知，S122aa2(2a)2(48)a2，S2S1aa2(49)a2，S1S2(48)(49)反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质跟踪训练1如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1AB1D1的高解设三棱锥A1AB1D1的高为h，则h(a)2.又aa2，所以，所以ha.所以三棱锥A1AB1D1的高为a.类型二空间中的平行问题例2如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点求证：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG綊B1C1，BE綊B1C1，OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形OBGE.OB平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.反思与感悟(1)判断线线平行的方法利用定义：证明线线共面且无公共点利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线利用线面平行的性质定理：a，a，bab.利用面面平行的性质定理：，a，bab.利用线面垂直的性质定理：a，bab.(2)判定线面平行的方法利用定义：证明直线a与平面没有公共点，往往借助反证法利用直线和平面平行的判定定理：a，b，aba.利用面面平行的性质的推广：，aa.(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定义：两个平面没有公共点利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.垂直于同一条直线的两个平面平行，即a，a.平行于同一个平面的两个平面平行，即，.跟踪训练2如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN平面ABC.证明M，N分别是EA与EC的中点，MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N为EC中点，EC2BD，NC綊BD，四边形BCND为矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.类型三空间中的垂直关系例3如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AECD，又G，F分别为DA，EC的中点，将ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求证：AE平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR平面DCB，并说明理由(1)证明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连接GH，FH，GHBD，FHBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，FH平面BCD，又GHFHH，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)解取线段AE的中点R，DC的中点M，DB的中点S，连接MS，RS，BR，DR，EM，则MS綊BC.又RE綊BC，MS綊RE，四边形MERS是平行四边形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中点，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.反思与感悟空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法利用线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)面面垂直的性质(，l，a，ala)面面平行的性质(a，a)(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a，a)跟踪训练3如图，在ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点(1)求证：GF平面ABC；(2)求证：平面EBC平面ACD；(3)求几何体ADEBC的体积V.(1)证明如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HGBC，HFDE.又因为四边形ADEB为正方形，所以DEAB，从而HFAB.所以HF平面ABC，HG平面ABC.又因为GHHFH，所以平面HGF平面ABC，又GF平面HGF，所以GF平面ABC.(2)证明因为四边形ADEB为正方形，所以EBAB.又因为平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因为CA2CB2AB2，所以ACBC.又因为BEBCB，所以AC平面BCE.又因为AC平面ACD，从而平面EBC平面ACD.(3)解取AB的中点N，连接CN，因为ACBC，所以CNAB，且CNABa.又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以CN平面ABED.因为CABED是四棱锥，所以VCABEDSABEDCNa2aa3.即几何体ADEBC的体积Va3.1已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为()A96 cm3 B48 cm3C96 cm3 D48 cm3答案A解析圆锥的侧面积为rl10r60，得r6.则h8，所以圆锥的体积为r2h62896.2若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案B解析当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A错；l1l2，l2l3l1l3，B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D错3设有不同的直线m，n和不同的平面，下列四个命题中，正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m答案D解析选项A中当m，n时，m与n可以平行、相交、异面；选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交；选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等故选项A、B、C均不正确4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析MN平面AC，平面PMNQ平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.1研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决2转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为一、选择题1.如图，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且，则()AEF与GH互相平行BEF与GH异面CEF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上DEF与GH的交点M一定在直线AC上答案D解析因为F，G分别是BC，CD上的点，且，所以GFBD，并且GFBD，因为点E，H分别是边AB、AD的中点，所以EHBD，并且EHBD，所以EHGF，并且EHGF，所以EF与GH相交，设其交点为M，所以M面ABC，同理M面ACD，又面ABC面DACAC，所以M在直线AC上故选D.2下列命题中假命题是()A垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行答案A解析垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A错误；选A.3如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：有水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当EAA1时，AEBF是定值其中正确的说法是()A BC D答案C解析有水的部分始终呈棱柱状：从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断正确；水面四边形EFGH的面积不改变：EF是可以变化的，EH不变的，所以面积是改变的，不正确；棱A1D1始终与水面EFGH平行：由直线与平面平行的判定定理及A1D1EH，可判断正确；当EAA1时，AEBF是定值：水的体积是定值，底面面积不变，所以正确故选C.4已知m，n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若m，m，则；若m，n，mn，则；若，则；若m，n是异面直线，m，m，n，n，则.其中真命题是()A BC D答案D解析对于，垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于，不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于，平面，可能相交，错误；对于，满足平面与平面平行，正确5湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则这个球的半径为()A13 cm B26 cmC13 cm D2 cm答案A解析冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球半径为R，由图知OBR，O1BAB12，OO1OCO1CR8，在RtOO1B中，由勾股定理R2(R8)2122，解得R13(cm)6过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比值为()A. B. C. D.答案A解析如图所示是过球心的截面图，r R，.7.如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，则一质点从A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为()A10 B9C8 D7答案A解析如图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA1展开并拼接，则最短路径为l10.8如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A、B的一点，则下列结论中错误的是()AAECEBBEDECDE平面CEBD平面ADE平面BCE答案C解析由AB是底面圆的直径，则AEB90，即AEEB.四边形ABCD是圆柱的轴截面，AD底面AEB，BC底面AEB.BEAD，ADAEA，因此BE平面ADE.同理可得：AECE，平面BCE平面ADE.可得A，B，D正确而DE平面CEB不正确故选C.二、填空题9一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为_答案解析在平面VAC内作直线PDAC，交VC于D，在平面VBA内作直线PFVB，交AB于F，过点D作直线DEVB，交BC于E，连接EF.PFDE，P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，则四边形PDEF为边长为的正方形，故其面积为.10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则当油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是_答案解析设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为，则hR2x，所以.11已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案144解析如图所示，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.V三棱锥OABCV三棱锥CAOB，而AOB的面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥OABC的体积最大，当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥OABC的体积最大，此时V三棱锥OABCV三棱锥CAOBR2RR336，解得R6，则球O的表面积为S4R2144.三、解答题12已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，求三棱锥OABC的体积解设球O的半径为R，因为SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC.OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱锥OABCV三棱锥COABOCOAOBsinAOBR3sinAOB.13如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，A1B1BC，BC1，AA1AC2，E，F分别为A1C1，BC的中点(1)求证：C1F平面EAB；(2)求三棱锥ABCE的体积(1)证明方法一取AB中点G，连接EG，FG.G，F分别是AB，BC的中点，FGAC，且FGAC.又ACA1C1，且ACA1C1，E为A1C1的中点，FGEC1，且FGEC1，四边形FGEC1为平行四边形，C1FEG.又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE.方法二取AC中点H，连接C1H，FH，则C1EAH，且C1EAH，四边形C1EAH为平行四边形，C1HEA.又EA平面ABE，C1H平面ABE，C1H平面ABE，H、F分别为AC、BC的中点，HFAB.又AB平面ABE，FH平面ABE，FH平面ABE.又C1HFHH，C1H平面C1HF，FH平面C1HF，平面C1HF平面ABE.又C1F平面C1HF，C1F平面ABE.(2)解AA1AC2，BC1，ABBC，AB，三棱锥ABCE的体积为VABCEVEABCSABCAA112.四、探究与拓展14如图，在三棱锥VABC中，VO平面ABC，OCD，VAVB，ADBD，则下列结论中一定成立的是_ACBC；VCVD；ABVC；SVCDABSABCVO.答案解析因为VAVB，ADBD，所以VDAB.因为VO平面ABC，AB平面ABC，所以VOAB.又VOVDV，所以AB平面VCD.又CD平面VCD，VC平面VCD，所以ABVC，ABCD.又ADBD，所以ACBC(线段垂直平分线的性质)因为VO平面ABC，所以VVABCSABCVO.因为AB平面VCD，所以VVABCVBVCDVAVCDSVCDBDSVCDADSVCD(BDAD)SVCDAB，所以SABCVOSVCDAB，即SVCDABSABCVO.故正确15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBCAA1a，ACB90，D是A1B1中点(1)求证：C1D平面A1B1BA；(2)请问，当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论(1)证明A1C1B1C1，A1B1C1为等腰三角形，又A1DDB1，C1DA1B1，C1DA1A，AA1A1B1A1，C1D平面A1B1BA.(2)解由(1)可得C1DAB1，又要使AB1平面C1DF，只要DFAB1即可，又ACBA1C1B190，且ACBCAA1a，A1B1a，AA1B1DB1F，B1Fa.即当F点与B点重合时，会使AB1平面C1DF.