(完整版)万有引力

第 5 课时万有引力定律与天体运动导学目标1.掌握万有引力定律的内容、公式及适用条件.2.学会用万有引力定律解决天体运动问题一、开普勒三定律 基础导引 开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置 (近地点 )和最远的位置 (远地点 )，哪点的速度比较大？ 知识梳理 1开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_ ，太阳处在椭圆的一个_上2开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的_3开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的_ 的比值都a3相等，即T2 k.思考 ：开普勒第三定律中的k 值有什么特点？二、万有引力定律 基础导引 根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在地球表面的重力加速度都是相等的？为什么高山上的重力加速度比地面的小？ 知识梳理 1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与_ 成正比，与它们之间 _ 成反比2公式22， G 是比例系数，叫引力常量_ ，通常取G _ N m/kg3适用条件公式适用于 _间的相互作用当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是 _ 间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r 为球心到 _间的距离考点一天体产生的重力加速度问题考点解读星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：MmGM(或 GM gR2)设天体表面的重力加速度为g，天体半径为 R，则 mg G R2，即 g R2MmGMR2若物体距星体表面高度为h，则重力 mg G(R h)2 ，即 g (R h)2 (R h)2g.典例剖析例 1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？跟踪训练1 1990 年 5 月，紫金山天文台将他们发现的第2 752 号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为 16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同已知地球半径R 6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为()11A 400gB. 400gC 20gD. 20g考点二天体质量和密度的计算考点解读1 利用天体表面的重力加速度g 和天体半径 R.由于MmMgR2，天体密度 MM3g.G 2 mg，故天体质量GV44GRRR332通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径 r.223Mm44r(1)由万有引力等于向心力，即G r2 m T2r，得出中心天体质量M GT2 ；(2)若已知天体的半径R，则天体的密度MM3r3 V 4 GT2R3；R33(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R，3则天体密度 GT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度特别提醒不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg GMm2R2 .从而得出 GM gR (通常称为黄金代换 )，其中 M 为该天体的质量，R 为该天体的半径，g 为相应天体表面的重力加速度典例剖析例 2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7 倍，质量是地球的 25 倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4 小时，引力常量G6.67 1011 N m2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为()A 1.8 103 kg/m3B 5.6 103 kg/m 3C 1.1 104 kg/m 3D 2.9 104 kg/m 3跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于 2011 年 10 月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”假设探测器在离火星表面高度分别为h1 和 h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1 和 T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()A 火星的密度和火星表面的重力加速度B 火星的质量和火星对“萤火一号”的引力D 火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力3.双星模型例 3宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起(1) 试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比(2) 设两者的质量分别为 m1 和 m2，两者相距 L，试写出它们角速度的表达式建模感悟1要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小2要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比3要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系设两子星的质量分别为 M1 和 M 2，相距 L， M1 和 M2 的线速度分别为 v1 和 v2，角速度分别为 1 和 2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2M ： GM1M2 M v1 M r 21L 21 r1 1112M1M2v22M2： GL 2 M2 r2 M 2r22在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径跟踪训练3宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为m.(1) 试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期(2) 假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？A 组开普勒定律的应用1(2010 新课标全国 20)太阳系中的8 大行星的轨道均可以近似看成圆轨道下列4 幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg( R/R0)；这里 T 和 R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0 和R0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径下列4 幅图中正确的是()2(2011 安徽 22)(1) 开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T 的二次方成正比，即a32k， k 是一个对所有行星都相同的常T量将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式已知引力常量为G，太阳的质量为M 太(2) 开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统 )都成立经测定月地距离为3.84 108 m，月球绕地球运动的周期为2.36 106 s，试计算地球的质量 M 1122，结果保留一位有效数字)地(G 6.67 10N m/kgB 组万有引力定律在天体运动中的应用3一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为()A.4B.33G4GC.3D.GG4据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4 倍一个在地球表面重量为 600N 的人在这个行星表面的重量将变为960N ，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为()A 0.5B 2C 3.2D 45宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L .已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为 G.求该星球的质量M.课时规范训练(限时： 30 分钟 )1对万有引力定律的表达式F Gm12m2，下列说法正确的是()rA 公式中 G 为常量，没有单位，是人为规定的B r 趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C两物体之间的万有引力总是大小相等，与12是否相等无关m、mD 两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100 倍假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有()A 恒星质量与太阳质量之比B 恒星密度与太阳密度之比C行星质量与地球质量之比D 行星运行速度与地球公转速度之比3两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F .若两个半径为实心小铁球半径2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为()A 2FB 4FC 8FD 16F4如图 1 所示， A 和 B 两行星绕同一恒星C 做圆周运动，旋转方向相同， A 行星的周期为 T1，B 行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最近，则()A 经过12图 1T T 两行星再次相距最近B 经过T1 T2 两行星再次相距最近21T TC经过T1 T2两行星相距最远2D 经过T1 T21 两行星相距最远2T T5原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2009 年度的诺贝尔物理学奖早在1996 年中国科学院紫金山天文台就将一颗于 1981 年 12 月 3 日发现的国际编号为“ 3463”的小行星命名为“高锟星”假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的1k，半径为地球半径的 1q，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的()qkq2k2A. kB. qC. kD. q6火星的质量和半径分别约为地球的1 和 1，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重102力加速度约为()A 0.2gB 0.4gC 2.5gD 5g图 27一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力 )自开始下落计时，得到物体离行星表面高度 h 随时间 t 变化的图象如图2 所示，则根据题设条件可以计算出()A 行星表面重力加速度的大小B 行星的质量C物体落到行星表面时速度的大小D 物体受到行星引力的大小8(2009 江浙 19)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的2.7 107 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400 倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是()A 太阳引力远大于月球引力B 太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同区域海水的吸引力大小相等D 月球对不同区域海水的吸引力大小有差异9如图 3 所示， P、Q 为质量均为m 的两个质点， 分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，P、Q 两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是()A P、 Q 做圆周运动的向心力大小相等图 3BP、 Q 受地球重力相等CP、 Q 做圆周运动的角速度大小相等D P、 Q 做圆周运动的周期相等10根据观察， 在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群可测出环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系下列判断正确的是()A 若 v 与 R 成正比，则环为连续物B若 v2 与 R 成正比，则环为小卫星群C若 v 与 R 成反比，则环为连续物D若 v2 与 R 成反比，则环为小卫星群复习讲义基础再现一、基础导引根据开普勒第二定律，卫星在近地点速度较大、在远地点速度较小知识梳理1.椭圆焦点2.面积3.公转周期的二次方思考 ：在太阳系中， 比例系数 k 是一个与行星无关的常量，但不是恒量， 在不同的星系中，k 值不相同， k 值与中心天体有关该定律不仅适用于行星， 也适用于其他天体 如对绕地球飞行的卫星来说，它们的 k 值相同且与卫星无关二、地基础导引根据万有引力定律，在地球表面，对于质量为m 的物体有： GM 2mmg，得 gR地GM 地 2R地对于质量不同的物体，得到结果是相同的M地 m在高山上， G r 2 mg，高山的 r 较大，所以在高山上的自由落体加速度g 值就较小知识梳理1.物体的质量 m距离 r 的二次方2.FGm1 m26.67 10 11 3.1 和 m2 的乘积r2质点两球心质点课堂探究30例1 GT2跟踪训练1B例 2 D跟踪训练2A例 3 (1) 见解析 (2) G(m1m2)/L 3解析(1) 证明 ：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R1 和 R2，如图所示对两天体，由万有引力定律可分别列出Gm1m22 m12R1LGm1m22 m22R2L所以 R1 m2，所以 v1R1 R1 m2，R2 m1v2R2 R2m1即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比(2) 由两式相加得m1m2 2 1212G(m1 m2)GL2(RR )，因为 RR L ，所以 L 3.5GmR3312跟踪训练 3 (1)4R45Gm(2)5 R分组训练1 BG2 (1)k(2)6 1024 kg2M 太43 C4 B2 3LR25. 3Gt2课时规范训练1 C2 AD3 D4 B5 C6 B7 AC8 AD9 CD10 AD