解方程的十五种技巧

解方程（组）的十五种技巧解方程（组）的十五种技巧王永会在数学竞赛中，常遇到一些特殊形式的方程，它们结构巧妙而富有规律性，解题时应仔细的观察题目的特点，联想一些解题方法和技巧，寻找简捷的解法。一、利用裂项一、利用裂项例例 1. 解方程xxxxxx22222234276342分析：若把每项展开求解，将会带来繁杂的运算，但是我们仔细观察发现，左边两底数之和正好等于右边底数，因此可用拆项的方法求解。解：原方程可化为 xxxxxxxx22222223427634276由于ababab2220故有234 276022xxxx解得：xxxx123441322 ，二、利用方差公式二、利用方差公式例例 2. 解方程2352123xxyyy分 析 ： 方 程 含 有 四 个 无 理 数 ， 平 方 是 不 可 能 的 ， 因 此 我 们 可 以 用 方 差Snxxxnx222221的性质：当 S0 时，xxxn12。解：因为2352313123xxyyy所以Sxxyyy222221323523131230所以2352xxyy解得xy 77，经检验xy 77，是方程的解。三、利用放缩性三、利用放缩性例例 3. 解方程11111124222224xxxxxx解：显然x 0是方程的一个解。当x 0时，11111124222224xxxxxx，左边右边，这时方程无实根，因此方程的根为 x0。四、利用对称性四、利用对称性例例 4. 解方程2316320432xxxx分析：观察特点，发现方程中各项系数关于中间项对称。解：由方程可知x 0，则原方程变化为：213116022xxxx 即21312002xxxx 所以215140 xxxx 由2150 xx 得：25202xx解得：xx12122，由xx 140得：xx2410解得：xx342323 ，所以原方程的解为：xx12122，xx342323 ，五、三角函数法五、三角函数法例例 5. 解方程34343411922xxxx解：设34349341192222xxxxsincos，则3434813411812424xxxxsincos，两式相减，得：814544sincos所以81 21452sin，解得：sin279所以343481794922xx即341502xx解这个方程，得：xx12353 ，经检验xx12353 ，都是方程的解。六、配方法六、配方法例例 6. 解方程xyzxyz1212解：原方程可变为 xxyyzz 21121122210配方得：xyz111210222再利用非负性得：xyz11121，从而求出xyz123，七、构造法七、构造法例例 7. 解方程34295222xxx解：由题意知x 0，由原方程得：93643652122xxx因为9364365222222xxx得：9364362322xxx得：2 936922xx解这个方程得：xx128 778 77 ，经检验x 8 77是方程的解。八、利用判别式八、利用判别式例例 8. 求方程xxyyx2222220的实数解。解：视 y 为常数，整理成关于 x 的一元二次方程xyxy2222220因为 x，y 为实数，所以 224 22410222yyy则只有4102y 解得：y 1将y 1代入原方程整理得：xx2440，得x 2故原方程的实数解是xy21，。说明：解二次方程时，若未知数的个数多余方程的个数时，常用此法。九、利用韦达定理九、利用韦达定理例例 9. 解方程131131422xxxxxx 解：原方程可变形为13113142122xxxxx又13113113222xxxxx由两式及韦达定理可知13113122xxxxx，是方程yy213420的两根，解得yy1267，。所以1316131722xxxxx，或1317131622xxxxx，分别解得：xxxx1234163232，经检验它们都是方程的根。十、换元法十、换元法例例 10. 解方程 6734162xxx解：原方程等价于 6768 667212xxx设 yxxxx1367686667将yx67代入得：yyy21172解得：yy1298 ，（舍去）则673x ，解得：xx122353 ，十一、增元法十一、增元法例例 11. 解方程xxx2229316解：设33xxy，则xyxy33所以xyxyxy22161322 整理得：xyxy26160解得：xy 8或xy 2所以xyxy824或xyxy 26解第一个方程组无解，第二方程组的解为xx121717 ，经检验它们都是方程的根。十二、倒数代换法十二、倒数代换法例例 12. 解方程xxxx3234356解：设xxt2346，则xxt2351两式相减，得：611tt 所以6102tt 解这个方程，得：tt121312 ，所以xx3342或xx2343 解第一个方程得：xx1212 ，第二个方程无实数根。所以原方程的根是xx1212 ，十三、利用轮换式性质十三、利用轮换式性质例例 13. 解方程组414141424143222222xxyyyzzzx分析：此式是轮换式，所以解必然相等。解：则有41422xxx所以xxx44102解得：xx12012，则有xyzxyz012，经检验知方程组的解为xyzxyz012，。十四、引入参数法十四、引入参数法例例 14. 解方程组111211131114xyzyzxzxy解：原方程组可变为xyxzxyzxyyzxyzxzyzxyz234令xyzk，那么有xyxzkxyyzkxzyzk234解得：xykyzkxzk125232，所以yxzx535，即zxyx553，由xyxzxyz2得：xyz2310236232，经检验知方程组的解为：xyz2310236232，。十五、利用取倒数十五、利用取倒数例例 15. 解方程组xyxxyzxxxzyzyz122231234解：对方程两边取倒数得1111211121321112143xyxzyz由得：1111213244xyz得：1724337xx，得：11524345yy，得：1212422zz，经检验方程组的解为xyz33734522，。