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专题突破二焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化一、焦点弦性质的推导例1抛物线y22px(p0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)为定值；(5)SOAB(为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题证明(1)当ABx轴时，不妨设A，B，y1y2p2，x1x2.当AB的斜率存在时，设为k(k0)，则直线AB的方程为yk，代入抛物线方程y22px，消元得y22p，即y2p20，y1y2p2，x1x2.(2)当90时，过A作AGx轴，交x轴于G，由抛物线定义知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由图知|GG1|AA1|，则p|AF|cos|AF|，得|AF|，同理得|BF|；当90时，可知|AF|BF|p，对于|AF|，|BF|亦成立，|AF|，|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p，当且仅当90时取等号故通径为最短的焦点弦(4)由(2)可得，.(5)当90时，SOAB2p，故满足SOAB；当90时，设直线AB：ytan，原点O到直线AB的距离dsin，SOAB|AB|sin.(6)如图：M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于点M1，则|MM1|，故以AB为直径的圆与准线相切(7)设直线AB的方程：xmy，代入y22px得y22pmyp20.由(1)可得y1y2p2.因为BB1x轴，B1，即B1，kOA，所以且公共点为O，所以直线AB1过点O.所以A，O，B1三点共线，同理得B，O，A1三点共线二、焦点弦性质的应用例2(1)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.B.C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案D解析方法一由题意可知，直线AB的方程为y，代入抛物线的方程可得4y212y90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2，故所求三角形的面积为.方法二运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则SOAB.(2)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案A解析方法一抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16.方法二运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB的倾斜角为，则且0，因此|AB|DE|16.当且仅当或时，等号成立点评上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题跟踪训练过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案解析由于y22x的焦点坐标为，由题意知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，将yk代入y22x，得k222x，k2x2(k22)x0.x1x2.而|AB|x1x2px1x21，x1x2.又|AF|0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212xBy28xCy26xDy24x答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.4过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_考点题点答案解析抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x1，因此点M到抛物线准线的距离为1.5过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为_考点题点答案90解析设抛物线方程为y22px(p0)，如图|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.一、选择题1已知AB是过抛物线y2x2的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是()A1B2C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案D解析如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A，Q，B，由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y0.2若抛物线y22px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列考点题点答案A解析设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y2px1，y2px2，y2px3，因为2yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.3抛物线x24y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是()A4B3C4D8答案C解析由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF的斜率为，AF的倾斜角为30，AH垂直于准线，FAH60，故AHF为等边三角形设A，m0，过F作FMAH于M，则在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等边三角形AHF的边长|AH|4，AHF的面积是44sin604.故选C.4过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，则的值为()A3B2C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案A解析由抛物线的性质可知，|AF|，|BF|，3.5已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy的最小值为()A4B6C8D10考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案C解析由焦点弦的性质知，y1y24，即|y1|y2|4，则yy2|y1|y2|8，当且仅当|y1|y2|2时，取等号故yy的最小值为8.6过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|BF|4.7.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，则p的值为()A.B2C.D.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案C解析设直线l的倾斜角为，由焦点弦的性质知，|BF|，|AF|，解得8设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案C解析当cos0时，|AF|，|BF|.由|AF|3|BF|，即cos，此时tan，当cos0)上一动点，A(a,0)(a0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N.当A为抛物线的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，OMN的面积为.(1)求抛物线的标准方程；(2)记t，若t的值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由考点题点解(1)由题意知，当直线MA与抛物线对称轴垂直时，SMON|OA|MN|2p，p3，故抛物线C的标准方程为y26x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为xmya，联立得y26my6a0，所以36m224a0，y1y26m，y1y26a，由对称性，不妨设m0，因为a0，所以y1y26a0，所以y1，y2异号，又tt2.所以，当且仅当10即a时，t与m无关，A为稳定点16
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