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21.3分层抽样1理解分层抽样的基本思想和适用情形2掌握分层抽样的实施步骤3了解两种抽样方法的区别和联系分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样(2)适用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样1分层抽样中的总体有什么特征？提示分层抽样中的总体是由差异明显的几部分组成2有人说系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样的概念，故系统抽样是一种特殊的分层抽样，对吗？提示不对因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规则进行的，各层分段有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样3判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小()(2)分层抽样有时也需要剔除若干个个体，对这些个体来说是不公平的()(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层抽样()提示(1)在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成情况(2)根据抽样的意义，对每个个体都是公平的(3)适合用简单随机抽样题型一分层抽样概念的理解【典例1】分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行()A每层内等可能抽样B每层内不等可能抽样C所有层用同一抽样比D所有层抽同样多样本容量解析由分层抽样的概念知，所有层抽样比相同，且保证等可能入样答案C分层抽样的依据(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况(2)样本能更充分地反映总体的情况(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等针对训练1下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是()A某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是140.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D从50个零件中抽取5个做质量检验解析A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似答案C题型二分层抽样的设计【典例2】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数解(1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有47.5%，10%，解得b50%，c10%，故a100%50%10%40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为20040%60；抽取的中年人人数为20050%75；抽取的老年人人数为20010%15.即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数niNi，其中Ni为第i(i1,2，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数(2)已知各层个体数之比为m1m2mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为nin(i1,2，k)针对训练2某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.24 B18 C16 D12解析依题意知，二年级的女生有380名，那么三年级学生的人数应该是2000373377380370500，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为6416.答案C题型三抽样方法的综合应用【典例3】某学校有职工140人，其中教师91人、教辅行政人员28人、总务后勤人员21人为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本以下的抽样方法中，与方法1、方法2对应正确的抽样方法是()方法1：将140人从1140编号，然后制作出标有1140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱子里均匀搅拌，然后从中抽出20个号签，编号与号签相同的20个人被选出方法2：按2014017的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽取3人从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽到20人A分层抽样简单随机抽样B分层抽样分层抽样C简单随机抽样分层抽样D简单随机抽样简单随机抽样解析结合简单随机抽样、分层抽样的概念判断，方法1是简单随机抽样，方法2是分层抽样答案C抽样方法的选择第一步，看总体是否由差异明显的几个层次组成若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样第二步，看总体容量和样本容量的大小当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法针对训练3教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；某班春节聚会，要产生两位“幸运者”就这三件事，合适的抽样方法分别为()A分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D系统抽样，分层抽样，简单随机抽样解析每班各抽两人需用系统抽样由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样故选D.答案D课堂归纳小结1对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解(1)；(2)总体中各层容量之比对应层抽取的样本数之比2选择抽样方法的规律(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法1简单随机抽样和分层抽样之间的共同点是()A都是从总体中逐个抽取的B抽样过程中每个个体被抽到的机会是相等的C将总体分成几层，然后各层按照比例抽取D两者之间没有共同点解析由三种抽样方法的定义可知，在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，所以选B.答案B2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A6 B8 C10 D12解析设在高二年级学生中抽取的人数为x，则，解得x8.答案B3为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求()A每层不等可能抽样B每层抽取的个体数相等C每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取nin(i1,2，k)个个体(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)D只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制解析A不正确B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确D不正确答案C4某中学有高中生3500人，初中生1500人为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A100 B150 C200 D250解析抽样比为，该校总人数为150035005000，则，故n100.答案A5某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为，则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为 ()A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法解析由调查可知个体差异明显，故宜用分层抽样；调查中个体较少，故宜用简单随机抽样答案B课后作业(十二) (时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A抽签法 B随机数法C系统抽样法 D分层抽样法解析由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法答案D2将A，B，C三种性质的个体按124的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取()A12,6,3 B12,3,6C3,6,12 D3,12,6解析由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取213, 216,2112.答案C3某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A4 B5 C6 D7解析四类食品的比例为4132，则抽取的植物油类的数量为202，抽取的果蔬类的数量为204，二者之和为6，故选C.答案C4问题：有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；从20名学生中选出3名参加座谈会方法：.简单随机抽样；.分层抽样其中问题与方法能配对的是()A， B，C， D，解析对于，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样答案B5共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如下表所示：年龄1220岁2030岁3040岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取2030岁的人数为()A12 B28 C69 D91解析由分层抽样的定义得，应抽取2030岁的人数为20045.5%91，故选D.答案D6某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生解析30060，取60人答案607防疫站对学生进行身体健康调查红星中学共有学生1600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是_解析设该校的女生人数是x，则男生人数是1600x，抽样比是，则x(1600x)10，解得x760.答案7608某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从810岁，1112岁，1314岁，1516岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份，因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在1112岁学生问卷中抽取60份，则在1516岁学生中抽取的问卷份数为_解析由题意可得，解得x360，故在1516岁学生中抽取的问卷份数为360120.答案1209一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为32523，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程解因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法具体过程如下：将3万人分成5层，一个乡镇为一层按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：30060(人)，30040(人)，300100(人)，30040(人)，30060(人)各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60.将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本10为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求x、y；(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程解(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：x18，y2，故x18，y2.(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，36；第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本应试能力等级练(时间20分钟)11某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001,002,003，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为001,002,003，270，并将整个编号平均分为10段如果抽得的号码有下列四种情况：007,034,061,088,115,142,169,196,223,250；005,009,100,107,111,121,180,195,200,265；011,038,065,092,119,146,173,200,227,254；036,062,088,114,140,166,192,218,244,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是()A都不能为系统抽样B都不能为分层抽样C都可能为系统抽样D都可能为分层抽样解析系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个编号是否在001027范围内，结果发现不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k27，也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为，因此排除A，C；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为433，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001108范围内要有4个编号，在109189和190270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有，即它们都可能为分层抽样(其中在每一层内采用了系统抽样，在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.答案D12在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本采用随机抽样法，将零件编号为00,01，99，抽签取出20个；采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个对于上述抽样方式，下面说法正确的是()A不论哪一种抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是B两种抽样方法中，这100个零件每一个个体被抽到的概率为，并非如此C两种抽样方法中，这100个零件中每一个个体被抽到的概率为，并非如此D采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的解析虽然三种抽样方式、方法不同，但最终每个个体被抽取的机会是均等的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性答案A13古代科举制度始于隋而成于唐，完善于宋、元明代则处于其发展的鼎盛阶段其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷，按比例录取，其录取比例为1172.若明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为_解析由题意知，明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为10010(人)答案10(人)14某机关老年、中年、青年的人数分别为18,12,6，现从中抽取一个容量为n的样本，若采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体当样本容量增加1时，若采用系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n_.解析当样本容量为n时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以n是1812636的约数，n可能为1,2,3,4,6,9,12,18,36.因为采用分层抽样时不用剔除个体，所以18，12，6均是整数，所以n可能为6,12,18,36.又因为当样本容量增加1时，需要剔除1个个体，才能用系统抽样，所以n1是35的约数，而n1可能为7,13,19,37，所以n17，所以n6.答案615为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查：(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)根据上面的叙述，试回答下列问题 (1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤解(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩第二种方式抽样的步骤如下：第一步，首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a.第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次第二步，确定各个层次抽取的人数因为样本容量与总体的个体数比为1001000110，所以在每个层次抽取的个体数依次为，即15,60,25.第三步，按层次分别抽取：在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用系统抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人13
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