资源描述
第9讲解析几何调研一直线与圆备考工具一、直线方程的相关概念1表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角范围：00)x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心(a，b)半径r(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(3)参数方程：(为参数)圆心(a，b)，半径为r.2直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离drr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含同心圆几何特征dRrdRrRrd RrdRr0d0)相交所得的弦长为2，则圆C的半径r()A.B2C2D4解析：解法一：依题意，圆C的圆心为(2,1)，圆心到直线的距离d，又弦长为2，所以22，所以r2，故选B.解法二：联立得，整理得2x212x20r20，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x26，x1x2，所以|AB|x1x2|2，解得r2.答案：B42019河北九校联考圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x0Dx2y22x30解析：由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.故选C.答案：C52019广州调研若点P(1,1)为圆C：x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30Bx2y10Cx2y30D2xy10解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0)，又P(1,1)，所以kPC.易知MNPC，所以kMNkPC1，所以kMN2.根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.故选D.答案：D62019湖北重点中学已知两点A(a,0)，B(a,0)(a0)，若圆(x)2(y1)21上存在点P，使得APB90，则正实数a的取值范围为()A(0,3B1,3C2,3D1,2解析：以AB为直径的圆的方程为x2y2a2，则由题意知圆(x)2(y1)21与圆x2y2a2有公共点，则|a1|a1，解得1a3，故选B.答案：B72019江苏卷在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_解析：通解：设P，x0，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x，即x时取等号，故点P到直线xy0的距离的最小值是4.优解：由yx(x0)得y1，令11，得x，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线xy0的距离最小，最小值为4.答案：482019唐山摸底已知直线l：kxyk20与圆C：x2y22y70相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_解析：直线l的方程为y2k(x1)，经过定点P(1,2)，由已知可得圆C的标准方程为x2(y1)28，可知圆心C(0,1)，半径r2，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|，故|AB|min22.答案：292019广东六校联考已知点P(1,2)及圆(x3)2(y4)24，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|QT|的值为_解析：点P关于x轴的对称点为P(1，2)，如图，连接PP，PQ，由对称性可知，PQ与圆相切于点T，则|PQ|QT|PT|.圆(x3)2(y4)24的圆心为A(3,4)，半径r2，连接AP，AT，则|AP|2(13)2(24)252，|AT|r2，所以|PQ|QT|PT|4.答案：4102019浙江卷已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_.解析：解法一：设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线方程为l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，则r.解法二：因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(2，1)，所以21，所以m2，r.答案：2调研二椭圆、双曲线备考工具一、定义1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数(3)当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在2双曲线的定义及理解(1)定义：平面上到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)符号语言：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|时，动点轨迹不存在二、方程和性质1椭圆的方程与性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c22.双曲线的方程与性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2焦距|F1F2|2c离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2渐近线yxyx三、离心率e的作用(1)椭圆：e越大，图形越扁(2)双曲线：e越大，开口越小四、常见结论1椭圆(1)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦(2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|ac，ac，即椭圆上点到焦点的距离的最大值为ac，最小值为ac.(3)椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形如图所示，设F1PF2.当P为短轴端点时，最大|PF1|PF2|sinb2b2tanc|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，取最大值，最大值为bc.焦点三角形的周长为2(ac)(4)设F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，AB是过F1的弦，则|AF2|BF2|AB|4a.(5)AB为椭圆1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则弦长l|x1x2|y1y2|(其中k为直线AB的斜率)；直线AB的斜率kAB.2双曲线(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中F1PF2.(5)若P是双曲线1(a0，b0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.(6)设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的焦点，AB是过F1的弦，则|AF2|BF2|AB|4a.(7)AB为双曲线1(a0，b0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)则弦长l|x1x2|y1y2|(其中k为直线AB的斜率)；直线AB的斜率kAB.五、特殊曲线1等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线(2)性质：ab；e；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项2共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线(2)性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.六、求椭圆、双曲线离心率的方法(1)定义法：直接求出a，c的值来解e，通过已知条件列方程，解出a，c的值(2)解方程法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置求离心率此方法多用于选择题和填空题(4)求离心率的最值(或范围)，往往借助图形的性质、曲线的范围、正余弦函数的有界性、基本不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的自测自评12019北京卷已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4b解析：由题意得，又a2b2c2，4b23a2.故选B.答案：B22019全国卷双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()A.B.C2D3解析：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.答案：A32018全国卷已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A.B3C2D4解析：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3.答案：B42019洛阳统考已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为()Ax2y21B.1Cx21D.1解析：通解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，|PF1|PF2|4c，点P位于第一象限，|PF1|PF2|2a，|PF1|2ca，|PF2|2ca，cosPF2F1，又点P的坐标为(2，)，sinPF2F1，21，化简得(c2a)23(2ca)2，c2a2b21，又1，a21，双曲线的方程为x2y21，故选A.优解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，|PF1|PF2|4c，点P位于第一象限，|PF1|PF2|2a，|PF1|2ca，|PF2|2ca，cosPF2F1，又点P的坐标为(2，)，sinPF2F1，21，化简得(c2a)23(2ca)2，c2a2b21，此时可以排除选项B，C，D，故选A.答案：A52019石家庄一模已知椭圆1(ab0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：FP的斜率为，FPl，直线l的斜率为.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，即.AB的中点为M，a22bc，b2c22bc，bc，ac，椭圆的离心率为，故选B.答案：B62019郑州质量预测二已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.B(1,2)C.D(1,2)解析：通解：因为，所以点P不可能在双曲线的左、右两个顶点处，(1)当点P在双曲线的右支上(不包括双曲线的右顶点)时，根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a，因为，所以由正弦定理得，解得|PF1|，|PF2|，所以c2a0，所以e2.在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2c，整理得2a23acc20，所以e23e20，解得e.综上，2e.(2)当点P在双曲线的左支上(不包括双曲线的左顶点)时，根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a，因为，所以由正弦定理得，解得|PF1|，|PF2|，所以2ac0，所以e2.在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2c，整理得2a2acc20，所以e2e20，又20恒成立，由e1，所以1e2.综上所述，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2).优解：因为，所以点P不可能在双曲线的左、右两个顶点处，(1)当点P在双曲线的右支上(不包括双曲线的右顶点)时，e22222，因为|PF2|ca，所以e22，所以e23e20，解得e，所以2e.(2)当点P在双曲线的左支上(不包括双曲线的左顶点)时，e22222，因为|PF2|ac，所以e22，所以e2e20，又20恒成立，e1，所以1e2.综上所述，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2).答案：D72019江苏卷在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线x21(b0)经过点(3,4)，所以91，得b，所以该双曲线的渐近线方程是ybxx.答案：yx82019全国卷设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)答案：(3，)92019全国卷已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_解析：通解：因为0，所以F1BF2B，如图.所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.优解：因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由F2(c,0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.答案：2102019浙江卷已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_解析：通解：依题意，设点P(m，n)(n0)，由题意知F(2,0)，所以线段FP的中点M在圆x2y24上，所以224，又点P(m，n)在椭圆1上，所以1，所以4m236m630，所以m或m(舍去)，n，所以kPF.优解：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|OF|2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|4，由椭圆的定义知|PF|PF1|6，所以|PF|2.因为M为PF的中点，所以|MF|1.在等腰三角形OMF中，过O作OHMF于点H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.答案：调研三抛物线备考工具1抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线定义的理解抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题3抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形顶点(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF准线xxyy4.抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)焦半径|AF|x1；(4)弦长lx1x2p.当弦ABx轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长l(为AB的倾斜角)5直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程即消去y得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0)的焦点为F，点P在C上，且|PF|，则p()A.B.C.D1解析：抛物线的准线方程为y，因为P在抛物线上，所以点P到准线的距离d|PF|，则p，故选B.答案：B22019全国卷若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4D8解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8，故选D.答案：D32019天津卷已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C2D.解析：由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.答案：D42019江西五校联考过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|AB|，则直线l的倾斜角为()A15B30C45D60解析：分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，N，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NN|(|AA|BB|)|AB|，因为|MN|AB|，所以|NN|MN|，所以MNN60，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30，故选B.答案：B52019广东六校联考抛物线y2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为()A.B.C.D1解析：通解：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为ykxb.由题意知y0b0.联立得整理得2x2kxb0，k28b0，x1x2，x1x2，则|AB|，点M的纵坐标y0xxb.因为弦AB的长为3，所以3，即(1k2)9，故(14y04b)(y0b)9，即(14y04b)(4y04b)36.由基本不等式得，(14y04b)(4y04b)212，当且仅当时取等号，即18y012，y0，点M的纵坐标的最小值为.故选A.优解：由题意得，焦点F，准线y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y0(y1y2)(|AF|BF|)|AB|.(当且仅当A，B，F三点共线时，取等号)答案：A62019安徽示范高中联考设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为()A4或8B2或4C2或8D4或16解析：抛物线C的方程为y22px(p0)，F，准线方程为x.如图，设准线与x轴的交点为K，则|KF|p.过M作MP平行于x轴交准线于P，则|MP|MF|5.取MF的中点为N，过N作NQ平行于x轴交准线于Q，交y轴于A，则|NQ|，|AN|NQ|，以MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，即A(0,2)，N，故M，162p，p210p160，p2或p8，故选C.答案：C72019湖南四校调研已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|()A4B6C8D10解析：通解：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l：x2与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A，则|AN|2，|FF|4.在直角梯形ANFF中，由中位线定理，知|BM|3.由抛物线的定义，知|MF|MB|3，结合题意，有|MN|MF|3，所以|FN|FM|MN|6，故选B.优解：设N(0，a)，由题意知F(2,0)，则M，因为点M在抛物线上，所以8，解得a4，所以N(0，4)，所以|FN|6，故选B.答案：B82019山西第一次联考已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于P，Q两个不同的点，P，Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MN|4，|NF|4，则p()A.B2C2D4解析：通解：易得抛物线的准线l：x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可得F，M，N，故|MF|22(y10)2p2y，即(4)2p2y，即y48p2.|NF|22(y20)2p2y，即42p2y，即y16p2.又直线PQ过焦点F，所以y1y2p2，所以(y1y2)2(p2)2，即yp(48p2)(16p2)p4，整理得p212，所以p2.优解：根据题意，得抛物线的准线方程为x，F，设直线PQ的方程为xty，与抛物线方程y22px联立，得y22ptyp20，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2p2，设MN与x轴的交点为H，则由题意可得M，N，(p，y1)，(p，y2)，p2y1y20，故MFNF，所以|MN|8，所以由等面积法可得p|FH|2.答案：C92019惠州调研设抛物线y24x的焦点为F，过点(2,0)的直线与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若，则|AF|()A.B4C3D2解析：设过点(2,0)的直线的方程为yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入抛物线方程得，k2x24(1k2)x4k20，由根与系数的关系得x1x24.分别过点A，B作准线的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，则，即5x12x230，由得x11或x1(舍去)，|AF|x112，故选D.答案：D102019山西八校联考已知A是抛物线y24x上的动点，点A在y轴上的射影是点C，B是圆D：(x3)2(y2)21上的动点，则|AB|AC|的最小值是_解析：圆D：(x3)2(y2)21的圆心为D(3,2)，半径r1.抛物线y24x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1.如图，设点A在抛物线准线上的射影为点H，则|AB|AC|AB|AH|1.连接AF，由抛物线的定义可知|AH|AF|，|AB|AC|AB|AF|1.易知D，B，A，F四点共线时，|AB|AF|取得最小值，连接DF，则(|AB|AF|)min|DF|r121，(|AB|AC|)min22.答案：2221
展开阅读全文