（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案 新人教A版必修2

（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案 新人教A版必修2学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系知识点一正弦函数、余弦函数的概念思考从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应由这个对应法则所确定的函数ysin x(或ycos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.知识点二几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考1课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；等分单位圆，作正弦线：从O1与x轴的交点A起，把O1分成12等份过O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，2等角的正弦线；找横坐标：把x轴上从0到2这一段分成12等份；找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数ysin x，x0,2的图象，如图因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x，x2k，2(k1)，kZ且k0的图象与函数ysin x，x0,2)的图象的形状完全一致于是只要将函数ysin x，x0,2)的图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysin x，xR的图象，如图思考2如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案把ysin x，xR的图象向左平移个单位长度，即可得到ycos x，xR的图象梳理正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线知识点三“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考1描点法作函数图象有哪几个步骤？答案列表、描点、连线思考2“五点法”作正弦函数、余弦函数在x0,2上的图象时是哪五个点？答案画正弦函数图象的五点(0,0)(，0)(2，0)画余弦函数图象的五点(0,1)(，1)(2，1)梳理“五点法”作正弦函数ysin x(x0,2)、余弦函数ycos x，x0,2图象的步骤(1)列表x02sin x01010cos x10101(2)描点画正弦函数ysin x，x0,2的图象，五个关键点是(0,0)，(，0)，(2，0)；画余弦函数ycos x，x0,2的图象，五个关键点是(0,1)，(，1)，(2，1)(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数ysin x(x0,2)、余弦函数ycos x(x0,2)的简图1正弦函数ysin x的图象向左、右和上、下无限伸展()提示正弦函数ysin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y1和y1之间2函数ysin x与ysin(x)的图象完全相同()提示二者图象不同，而是关于x轴对称3余弦函数ycos x的图象与x轴有无数个交点()4余弦函数ycos x的图象与ysin x的图象形状和位置都不一样()提示函数ycos x的图象与ysin x的图象形状一样，只是位置不同类型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y1sin x(0x2)的简图考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象解取值列表：x02sin x010101sin x10121描点连线，如图所示反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图“五点”即ysin x或ycos x的图象在0,2内的最高点、最低点和与x轴的交点“五点法”是作简图的常用方法跟踪训练1(1)用“五点法”作出函数y1cos x(0x2)的简图考点余弦函数的图象题点五点法作余弦函数的图象解列表如下：x02cos x101011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图(2)(2017长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出y的图象考点余弦函数的图象题点五点法作余弦函数的图象解由于y|cos x|，因此只需作出y|cos x|的图象即可，而y|cos x|可由ycos x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如下：类型二利用正、余弦函数图象解不等式命题角度1利用正、余弦函数图象解不等式例2利用正弦曲线，求满足sin x的x的集合考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用解首先作出ysin x在0,2上的图象，如图所示，作直线y，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和.作直线y，该直线与ysin x，x0,2的交点横坐标为和.观察图象可知，在0,2上，当x或x时，不等式sin x成立所以sin x的解集为.反思与感悟用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数或余弦函数在0,2上的图象；(2)写出适合不等式在区间0,2上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集跟踪训练2使不等式2sin x0成立的x的取值集合是()A.B.C.D.考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案C解析不等式可化为sin x.方法一作图，正弦曲线及直线y如图所示由图知，不等式的解集为.方法二如图所示，不等式的解集为.命题角度2利用正、余弦函数图象求定义域例3求函数f(x)lg sin x的定义域考点正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点正弦函数、余弦函数的定义域解由题意，得x满足不等式组即作出ysin x的图象，如图所示结合图象可得x4，)(0，)反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍跟踪训练3求函数y的定义域考点正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点正弦函数、余弦函数的定义域解为使函数有意义，需满足即0sin x.由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为.1用“五点法”作y2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A0，2 B0，C0，2，3，4 D0，考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象答案B解析“五点法”作图是当2x0，2时的x的值，此时x0，故选B.2下列图象中，ysin x在0,2上的图象是()考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案D解析由ysin x在0,2上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项3不等式cos x0，x0,2的解集为_考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的简单应用答案解析由函数ycos x的图象可知，不等式cos x0的解集为.4请用“五点法”画出函数ysin的图象考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象解令X2x，则当x变化时，y的值如下表：X02xy000描点画图：将函数在上的图象向左、向右平移即得ysin的图象5若函数f(x)sin x2m1，x0,2有两个零点，求m的取值范围考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用解由题意可知，sin x2m10在0,2上有2个根，即sin x2m1有两个根，可转化为ysin x与y2m1两函数的图象在0,2上有2个交点由ysin x图象可知，12m11，且2m10，解得1m0，且m.m.1对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点2作函数yasin xb的图象的步骤3用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0,2内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出一、选择题1用五点法画ysin x，x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()A. B.C(，0) D(2，0)考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象答案A解析易知不是关键点2用“五点法”作函数y2sin x1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A0，2B0，C0，2，3，4D0，考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象答案A解析由“五点法”可知选A.3对于正弦函数ysin x的图象，下列说法错误的是()A向左右无限伸展B与ycos x的图象形状相同，只是位置不同C与x轴有无数个交点D关于y轴对称考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案D解析由正弦曲线知，A，B，C均正确，D不正确4(2017绍兴柯桥区期末)函数yxcos x(x)的图象可能是()考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的简单应用答案D解析当x时，x0，cos x0；当x时，x0，则xcos x0，cos x0，则xcos x0；当x时，x0，cos x0，则xcos x0，故选D.5下列各组函数中图象相同的是()ycos x与ycos(x)ysin与ysinysin x与ysin(x)ysin(2x)与ysin xA B C D考点正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案D解析由诱导公式知，只有中，ysin(2x)sin x.6若sin 1log2x，则实数x的取值范围是()A1,4 B.C2,4 D.考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案A解析由正弦函数的图象，可知1sin 1，所以11log2x1，整理得0log2x2，解得1x4，故选A.7方程sin x的根的个数是()A7 B8 C9 D10考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案A解析在同一坐标系内画出y和ysin x的图象如图所示根据图象可知方程有7个根二、填空题8函数f(x)lg cos x的定义域为_考点正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点正弦函数、余弦函数的定义域答案解析由题意，得x满足不等式组即作出ycos x的图象，如图所示结合图象可得x.9函数f(x)则不等式f(x)的解集是_考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案解析在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y的图象(图略)，由图易得x0或2kx2k，kN.10若动直线xa与函数f(x)sin x和g(x)cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为_考点正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案解析在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，易知当xak(kZ)时，|MN|取得最大值.11(2017长沙浏阳一中期末)有下列命题：ysin |x|的图象与ysin x的图象关于y轴对称；ycos(x)的图象与ycos|x|的图象相同；y|sin x|的图象与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycos x的图象与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确命题的序号是_考点正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案解析对于，ycos(x)cos x，ycos|x|cos x，故其图象相同；对于，ycos(x)cos x，故这两个函数图象关于y轴对称，作图(图略)可知均不正确三、解答题12用“五点法”画出函数ysin x，x0,2的简图考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数的图象解(1)取值列表如下：x02sin x01010sin x(2)描点、连线，如图所示13根据ycos x的图象解不等式：cos x，x0，2考点余弦函数的图象题点余弦函数图象的综合应用解函数ycos x，x0,2的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为.四、探究与拓展14已知函数y2sin x的图象与直线y2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为()A4 B8 C4 D2考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用答案C解析数形结合，如图所示y2sin x，x的图象与直线y2围成的封闭平面图形的面积相当于由x，x，y0，y2围成的矩形面积，即S24.15函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围考点正弦函数的图象题点正弦函数图象的简单应用解f(x)sin x2|sin x|图象如图所示，若使f(x)的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)