（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案 新人教B版必修2

（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案 新人教B版必修2学习目标1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积知识点直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积几何体侧面积公式表面积(全面积)直棱柱S直棱柱侧ch棱柱、棱锥、棱台的表面积侧面积底面积正棱锥S正棱锥侧ch正棱台S正棱台侧(cc)h圆柱S圆柱侧2Rh圆锥S圆锥侧Rl球S球4R2其中c，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，R表示球的半径1多面体的表面积等于各个面的面积之和()2斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长()3球的表面积等于它的大圆面积的2倍()类型一柱、锥、台的侧(表)面积命题角度1多面体的侧(表)面积例1现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积解如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，AB22264，AB8.直四棱柱的侧面积为485160.反思与感悟多面体表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键跟踪训练1已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是()A2 B. C3 D.答案A解析如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，连接OE、O1E1，作E1HO1O，由题意，得4936，EE1，在RtEHE1中，E1H2EEEH24，E1H2，O1O2，故选A.命题角度2圆柱与圆锥的侧(表)面积例2(1)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2 cm，则圆锥的表面积为_ cm2.答案3解析因为底面圆的周长为2 cm，所以底面圆的半径为1 cm，所以圆锥的底面积为 cm2，圆锥的侧面积为222(cm2)，所以圆锥的表面积为3 cm2.(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为_答案解析设圆柱的高为h，则2rhS，h.设圆锥的母线为l，l .圆锥的侧面积为rlr .反思与感悟由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长跟踪训练2轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍 B3倍 C.倍 D2倍答案D解析设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l2r，则S侧r2r2r2，2.类型二简单组合体的表面积例3牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m2)解上部分圆锥体的母线长为 m，其侧面积为S1(m2)下部分圆柱体的侧面积为S251.8(m2)搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为SS1S251.850.05(m2)反思与感悟(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有跟踪训练3有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a0)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围解两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a228.三棱柱有三种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a232；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a236；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a248.最小的是一个四棱柱，即24a22812a248，即a20，0a.a的取值范围为.类型三球的表面积例4有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.反思与感悟(1)在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解(2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解跟踪训练4已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_答案解析如图，设球O的半径为R，则由AHHB12，得HA2RR，OH.截面面积为(HM)2，HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，R2R2HM2R21，R.S球4R242.1已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B. C. D.考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积答案A解析设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l2r，S侧l242r2.S表S侧2r242r22r22r2(21)，.2若正三棱锥的斜高是高的倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的_倍答案2解析， .设底面边长为a，正三棱锥的侧面积为3ha，正三棱锥的底面积为3OMa，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为hOM2，故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍3一个高为2的圆柱，底面周长为2，则该圆柱的表面积为_答案6解析设圆柱的底面半径为r，高为h.由2r2，得r1，S圆柱表2r22rh246.4表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_答案2解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则l2r23，l2r，r1，即圆锥的底面直径为2.1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解一、选择题1圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A4S B2S CS D.S答案A解析底面半径是，所以正方形的边长是22，故圆柱的侧面积是(2)24S.2正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析侧棱长为 a，斜高为 ，S侧3aa2.3两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两球的半径之差为()A4 B3 C2 D1答案C解析由题意，得即Rr2，故选C.4正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A1 B13 C13 D19答案C解析设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，外接球的半径为，其体积比为3313.5正六棱台的上，下两底面的边长分别是1 cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为()A. cm2 B. cm2C9 cm2 D8 cm2答案A解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，下底长为2 cm，高为正六棱台的斜高又边长为1 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，边长为2 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，则梯形的高为 (cm)，所以正六棱台的侧面积为6(12)(cm2)6一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为()A15 B20C12 D15或20答案D解析以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积rl母线长以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S4520；以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S3515.故选D.7底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()A160 B80C40 D240答案A解析设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以l15252，l9252.又ll4a2，即1525292524a2，所以a8，所以S侧面积ch485160.8若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于()A3 B. C3 D.答案A解析圆台的母线长为，S圆台侧(12)3.二、填空题9若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是_答案12解析设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2rl，所以l2r，所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是r2l2r2(2r)212.10如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为_答案(2)a2解析由已知可得正方体的边长为a，新几何体的表面积为S表2aa42(2)a2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为_答案36解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1，S表222422()21236.该几何体的表面积为36.12如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_答案966解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S64242212966.三、解答题13已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积解如图所示为过正方体对角面的截面图设正方体的棱长为a，半球的半径为R，由6a2120，得a220，在RtAOB中，ABa，OBa，由勾股定理，得R2a2230.所以半球的表面积为S2R2R23R233090(cm2)四、探究与拓展14已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为_答案7解析设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧3(r3r)84，解得r7.15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱(1)试用x表示圆柱的高；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？解(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，BO1，PO3，圆柱的高为h，由图，得，即h33x(0x1)(2)S圆柱侧2hx2(33x)x6(xx2)，当x时，圆柱的侧面积取得最大值为.当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为.