（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修2

（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修2学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案周角的等于1度思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关梳理(1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案利用1 rad和1 rad进行弧度与角度的换算梳理(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017_45 rad1 rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案设扇形的半径为R，弧长为l，为其圆心角的弧度数，则：为度数为弧度数扇形的弧长llR扇形的面积SSlRR211 rad的角和1的角大小相等()提示1 rad的角和1的角大小不相等，1 rad.2用弧度来表示的角都是正角()提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关()提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可跟踪训练1(1)把下列角度化成弧度：150_；2 100_；1115_；11230_.(2)把下列弧度化成角度：_；_；_；_.考点弧度制题点角度与弧度的互化答案(1)(2)303008175类型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角(1)1 500；(2)；(3)4.考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角(2)2，与终边相同，是第四象限角(3)42(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练2(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0，720内找出与角终边相同的角考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)1 4801 480，而10，且02，.1 4802(5).(2)72，终边与角相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72；当k1时，432.在0，720内与角终边相同的角为72，432.类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120，半径为，则此扇形的面积为()A B. C. D.(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A2 B. C2sin 1 D.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案(1)A(2)D解析(1)扇形的中心角为120，半径为，所以S扇形|r2()2.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2.反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是Slr|r2，二是l|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个求解时应注意先把度化为弧度，再计算跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.1下列说法正确的是()A1弧度就是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小考点弧度制题点弧度制的定义答案D解析由弧度的定义可知D正确2把化为角度是()A270 B280 C288 D318考点弧度制题点角度与弧度的互化答案C解析288.3若5，则角的终边在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案D解析25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则5也是第一象限角4(2017浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案2解析设正方形的边长为a，EAD，由已知可得a2a2a2，2.5已知扇形AOB的圆心角为，半径长R为6，求：(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1)lR64，所以弧AB的长为4.(2)S扇形OABlR4612.如图所示，过点O作ODAB，交AB于点D，120，所以AOD60，DAO30，于是有SOABABOD26cos 3039.所以弓形的面积为S扇形OABSOAB129.所以弓形的面积是129.1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数度数3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度一、选择题1下列说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad的角是周角的C1 rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关考点弧度制题点弧度制的定义答案D解析根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2240化为弧度是()A BC D考点弧度制题点角度与弧度的互化答案A解析240240.3(2017潍坊检测)圆的半径是6 cm，则圆心角为15的扇形面积是()A. cm2 B. cm2 C cm2 D3 cm2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案B解析因为15，所以l6(cm)，所以Slr6(cm2)4设角2弧度，则所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案C解析2，2222，即22，22为第三象限角，为第三象限角5把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()A B2C D考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案A解析22(1)，.6若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为()A13 B23C43 D49考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则Rrr2r3r.S内切圆r2.S扇形R2R29r2r2.S内切圆S扇形23.7.九章算术是我国古代数学的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6 m2 B9 m2C12 m2 D15 m2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案B解析根据题设，弦24sin4(m)，矢422(m)，故弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2)二、填空题8是第_象限的角考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案三解析因为6，而是第三象限的角，所以是第三象限的角9(2017宁波期末)弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长的度量单位已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是_考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式答案1解析设扇形的弧长和半径长为l，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是1.10时针经过一小时，转过了_考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案 rad解析时针经过一小时，转过30，又30 rad.11已知弧长为 cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的直径是_ cm，这条弧所在的扇形面积是_ cm2.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案8212.是第_象限角答案三解析20.与终边相同，又是第三象限角，是第三象限角三、解答题13已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是a，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60，R10(cm)，lR (cm)S弓S扇S10210sin 10cos 50 (cm2)(2)l2Ra，la2R，从而SlR(a2R)RR2R2.当半径R时，la2，扇形面积的最大值是，这时2(rad)当扇形的圆心角为2 rad，半径为时，扇形面积最大，为.四、探究与拓展14如图，已知一个长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即21(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是2(dm2)