（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 集合 3.2 全集与补集学案 北师大版必修1

（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 集合 3.2 全集与补集学案 北师大版必修1学习目标1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题知识点一全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素(2)记法：全集通常记作U.知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为xR|x1梳理补集的概念文字语言设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作UA符号语言UAx|xU，且xA图形语言性质A(UA)U，A(UA)，U(UA)A1根据研究问题的不同，可以指定不同的全集()2存在x0U，x0A，且x0UA.()3设全集UR，A，则UA.()4设全集U，A(x，y)|x0且y0，则UA(x，y)|x0且y0).()类型一求补集例1(1)若全集UxR|2x2，AxR|2x0，则UA等于()Ax|0x2 Bx|0x2Cx|0x2 Dx|0x2考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案C解析UxR|2x2，AxR|2x0，UAx|0x2，故选C.(2)设Ux|x是小于9的正整数，A1,2,3，B3，4,5,6，求UA，UB.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集解根据题意可知，U1,2,3,4,5,6,7,8，所以UA4,5,6,7,8，UB1,2,7,8(3)设全集Ux|x是三角形，Ax|x是锐角三角形，Bx|x是钝角三角形，求AB，U(AB)考点补集的概念及运算题点无限集合的补集解根据三角形的分类可知AB，ABx|x是锐角三角形或钝角三角形，U(AB)x|x是直角三角形反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解跟踪训练1(1)设集合U1,2,3,4,5，集合A1,2，则UA_.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集答案3,4,5(2)已知集合UR，Ax|x2x20，则UA_.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案x|1x0，则UA_.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案(x，y)|xy0类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A0,2,4,6，UA1，3,1,3，UB1,0,2，用列举法写出集合B.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集解A0,2,4,6，UA1，3,1,3，U3，1,0,1,2,3,4,6而UB1,0,2，BU(UB)3,1,3,4,6反思与感悟从Venn图的角度讲，A与UA就是圈内和圈外的问题，由于(UA)A，(UA)AU，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推跟踪训练2如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合若Ax|0x2，By|y1，则A*B_.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案x|0x1或x2解析ABx|1x2，ABx|x0，由图可得A*B(AB)(AB)x|0x1或x2命题角度2补集性质在解题中的应用例3关于x的方程：x2ax10，x22xa0，x22ax20，若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题解假设三个方程均无实根，则有即解得a1，当a或a1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a的取值范围为a|a或a1反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题(2)求解反面问题对应的参数的取值范围(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集跟踪训练3若集合Ax|ax23x20中至多有一个元素，求实数a的取值范围考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题解假设集合A中含有2个元素，即ax23x20有两个不相等的实数根，则解得a且a0，则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是.在全集UR中，集合的补集是，所以满足题意的实数a的取值范围是.类型三集合的综合运算例4(1)已知全集U1,2,3,4,5,6，集合P1,3,5，Q1,2,4，则(UP)Q等于()A1 B3,5C1,2,4,6 D1,2,3,4,5考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案C解析UP2,4,6，(UP)Q1,2,4,6(2)已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，则实数a的取值范围是_考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案a|a2解析RBx|x2且A(RB)R，x|1x2A，a2.即实数a的取值范围是a|a2反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴跟踪训练4(1)已知集合UxN|1x9，AB2,6，(UA)(UB)1,3,7，A(UB)4,9，则B等于()A1,2,3,6,7 B2,5,6,8C2,4,6,9 D2,4,5,6,8,9考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案B解析根据题意可以求得U1,2,3,4,5,6,7,8,9，画出Venn图(如图所示)，可得B2,5,6,8，故选B.(2)已知集合Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB)考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解如图所示Ax|2x3，Bx|3x2，UAx|x2或3x4，UBx|x3或2x4ABx|2x2，(UA)Bx|x2或3x4，A(UB)x|2x2，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|2x1 Bx|x4Cx|x1 Dx|x1考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案C4设全集UR，则下列集合运算结果为R的是()AZ(UN) BN(UN)CU(U) DUQ考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案A5设全集UMN1,2,3,4,5，M(UN)2,4，则N等于()A1,2,3 B1,3,5C1,4,5 D2,3,4考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案B1全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集因此，全集因研究问题而异(2)补集是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念(3)UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备AU；其次是定义UAx|xU，且xA，补集是集合间的运算关系2补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A，求A.一、选择题1已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,4考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案C解析UA0,4，所以(UA)B0,2,4，故选C.2已知Ax|x10，B2，1,0,1，则(RA)B等于()A2，1 B2C1,0,1 D0,1考点并交补集的综合问题题点有限集合的并交补运算答案A解析因为集合Ax|x1，所以RAx|x1，则(RA)Bx|x12，1,0,12，13已知全集U1,2，a22a3，A1，a，UA3，则实数a等于()A0或2 B0C1或2 D2考点补集的概念及运算题点由补集运算结果求参数的值答案D解析由题意，知则a2.4图中的阴影部分表示的集合是()AA(UB) BB(UA)CU(AB) DU(AB)考点交并补集的综合问题题点用并交补运算表示Venn图指定区域答案B解析阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集因此阴影部分所表示的集合为B(UA)5已知U为全集，集合M，NU，若MNN，则()AUNUM BMUNCUMUN DUNM考点交并补集的综合问题题点与集合运算有关的子集或真子集答案C解析由MNN知NM，UMUN.6设全集UxN|x2，集合AxN|x25，则UA等于()A B2 C5 D2,5考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案B解析因为AxN|x或x，所以UAxN|2x，故UA27设U1,2,3,4，Mx|xU|x25xp0，若UM2,3，则实数p的值为()A4 B4 C6 D6考点补集的概念及运算题点与补集运算有关的参数问题答案B解析UM2,3，M1,4，1,4是方程x25xp0的两根由根与系数的关系可知p144.二、填空题8已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)_，(UA)(UB)_.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案x|0x1x|0x1解析ABx|x0或x1，U(AB)x|0x0，UBx|x1，(UA)(UB)x|0x0，y0，则点(1,1)_UA.(填“”或“”)考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案解析显然(1,1)U，且(1,1)A，(1,1)UA.10若集合Ax|0x2，Bx|x1，则图中阴影部分所表示的集合为_考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案x|x1或x2解析如图，设UABR，ABx|1211设全集U(x，y)|xR，yR，A，B(x，y)|yx1，则(UA)B_.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案(2,3)解析A(x，y)|yx1，x2，UA(x，y)|yx1(2,3)又B(x，y)|yx1，(UA)B(2,3)三、解答题12已知全集UR，集合Ax|1x2，若B(UA)R，B(UA)x|0x1或2x3，求集合B.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解Ax|1x2，UAx|x2又B(UA)R，A(UA)R，可得AB.而B(UA)x|0x1或2x3，x|0x1或2x3B.借助于数轴可得BAx|0x1或2x3x|0x313已知Ax|1x3，Bx|mx13m(1)当m1时，求AB；(2)若BRA，求实数m的取值范围考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题解(1)当m1时，Bx|1x4，又Ax|1x3，所以ABx|1x4(2)RAx|x1或x3当B时，即m13m，得m，满足BRA，当B时，使BRA成立，则或解得m3.综上可知，实数m的取值范围是.四、探究与拓展14.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A(IAB)CB(IBA)CC(AB)(IC)D(AIB)C考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案D解析由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(AIB)C.15设全集Ux|x5，且xN，其子集Ax|x25xq0，Bx|x2px120，且(UA)B1,3,4,5，求实数p，q的值考点题点解由已知得U1,2,3,4,5(1)若A，则(UA)BU，不合题意；(2)若Ax0，则x0U，且2x05，不合题意；(3)设Ax1，x2，则x1，x2U，且x1x25，A1,4或2,3若A1,4，则UA2,3,5，与(UA)B1,3,4,5矛盾，舍去；若A2,3，则UA1,4,5，由(UA)B1,3,4,5知3B，同时可知B中还有一个不等于3的元素x，由3x12得x4，即B3,4综上可知，A2,3，B3,4，q236，p(34)7.