（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2

（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2学习目标1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用知识点一平面与平面垂直的定义1条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直2结论：两个平面互相垂直3记法：平面，互相垂直，记作.知识点二平面与平面垂直的判定定理思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直梳理平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直图形语言符号语言a，a知识点三平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直梳理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，CD，BA，BACD，B为垂足BA1若l，则过l有无数个平面与垂直()2若平面平面，任取直线l，则必有l.()3已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面()类型一面面垂直的判定例1如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC平面PDB.证明设ACBDO，连接OE，ACBD，ACPD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.反思与感悟应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤跟踪训练1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.类型二面面垂直的性质定理及应用例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直(2)直线必须在其中一个平面内(3)直线必须垂直于它们的交线跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.类型三垂直关系的综合应用例3如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDMN平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.解(1)取CE的中点F，连接DF，易知DFBC，因为CE平面ABC，所以CEBC，所以CEDF.因为BDCE，所以BD平面ABC，所以BDAB.在RtEFD和RtDBA中，因为EFCEDB，DFBCAB，所以RtEFDRtDBA，所以DEDA.(2)因为EC平面ABC，所以ECBN，因为ABC为正三角形，所以BNAC.因为ECACC，所以BN平面ECA.又因为BN平面BDMN，所以平面BDMN平面ECA.(3)因为M，N分别是AE，AC的中点，所以MN綊CF綊BD，所以四边形MNBD是平行四边形，所以DMBN，由(2)知BN平面ECA，所以DM平面ECA.又因为DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.反思与感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD.由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD.再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF.而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF.由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD.1下列四个命题垂直于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两个平面相互平行；垂直于同一个平面的两个平面相互平行其中错误的命题有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立故选B.2如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.3如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC内的正投影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部答案A解析在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在面ABC内的射影H必在AB上故选A.4如图所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，则EF_.答案6解析AF平面ABCD，DE平面ABCD，AFDE.又AFDE，四边形AFED为平行四边形，故EFAD6.5如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD.证明连接AC与BD交于O点，连接OE.O为AC的中点，E为SA的中点，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.1面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：2运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直一、选择题1设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，则下列说法正确的是()A若l，则 B若，则lmC若l，则 D若，则lm答案A解析l，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确2如果直线l，m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有()A且lm B且mCm且lm D且答案A解析B错，有可能m与相交；C错，可能m与相交；D错，有可能与相交3下列命题中正确的是()A平面和分别过两条互相垂直的直线，则B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则答案C解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确4.如图，已知PA矩形ABCD所在平面，则图中互相垂直的平面有()A1对B2对C3对D5对答案D解析DAAB，DAPA，DA平面PAB.同理BC平面PAB，又AB平面PAD，DC平面PAD，平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对5如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，从而CDAB，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ABC平面ADC.6下列命题中错误的是()A如果，那么内所有直线都垂直于平面B如果，那么内一定存在直线平行于平面C如果不垂直于平面，那么内一定不存在直线垂直于平面D如果，l，那么l答案A解析若，则内必有垂直于的直线，并非内所有直线都垂直于，A错7过两点与一个已知平面垂直的平面()A有且只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在答案C解析设两点为A，B，平面为，若直线AB，则过A，B与垂直的平面有无数个；若直线AB与不垂直，即直线AB与平行、相交但不垂直或在平面内，均存在唯一平面垂直于已知平面8在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案C解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，A正确由BCPE，BCAE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正确二、填空题9.如图，A，B，C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB平面ABC时，则CD_.答案2解析如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC.又CE平面ABC可知DECE.由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.10如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长为_答案解析取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答题12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C1.求证：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.证明(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EFBC.因为EF平面ABC，BC平面ABC.所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因为A1DB1C1，CC1B1C1C1，故A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.13.如图，已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E点为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形证明(1)在ABC内取一点D，作DFAC于点F，因为平面PAC平面ABC，且交线为AC，所以DF平面PAC，又PA平面PAC，所以DFAP.作DGAB于点G，同理可证DGAP.因为DG、DF都在平面ABC内，且DGDFD，所以PA平面ABC.(2)连接BE并延长，交PC于点H.因为E是PBC的垂心，所以PCBE.又已知AE是平面PBC的垂线，所以PCAE.又BEAEE，所以PC平面ABE.因为AB平面ABE，所以PCAB.又因为PA平面ABC，AB平面ABC，所以PAAB.又PCPAP，所以AB平面PAC.又AC平面PAC，所以ABAC，即ABC是直角三角形四、探究与拓展14如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析因为PA平面MOB，所以不正确；因为MOPA，而且MO平面PAC，所以正确；OC不垂直于AC，所以不正确；因为BCAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC，所以正确15.如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由(1)证明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)证明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又E为AB的中点，EF为PAB的中位线，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.