2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 命题学案(含解析)新人教B版选修2-1

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1.1.1命题学习目标1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假知识点命题的概念1命题的概念:在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题2命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句”我们学习过的定理、推论都是命题3分类命题1一般陈述句都是命题()2命题也可以是这样的表达式:“x5”()3我们学过的“定义”、“定理”都是命题()4含有变量的语句也可能是命题()5如果一个陈述句判断为假,那么它就不是命题()题型一命题的判断例1下列语句为命题的有_(填序号)一个数不是正数就是负数;梯形是不是平面图形呢?220是一个很大的数;4是集合2,3,4中的元素;作ABCABC.答案解析是陈述句,且能判断真假;不是陈述句;不能断定真假;是陈述句,且能判断真假;不是陈述句反思感悟判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)陈述句才可能是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题(2)语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;否则就不是命题跟踪训练1判断下列语句是不是命题,并说明理由(1)是有理数;(2)3x25;(3)梯形是不是平面图形呢?(4)若xR,则x24x50;(5)一个数的算术平方根一定是负数;(6)若a与b是无理数,则ab是无理数考点命题的定义题点命题的定义解(1)“是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假,所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题(4)“若xR,则x24x50”是陈述句,并且它是真的,所以它是命题(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题(6)“若a与b是无理数,则ab是无理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题题型二命题真假的判断例2给定下列命题:若ab,则2a2b;命题“若a,b是无理数,则ab是无理数”是真命题;直线x是函数ysinx的一条对称轴;在ABC中,若0,则ABC是钝角三角形其中为真命题的是_(填序号)答案解析结合函数f(x)2x的单调性,知为真命题;函数ysinx的对称轴方程为xk,kZ,故为真命题;因为|cos(B)|cosB0,所以cosB0,从而得B为钝角,所以为真命题引申探究本例中命题改为:若0,则ABC是锐角三角形,该命题还是真命题吗?解不是真命题,0,当ab时,acbc”把该命题改写成“若p,则q”的形式解该命题的“若p,则q”的形式为已知c0,若ab,则acbc.素养评析(1)将含有大前提的命题改写成“若p,则q”的形式时,要注意其书写格式为“大前提,若p,则q”,对含有大前提的命题,在写其他三种命题时,应保持大前提不变(2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础,有利于培养学生有条理,合乎逻辑的思维素养.1下列语句为命题的是()A2x50B求证对顶角相等C0不是偶数D今天心情真好啊考点命题的定义题点命题的定义答案C解析结合命题的定义知C为命题2下列命题是真命题的为()A若ab,则B若b2ac,则a,b,c成等比数列C若|x|y,则x2b且ab0时,才能得到;选项B,令abc0,此时显然不是等比数列;选项D,若abb,则ac2bc2;矩形的对角线互相垂直其中假命题的个数是_答案4解析等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|y|0;当c0时不成立;菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直4若命题“关于x的方程ax22x10有两个不等实数解”为真命题,则实数a的取值范围为_答案(,0)(0,1)解析据题意知即得故a的取值范围为(,0)(0,1)5若命题“函数ylog2(x2mx4)的值域为R”为真命题,则实数m的取值范围为_答案(,44,)解析由题意可知,满足条件时,需方程x2mx40的判别式0,即(m)2440,解得m4或m4.1根据命题的定义,可以判断真假的陈述句是命题命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可2任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件p中一、选择题1下列语句中是命题的是()A周期函数的和是周期函数吗?Bsin451Cx22x10D指数函数的图象真漂亮!答案B2下列说法正确的是()A命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B语句“标准大气压下,100时水沸腾”不是命题C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D语句“当a4时,方程x24xa0有实根”是假命题考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D解析对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角相等”;对于B,所给语句是命题;对于C,反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明3已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为()M中的元素都不是P的元素;M中有不属于P的元素;M中有属于P的元素;M中的元素不都是P的元素A1B2C3D4答案B解析正确4下列命题是真命题的是()A若ab0,则a2b20B若ab,则acbcC若MNM,则NMD若MN,则MNM答案D解析A中,当a0,b0时,a2b20不成立;B中,c0时不成立;C中,MNM说明MN.故A,B,C均错误5已知a,b为两条不同的直线,为两个不同的平面,且a,b,则下列命题中的假命题是()A若ab,则B若,则abC若a,b相交,则,相交D若,相交,则a,b相交答案D解析D中如果,相交,a和b可以相交,也可以异面6对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2答案B解析设向量a,b的夹角为,因为ab|a|b|cos,所以|ab|a|b|cos|a|b|,A成立;由向量的运算律易知C,D成立故选B.7“若x22x80,则p”为真命题,那么p是()A2x4Bx4C2x4Dx4考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案C解析由x22x80,解得2x4,p是“2x0;垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗?一个数不是奇数就是偶数;2030年6月1日上海会下雨答案解析为疑问句,故不是命题;不是命题,因为该语句无法判断其真假10给定下列命题:若k0,则方程x22xk0有实数根;若ab0,cd0,则acbd;对角线相等的四边形是矩形;若xy0,则x,y中至少有一个为0.其中真命题的序号是_答案解析中44(k)44k0,故为真命题;由不等式的性质知,显然是真命题;如等腰梯形对角线相等,但它不是矩形,故为假命题;为真命题11若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析函数f(x)|2x2|b有两个零点等价于函数y|2x2|与yb的图象有两个不同的交点在同一坐标系中作出函数y|2x2|及yb的图象,如图由图可知b(0,2)三、解答题12把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假(1)当acbc时,ab;(2)当m时,mx2x10无实根;(3)当ab0时,a0或b0.解(1)若acbc,则ab.acbc,当c0时,a,则mx2x10无实根14m0,该命题是真命题(3)若ab0,则a0或b0.该命题是真命题13(1)已知命题“方程ax2bx10有解”是真命题,求a,b满足的条件;(2)已知命题“若x1x2”是假命题,求a满足的条件解(1)因为ax2bx10有解,所以当a0时,bx10有解,只有b0时,方程有解x.当a0时,方程为一元二次方程,有解的条件为b24a0.综上,当a0,b0或a0,b24a0时,方程ax2bx10有解(2)因为命题当x1x2为假命题,所以应有当x1x20时,即0.因为x1x20,x1x20,所以a0.14给出两个命题:命题甲:关于x的不等式x2(a1)xa20的解集为;命题乙:函数y(2a2a)x为增函数分别求出符合下列条件的实数a的取值范围:(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真命题解命题甲为真命题时,(a1)24a2或a1,即a1或a.(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时,a的取值范围是.(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题,有两种情况:甲真乙假时,a1;甲假乙真时,1aa,B:x1,请选择适当的实数a,使得由A,B构造的命题“若p,则q”为真命题解如果A,则B,即“若x,则x1”,由命题为真命题可知1,解得a4;如果B,则A,即“若x1,则x”,由命题为真命题可知1,解得a4.10
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