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综合知识讲解目录第一章绪论21.1初中数学的特点21.2怎么学习初中数学21.3如何去听课51.4几点建议6第二章应知应会知识点82.1代数篇82.2几何篇12第三章例题讲解19第四章兴趣练习384.1代数局部384.2几何局部52第五章复习提纲57第一章绪论1.1初中数学的特点1.2怎么学习初中数学1，培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好和“乐就是愿意 学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，到达乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习 中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学 兴趣呢？ 1课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。 2听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。 3思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。 4听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？ 5把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、推理时会准确。 2，建立良好的学习数学习惯。 习惯是经过重复练习而稳固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤 思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习 数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再 学习能力。 3，有意识培养自己的各方面能力 。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学 习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比方，空间想象能力是通过实例净 化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到开展。特别是，教师为了培养这些能 力，会精心设计“智力课和“智力问题比方对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终到达自己各方面能力的全面开展4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。 学好初中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动 思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比方：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常 用的有：观察与实验，联想与类比，比拟与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。 解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原那么性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难那么反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。5、逐步形成 “以我为主的学习模式 。数学不是老师教会的，而是在老师的引导下，自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于 探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动 脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实 质。学习数学一定要讲究“活，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最正确学习方法。 6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。 记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。到达：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 1.3如何去听课认真听好每一节棵。要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。 概念课 要重视教学过程，要积极体验知识产生、开展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法那么的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、开展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。 习题课 要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做和“大题小做的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大拆“小，以“退为“进，也就是把一个比拟复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的根本功还有什么题目难得倒我们。 复习课 在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有 没有到达课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思根本问题(包括根本图 形、图像等)，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些根本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措 施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡，把平时犯的错误记下来，找出“病因开出“处方，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改 正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，到达深化理解、开展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，防止以“练代“复的题海战术。1.4几点建议1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。如：我在讲课时的注解。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。到达：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 3、记忆数学规律和数学小结论。 4、与同学建立好关系，争做“小老师，形成数学学习“互助组。 5、争做数学课外题，加大自学力度。 6、反复稳固，消灭前学后忘。 7、学会总结归类。从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类。 总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。 其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化 的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反思的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我 们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。第二章应知应会知识点2.1代数篇一数与式一有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比拟7有理数的运算二实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次幂负指数次幂三)代数式15代数式代数式的值16列代数式四整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19幂的有关运算性质20乘法公式21因式分解五分式22分式的定义23分式的根本性质24分式的运算六二次根式25二次根式的意义26根式的根本性质27根式的运算二方程和不等式一一元一次方程28方程方程的解的有关定义29一元一次的定义30一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤二二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法代入法消元法加减消元法35二元一次方程组的应用三一元二次方程36一元二次方程的定义37一元二次方程的解法配方法因式分解法公式法十字相乘法38一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39一元二次方程的应用四分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法转化为整式方程检验42分式方程的增根的定义43分式方程的应用五不等式和不等式组44不等式组的有关定义45不等式的根本性质46一元一次不等式的解法47一元一次不等式组的解法48一元一次不等式组的应用三函数一位置确实定与平面直角坐标系49位置确实定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53对称问题：P(x,y)Q(x,- y关于x轴对称 P(x,y)Q(- x,y)关于y轴对称 P(x,y)Q(- x,- y)关于原点对称54变量自变量因变量函数的定义55函数自变量因变量的取值范围使式子有意义的条件图象法56函数的图象：变量的变化趋势描述二一次函数与正比例函数57一次函数的定义与正比例函数的定义58一次函数的图象：直线，画法59一次函数的性质增减性60一次函数y=kx+b(k0)中kb符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式一设二列三解四回62一次函数的平移问题63一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系图象法64一次函数的实际应用65一次函数的综合应用1一次函数与方程综合2一次函数与其它函数综合3一次函数与不等式的综合4一次函数与几何综合三反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式确实定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质增减性质70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用四个方面面积问题四二次函数72二次函数的定义73二次函数的三种表达式一般式顶点式交点式74二次函数解析式确实定待定系数法75二次函数的图象：抛物线画法五点法76二次函数的性质增减性的描述以对称轴为分界77二次函数y=ax2+bx+c(a0)中abc与特殊式子的符号与图象位置关系78求二次函数的顶点坐标对称轴最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题实际应用82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用1二次函数与方程综合2二次函数与其它函数综合3二次函数与不等式的综合4二次函数与几何综合2.2几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等14两直线平行同旁内角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个内角的和等18018直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46直角三角形两直角边ab的平方和等于斜边c的平方即a+b=c47如果三角形的三边长abc有关系a+b=c那么这个三角形是直角三角形48四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)18051任意多边的外角和等于36052平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半即S=(ab)267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半L=(a+b)S=Lh83如果a:b=c:d那么ad=bc如果ad=bc那么a:b=c:d84如果a/b=c/d那么(ab)/b=(cd)/d85如果a/b=c/d=m/n(b+d+n0)那么(a+c+m)/(b+d+n)=a/b86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例88如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似91两角对应相等两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)94三边对应成比例两三角形相似(SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切那么切点一定在连心线上135两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dR-r(Rr)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为360因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nR/180145扇形面积公式:S扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)第三章例题讲解【例】如图10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点不与B、C重合过E作直线AB的垂线，垂足为FFE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。1求证：BEFCEG2当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由3设BEx，DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？图10解析过程及每步分值1 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分 所以所以 3分2的周长之和为定值4分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH因此，的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 6分理由二：由AB5，AM4，可知 在RtBEF与RtGCE中，有：，所以，BEF的周长是， ECG的周长是又BECE10，因此的周长之和是246分3设BEx，那么所以 8分配方得： 所以，当时，y有最大值9分最大值为10分【例】如图二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点ABC且OA1OBOC31求此二次函数的解析式2写出顶点坐标和对称轴方程3点MN在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边)且MNx轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径解析过程及每步分值1依题意分别代入1分解方程组得所求解析式为4分25分顶点坐标，对称轴7分3设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为8分把点代入得9分同理可得另一种情形圆的半径为或10分【例3】两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线1求的值；2求函数的表达式；3在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由解析过程及每步分值1由得 又因为当时，即， 解得，或舍去，故的值为 2由，得， 所以函数的图象的对称轴为， 于是，有，解得， 所以 3由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为； 故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点【例4】如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.1求点A的坐标;2以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;3设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 解析过程及每步分值解：1A(-2,-4)2四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()3 由条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P那么四边形POAA的面积AAB的面积， 即 x的取值范围是【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速开展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户方案投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图所示注：利润与投资量的单位：万元1分别求出利润与关于投资量的函数关系式；2如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：1设=,由图所示，函数=的图像过1，2，所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-所示，函数=的图像过2，2，所以，故利润关于投资量的函数关系式是；2设这位专业户投入种植花卉万元，那么投入种植树木万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=+=当时，的最小值是14；因为，所以所以所以所以，即，此时当时，的最大值是32.【例5】如图， ，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C1求C点坐标及直线BC的解析式;2一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;3现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P 解析过程及每步分值解:1过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：ABOACD， 由，可知： C点坐标为 直线BC的解析是为： 化简得： 2设抛物线解析式为，由题意得： ， 解得： 解得抛物线解析式为或又的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去满足条件的抛物线解析式为准确画出函数图象3 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为如图，设与y轴交于E点，过E作EFBC于F点，在RtBEF中，可以求得直线与y轴交点坐标为同理可求得直线与y轴交点坐标为两直线解析式；根据题意列出方程组： ；解得：；满足条件的点P有四个，它们分别是，.【例6】如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.1求抛物线对应的函数表达式；2抛物线或在轴上方的局部是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由；3假设点P是抛物线上的一个动点P不与点A、B重合，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由. 解析过程及每步分值【例7】如图，在矩形中，点是边上的动点点不与点，点重合，过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠局部的面积为1求的度数；2当取何值时，点落在矩形的边上？3求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠局部的面积等于矩形面积的？DQCBPRABADC备用图1BADC备用图2解析过程及每步分值解：1如图，四边形是矩形，又，DQCBPRA图12如图1，由轴对称的性质可知，由1知，在中，根据题意得：，解这个方程得：3当点在矩形的内部或边上时，当时，当在矩形的外部时如图2，DQCBPRA图2FE在中，又，在中，当时，综上所述，与之间的函数解析式是：矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去所以综上所述，当时，与矩形重叠局部的面积等于矩形面积的第四章兴趣练习4.1代数局部1. ：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长OAOC是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线1求A、B、C三点的坐标；2求此抛物线的解析式；yxBDOAEC3假设点D是线段AB上的一个动点与点A、B不重合，过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？假设存在，求出最大值并求此时D点坐标；假设不存在，请说明理由2. ，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接1求点的坐标；2求证：；EDCAFBxOylEDCOFxy图1备用图3点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？假设存在，请求出所有符合条件的点的坐标；假设不存在，请说明理由3. 矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点与点不重合，现将沿翻折得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得直线重合1假设点落在边上，如图，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；2假设点落在矩形纸片的内部，如图，设当为何值时，取得最大值？CyEBFDAPxO图ABDFECOPxy图3在1的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？假设不存在，说明理由；假设存在，求出点的坐标4. 如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为，01求抛物线的对称轴及点A的坐标；2在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？假设存在，请写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；ODBCAE3连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两局部？假设存在，请求出直线CM的解析式；假设不存在，请说明理由5. 如图， 抛物线a0与轴交于点A1，0和点B3，0，与y轴交于点C1求抛物线的解析式；2设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由3如图，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标yCAMOBx图yCAOBx图二、动态几何6. 如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒1求边的长；2当为何值时，与相互平分；3连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？CcDcAcBcQcPc7. ：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 1，01求抛物线的解析式；2动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标3在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标yxODEABC8. ：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、1求这条抛物线的函数表达式2在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标3假设点是线段上的一个动点不与点O、点C重合过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，假设存在，请求出最大值；假设不存在，请说明理由ACxyBO9. 如图1，抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为；矩形的顶点与点重合，分别在轴、轴上，且，1求该抛物线所对应的函数关系式；2将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平行移动，同时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动设它们运动的时间为秒，直线与该抛物线的交点为如图2所示当时，判断点是否在直线上，并说明理由；设以为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值；假设不存在，请说明理由yxMBCDOA图2PNEyxMBCDO(A)图1E10. 抛物线：1求抛物线的顶点坐标2将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式3如以下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O原点、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，假设存在，求出N点的坐标；假设不存在，请说明理由54321123456789PyxO【提示：抛物线的对称轴是顶点坐标是】11. 如图，抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点点A在点B的左边，点B的横坐标是11求P点坐标及a的值；4分2如图1，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；4分3如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点点E在点F的左边，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标5分yxAOBPM图1C1C2C3yxAOBPN图2C1C4QEF12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点、抛物线过两点1直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；2动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒过点作交于点过点作于点，交抛物线于点当为何值时，线段最长？连接在点运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的值yOxAFDQGEPBC13. 如图1，正比例函数和反比例函数的图像都经过点M2，且P，2为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B 1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； 3如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值图1 图214. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动假设点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为ts，P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为Scm2，求S与t的函数关系式DEBPA CQ15. 如图，二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点1求与轴的另一个交点D的坐标；2如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 16. 如图，点坐标分别为4，0、0，8，点是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形是矩形，且设，矩形与重合局部的面积为根据上述条件，答复以下问题：1当矩形的顶点在直线上时，求的值；BCOEDAxy2当时，求的值；3直接写出与的函数关系式；不必写出解题过程4假设，那么 17. 直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动1直接写出两点的坐标；2设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；xAOQPBy3当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标18. 如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽a，中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高h我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半A2BC铅垂高水平宽h a 图1解答以下问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C1，4，交x轴于点A3，0，交y轴于点B1求抛物线和直线AB的解析式；2 求CAB的铅垂高CD及；3 设点P是抛物线在第一象限内上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB=SCAB，假设存在，图2xCOyABD11求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上某二次函数的图象经过、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点点与、不重合，过点作轴的平行线交于点1求该二次函数的解析式；2假设设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长3求面积的最大值，并求此时点的坐标xyBFOACPx=120. 如下图，菱形的边长为6厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠局部的面积为平方厘米这里规定：点和线段是面积为的三角形，解答以下问题： 1点、从出发到相遇所用时间是 秒；2点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；
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