江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考提能 五大技巧简化几何的综合问题学案

江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 解析几何 高考提能 五大技巧简化几何的综合问题学案解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性解析几何题目的难度很大程度上体现在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步因此，探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键技巧一利用定义，回归本质例1(1)已知点F为抛物线y28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且AF4，则PAPO的最小值是_答案2解析如图，可求A，再求A关于抛物线的准线x2的对称点A，因此PAPOPAPO，当O，P，A三点共线时PAPO取到最小值即minAO2.(2)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_答案解析由已知，得F1(，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a22，故a.所以双曲线C2的离心率e.跟踪演练1 (1)已知椭圆1内有两点A(1,3)，B(3,0)，P为椭圆上一点，则PAPB的最大值为_答案15解析由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点，设椭圆的左焦点为B，由椭圆的定义可知PB2aPB10PB，则PAPB10，很明显，maxAB5，据此可得PAPB的最大值为10515.(2)抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则的最小值为_答案解析设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知PFxPm，又PA2(xPm)2y(xPm)24mxP，则2(当且仅当xPm时取等号)，所以，所以的最小值为.技巧二设而不求，整体代换例2(1)已知直线l交椭圆4x25y280于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是_答案6x5y280解析由4x25y280得1，椭圆上顶点为B(0,4)，右焦点F(2,0)为BMN的重心，故线段MN的中点为C(3，2)直线l的斜率存在，设为k，点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，4(x1x2)(x1x2)5(y1y2)(y1y2)0，k.直线l的方程为y2(x3)，即6x5y280.(2)设椭圆C：1与函数ytan 的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是_答案解析由题意，得A1，A2两点关于原点对称，设A1(x1，y1)，A2(x1，y1)，P(x0，y0)，则1，1，即y(4x)，y(4x)，两式相减整理，得.因为直线PA2的斜率的取值范围是2，1，所以21，所以21，解得跟踪演练2(2018全国大联考江苏卷)已知椭圆M: 1(ab0)的离心率为，过其左焦点F(c,0)的直线交椭圆M于A，B两点，若弦AB的中点为D(4,2)，则椭圆M的方程是_答案1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式得x1x28，y1y24.将A，B的坐标分别代入M的方程中得两式相减，化简得，又因为A，B，D，F四点共线，所以，所以a2b2(c4)由解得所以椭圆M的方程为1.技巧三根与系数的关系，化繁为简例3已知椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆在y轴的右侧交于点P，Q，以PQ为直径的圆经过点F2，PQ的垂直平分线交x轴于A点，且，求直线l的方程解(1)因为椭圆C的短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以bc，因为Sa22，所以a，bc1，故椭圆的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的斜率存在，设直线l：ykxm，显然k0，由得(12k2)x24kmx2(m21)0，因为x1,2所以x1x2，x1x2，8(2k2m21)0，(*)y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2 ，y1y2kx1mkx2m k(x1x2)2m，由0，得(x11)(x21)y1y20，即x1x2(x1x2)1y1y20，得3m214km0，即k，PQ的中点为点C，所以线段PQ的中垂线AB的方程为y，令y0，可得A，由，得，将k代入上式，得，即6m417m230，解得m23，所以m，k或m，k，经检验满足(*)式，所以直线PQ的方程为2xy30或2xy30.跟踪演练3(2018连云港期末)过抛物线y24x的焦点F的直线与抛物线交于A, B两点，若2，则直线AB的斜率为_答案2解析当直线AB的斜率不存在时，不满足题意抛物线C的焦点F(1,0)，设直线AB的方程为yk(x1)，联立可得k2x22(2k2)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2，则x1x2，x1x21，y1y2k(x1x22)，(x11，y1)，(1x2，y2)，2，即联立可得，x2，y2，代入抛物线方程y24x可得k28，故 k2.技巧四平几助力，事半功倍例4(1)已知直线ykx1(k0)交抛物线x24y于E，F两点，以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2，则k_.答案1解析直线ykx1恒过定点，则EFyEyFp，圆心到x轴的距离为d，圆的半径为r，联立消去x得，y22y10，则yEyF2，所以根据垂径定理有222，代入计算得k1. (2)已知P是抛物线y24x上的动点，点Q在圆C：221上，点R是点P在y轴上的射影，则PQPR的最小值是_答案3解析根据抛物线的定义，可知PRPF1，而PQ的最小值是PC1，所以PQPR的最小值就是PFPC2的最小值，当C，P，F三点共线时，PFFC最小，最小值是CF5 ，所以PQPR的最小值是3.跟踪演练4已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且AKAF，则AFK的面积为_答案32解析双曲线1的右焦点为点(4,0)，即为抛物线y22px的焦点，所以4，即p8，所以抛物线的方程为y216x，其准线为x4，所以K(4,0)，过A作AM垂直于准线，垂足为M，则AMAF，所以AKAM，所以MAK45，所以AMMKAF，从而易知四边形AMKF为正方形，所以KFAF，所以AFK的面积为KF232.技巧五巧设参数，方便计算例5(2018无锡期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点M是椭圆C：y21上位于第一象限的点，O为坐标原点，A，B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，则四边形OAMB的面积的最大值为_答案解析S四边形OAMBSOABSAMB(2d)，其中d为点M到直线AB的距离，当M到直线AB距离最远时S四边形OAMB取得最大值，设M(2cos ，sin )，直线AB：x2y20，所以d，故S四边形OAMB的最大值为.跟踪演练5过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF3，则AOB的面积为_答案解析设AFx(0)及BFm，AF3，点A到准线l：x1的距离为3，23cos 3，cos ，m2mcos()，m，cos ，0，sin ，AOB的面积为S OFABsin 1.