（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式（一）学案 新人教A版必修2

（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式（一）学案 新人教A版必修2学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题设角的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos ，sin )知识点一诱导公式二思考角的终边与角的终边有什么关系？角的终边与单位圆的交点P1(cos()，sin()与点P(cos ，sin )呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角的终边与角的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .知识点二诱导公式三思考角的终边与角的终边有什么关系？角的终边与单位圆的交点P2(cos()，sin()与点P(cos ，sin )有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角的终边与角的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .知识点三诱导公式四思考角的终边与角的终边有什么关系？角的终边与单位圆的交点P3(cos()，sin()与点P(cos ，sin )有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角的终边与角的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四sin()sin ，cos()cos ，tan()tan .梳理公式一四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k(kZ)，的三角函数值与的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是： 2k(kZ)，的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号简记为“函数名不变，符号看象限”1诱导公式中角是任意角()提示正弦、余弦函数的诱导公式中，为任意角，但是正切函数的诱导公式中，的取值必须使公式中角的正切值有意义2sin()sin .()提示sin()sin()sin()sin .3cos .()提示cos coscos .4诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用()提示在角度制和弧度制下，公式都成立类型一利用诱导公式求值命题角度1给角求值问题例1求下列各三角函数式的值：(1)cos 210；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(1 920)考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)cos 210cos(18030)cos 30.(2)sinsinsinsinsin.(3)sinsinsinsinsin.(4)cos(1 920)cos 1 920cos(5360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化(2)“大化小”：用公式一将角化为0到360间的角(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90的角转化为锐角(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值跟踪训练1求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320；(2)cos；(3)tan(945)考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)方法一sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.方法二sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.(2)方法一coscoscoscoscos .方法二coscoscoscos.(3)tan(945)tan 945tan(2252360)tan 225tan(18045)tan 451.命题角度2给值求值或给值求角问题例2(1)已知sin()cos(2)，|，则等于()A B C. D.考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案D解析由sin()cos(2)，|，可得sin cos ，|，即tan ，|，.(2)已知cos，求cossin2的值考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解因为coscoscos，sin2sin21cos212，所以cossin2.反思与感悟(1)解决条件求值问题的策略解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角跟踪训练2(2017大同检测)已知sin ，cos()1，则sin(2)的值为()A1 B1 C. D考点诱导公式二、三、四题点诱导公式二答案D解析由cos()1，得2k(kZ)，则2()2k(kZ)，sin(2)sin(2k)sin()sin .类型二利用诱导公式化简例3化简下列各式：(1)；(2).考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)原式tan .(2)原式1.引申探究若本例(1)改为：(nZ)，请化简解当n2k时，原式tan ；当n2k1时，原式tan .反思与感悟三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数(3)注意“1”的变式应用：如1sin2cos2tan .跟踪训练3化简下列各式：(1)；(2).考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)原式1.(2)原式.1已知tan 4，则tan()等于()A4 B4 C4 D4考点公式二、三、四题点公式四答案C解析tan()tan 4.2sin 585的值为()A B. C D.考点公式二、三、四题点公式二答案A解析sin 585sin(360225)sin(18045)sin 45.3(2018牌头中学月考)利用诱导公式化简：sin(x)_，sin(x)_.考点公式二、三、四题点公式四答案sin xsin x 4已知600角的终边上有一点P(a，3)，则a的值为_考点公式二、三、四题点公式二答案解析tan 600tan(360240)tan(18060)tan 60，即a.5化简：sin(2)cos(2)考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解原式sin(2)cos(2)sin cos cos2.1明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为02之间的角求值公式二将02内的角转化为0之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角3已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为02之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”一、选择题1(2017绍兴期末)cos(x)等于()Acos x Bcos xCsin x Dsin x考点公式二、三、四题点公式二答案B解析由诱导公式得cos(x)cos x.2(2017绵阳检测)已知sin，则sin的值为()A. B C. D考点公式二、三、四题点公式四答案C解析sinsinsin.3已知sin()，且是第四象限角，则cos(2)的值是()A B. C D.考点公式二、三、四题点公式二答案B解析因为sin()，且sin()sin ，所以sin ，又因为是第四象限角，所以cos(2)cos .4(2017天津一中期末)化简sin2()cos()cos()1的值为()A1 B2sin2 C0 D2考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案D解析原式(sin )2(cos )cos 1sin2cos212.5记cos(80)k，那么tan 100等于()A. BC. D考点公式二、三、四题点公式三答案B解析cos(80)k，cos 80k，sin 80，则tan 80.tan 100tan 80.6已知n为整数，化简所得的结果是()Atan n Btan nCtan Dtan 考点公式二、三、四题点公式二答案C解析当n2k，kZ时，tan ；当n2k1，kZ时，tan .故选C.7若sin()log8，且，则cos()的值为()A. BC D以上都不对考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案B解析sin()sin 22，cos()cos .二、填空题8化简_.考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案1解析1.9.的值是_考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案 2解析原式2.10设f(x)asin(x)bcos(x)，其中a，b，为非零常数，若f(2 017)1，则f(2 018)_.考点公式二、三、四题点公式二答案1解析f(2 018)asin(2 018)bcos(2 018)asin(2 017)bcos(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)f(2 017)，又f(2 017)1，f(2 018)1.11已知atan，bcos ，csin，则a，b，c的大小关系是_考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案bac解析atantan ，bcoscos ，csinsin，bac.三、解答题12已知角的终边经过单位圆上的点P.(1)求sin 的值；(2)求的值考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)点P在单位圆上，由正弦的定义得sin .(2)原式，由余弦的定义得cos ，故原式.四、探究与拓展13已知f(x)则ff的值为_考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用答案2解析因为fsinsinsin；ff1f2sin22，所以ff2.14已知f().(1)化简f()；(2)若是第三象限角，且sin()，求f()的值；(3)若，求f()的值考点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用题点同名诱导公式(二、三、四)的综合应用解(1)f()cos .(2)sin()sin ，sin .又是第三象限角，cos .f().(3)62，fcoscos cos .