（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直学案 新人教B版必修2

（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直学案 新人教B版必修2学习目标1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题知识点一直线与平面垂直的定义及性质(1)直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直(2)直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB)和一个平面()相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB：平面的垂线；平面：直线AB的垂面；点O：垂足；线段AO：点A到平面的垂线段；线段AO的长：点A到平面的距离如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)观察折痕AD与桌面的位置关系思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直梳理直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件：一条直线与平面内的两条相交直线垂直，结论：这条直线与这个平面垂直a推论1条件：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，结论：另一条直线也垂直于这个平面m推论2条件：两条直线垂直于同一个平面，结论：这两条直线平行lm1若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()2若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.()3若ab，b，则a.()类型一直线与平面垂直的判定例1如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.证明PA平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，BC平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.证明由例1知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.反思与感悟利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线(3)根据判定定理得出结论跟踪训练1如图，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADDCBD，又因为SBSA，SDSD，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为BABC，D为AC的中点，所以BDAC.又由(1)知SD平面ABC，所以SDBD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD平面SAC.类型二线面垂直的性质的应用例2如图所示，在正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，ACBD1.同理，BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.反思与感悟平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.类型三线面垂直的综合应用例3如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MNCD.证明如图，取PD的中点E，连接AE，NE，因为N为PC的中点，则NECD，NECD，又因为AMCD，AMCD，所以AMNE，AMNE，即四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE.因为PA矩形ABCD所在平面，所以PACD，又四边形ABCD为矩形，所以ADCD，又PAADA，所以CD平面PAD，AE平面PAD，所以CDAE，所以MNCD.反思与感悟若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质跟踪训练3如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点，求证：(1)DF平面ABC；(2)AFBD.证明(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FGAE，FGAE.CD平面ABC，AE平面ABC，CDAE.又CDAE，FGCD，FGCD.FG平面ABC，四边形CDFG是矩形，DFCG.又CG平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)在RtABE中，AEAB，F为BE的中点，AFBE.ABC是正三角形，CGAB，DFAB.AE平面ABC，CG平面ABC，AECG，AEDF.且AEABA，DF平面ABE，AF平面ABE，AFDF.BEDFF，BE平面BDE，DF平面BDE，AF平面BDE，AFBD.1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A B C D答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面而图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直2空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A平行 B垂直C相交 D不确定答案B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB.3下列条件中，能使直线m平面的是()Amb，mc，b，c Bmb，bCmbA，b Dmb，b答案D解析由直线与平面垂直的判定定理的推论1知，选项D正确4.如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别是B，D，BDEF，则AC与EF的位置关系是_答案垂直解析AB，CD，ABCD，故直线AB与CD确定一个平面AB，EF，ABEF，又BDEF，ABBDB，EF平面ABDC.AC平面ABDC，ACEF.5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O.证明ABCD为正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.1直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线2对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据一、选择题1若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC答案C解析OAOB，OAOC且OBOCO，OA平面OBC.2直线a直线b，直线b平面，则a与的关系是()Aa BaCa Da或a答案D解析若a，b平面，可证得ab；若a，过a作平面，c，b平面，c，则bc，ac，于是ba.故答案为D.3已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交答案C解析如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，AOOCO，BD平面AOC，BDAC，又BD与AC异面，故选C.4.如图所示，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是平面内异于A和B的动点，且PCAC，则ABC为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定答案B解析易证AC面PBC，所以ACBC.5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点现沿AE，AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()AAG平面EFG BAH平面EFGCGF平面AEF DGH平面AEF答案A解析AGGF，AGGE，GFGEG，AG平面EFG.6已知直线PG平面于G，直线EF，且PFEF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是()APEPGPF BPGPFPECPEPFPG DPFPEPG答案C解析由于PG平面于G，PFEF，PG最短，PFPE，PGPFPE.7已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的是()A BC D答案A解析由PA，PB，PC两两垂直可得PA平面PBC；PB平面PAC；PC平面PAB，所以PABC；PBAC；PCAB，正确错误因为若ABBC，则由PA平面PBC，得PABC，又PAABA，所以BC平面PAB，又PC平面PAB，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾二、填空题8已知直线l，a，b，平面，若要得到结论l，则需要在条件a，b，la，lb中另外添加的一个条件是_答案a与b相交9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.答案90解析B1C1平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1C1B1MB1，MN平面C1B1M.又C1M平面C1B1M，MNC1M，C1MN90.10.如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数为_答案4解析BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.11如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1.(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)答案BDAC(答案不唯一)解析要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1CB1D1，可从结论A1CB1D1入手A1CB1D1，BDB1D1，A1CBD.又AA1BD，而AA1A1CA1，AA1平面A1AC，A1C平面A1AC，BD平面A1AC，BDAC.此题答案不唯一三、解答题12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点证明(1)ADD1A1为正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1，CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.(2)连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC.ON綊CD綊AB，ONAM.又MNOA，四边形AMNO为平行四边形，ONAM.ONAB，AMAB，M是AB的中点13如图所示，在ABC中，ABC为直角，P是ABC所在平面外一点，且PAPB，PBBC.若M是PC的中点，试确定AB上点N的位置，使得MNAB.解因为CBAB，CBPB，ABPBB，所以CB平面APB.过M作MECB，则ME平面APB，所以MEAB.若MNAB，因为MEMNM，则AB平面MNE，所以ABEN.取AB中点D，连接PD，因为PAPB，所以PDAB，所以NEPD.又M为PC的中点，MEBC，所以E为PB的中点因为ENPD，所以N为BD的中点，故当N为AB的四等分点(AN3BN)时，MNAB.四、探究与拓展14在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是()A. B2 C3 D4答案D解析如图所示，作PDBC于D，连接AD.PA平面ABC，PABC.又PAPDP，BC平面PAD，ADBC.在ACD中，AC5，CD3，AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，PD4.15.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中点(1)求证C1D平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1平面C1DF？并证明你的结论证明(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，又A1B1AA1A1，C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F为所求C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.AA1A1B1，四边形AA1B1B为正方形又D为A1B1的中点，DFAB1，F为BB1的中点，当点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.