（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 新人教A版必修2

（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 新人教A版必修2学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题知识点一三角函数的定义域思考正切函数ytan x为什么规定xR且xk，kZ?答案当xk，kZ时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因为无意义，因而x的正切值不存在所以对正切函数ytan x，必须要求xR且xk，kZ.梳理正弦函数ysin x的定义域是R；余弦函数ycos x的定义域是R；正切函数ytan x的定义域是.知识点二三角函数线思考1在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？答案 sin MP，cos OM，tan AT.思考2三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负梳理图示正弦线角的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线1正弦线MP也可写成PM.()提示三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒2三角函数线都只能取非负值()提示三角函数线表示的值也可取负值3当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在()4当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点()类型一三角函数线例1作出的正弦线、余弦线和正切线考点单位圆与三角函数线题点三角函数线的作法解如图所示，sinMP，cosOM，tanAT.反思与感悟(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合考点单位圆与三角函数线题点三角函数线的作法解已知角的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为.类型二利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小解如图，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tanAT.显然|MP|MP|，符号皆正，sinsin；|OM|cos；|AT|AT|，符号皆负，tan|M2P2|，且符号皆正，sin 1 155sin(1 654)类型三利用三角函数线解不等式(组)命题角度1利用三角函数线解不等式(组)例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围故满足要求的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.反思与感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间跟踪训练3已知cos ，利用单位圆中的三角函数线，确定角的取值范围考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即.命题角度2利用三角函数线求三角函数的定义域例4求函数ylg的定义域考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解由题意知，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.反思与感悟(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集跟踪训练4求函数f(x)的定义域考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解要使函数f(x)有意义，必须使2sin x10，则sin x.如图，画出单位圆，作x轴的平行直线y，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，易知这两条正弦线的长度都等于.在0,2)内，sinsin.因为sin x，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，所以函数f(x)的定义域为.1.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线为PM，正切线为ATB正弦线为MP，正切线为ATC正弦线为MP，正切线为ATD正弦线为PM，正切线为AT考点单位圆与三角函数线题点三角函数线的作法答案C2如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案A解析方法一(特值法)令，则cos ，tan ，sin ，故cos sin tan .方法二如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，则OMMPAT，即cos sin .考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解要使3tan ，即tan .由正切线知kk，kZ.所以不等式的解集为，kZ.1三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了一、选择题1函数ytan的定义域为()A. B.C. D.考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域答案C解析xk，kZ，xk，kZ.2设asin，bcos，ctan，则()Aabc BacbCbca Dbac考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案D解析，作的三角函数线，则sinMP，cosOM，tanAT，OMMPAT，bac，故选D.3如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0 BMP0OM0 DOMMP0考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案D解析0MP0.4若02，且sin ，则角的取值范围是()A. B.C. D.考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案D解析角的取值范围为图中阴影部分，即.5有三个命题：和的正弦线长度相等；和的正切线相同；和的余弦线长度相等其中正确说法的个数为()A1 B2 C3 D0考点单位圆与三角函数线题点三角函数线的作法答案C解析和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等故都正确，故选C.6点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案D解析因为3，作出单位圆如图所示设MP，OM分别为a，b.sin 3a0，cos 3b0，所以sin 3cos 30.因为|MP|OM|，即|a|b|，所以sin 3cos 3ab0.故点P(sin 3cos 3，sin 3cos 3)在第四象限7已知sin sin ，那么下列命题成立的是()A若，是第一象限角，则cos cos B若，是第二象限角，则tan tan C若，是第三象限角，则cos cos D若，是第四象限角，则tan tan 考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案D解析如图(1)，的终边分别为OP，OQ，sin MPNQsin ，此时OMON，所以cos NQ，即sin sin ，所以ACAB，即tan NQ，即sin sin ，所以OMON，即cos tan ，故选D.(1)二、填空题8函数y的定义域为_考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案(kZ)9sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是_考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线比较大小答案cos 1sin 1tan 1解析由题意1，在单位圆中作出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 1sin 1sin ，利用三角函数线得角的取值范围是_考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案(kZ)解析因为cos sin ，所以cos sinsin ，易知角的取值范围是(kZ)11函数f(x)的定义域为_考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案(kZ)解析如图所示三、解答题12已知sin ，利用单位圆中的三角函数线，确定角的范围考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解由三角函数线可知sin sin ，sin sin，且sin ，如图，画出单位圆，阴影部分即为所求故的取值集合是(kZ)四、探究与拓展13函数ylogsin x(2cos x1)的定义域为_考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式答案解析由题意可知，要使函数有意义，则需如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求所以所求函数的定义域为.14若，是关于x的一元二次方程x22(cos 1)xcos20的两实根，且|2，求的范围考点单位圆与三角函数线题点利用三角函数线解不等式解方程有两实根，4(cos 1)24cos20，cos .|2，()248.由根与系数的关系，得2(cos 1)，cos2，4(cos 1)24cos28，即cos .由得cos ，利用单位圆中的三角函数线可知2k2k，kZ或2k2k，kZ.kk，kZ.即的范围是(kZ)