2022年高考总复习文数（北师大版）讲义：第6章 第04节 数列求和 Word版含答案

2022年高考总复习文数（北师大版）讲义：第6章 第04节 数列求和 Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养数列求和xx全国卷T1712分求数列的通项公式及前n项和数学运算xx全国卷T1712分求数列的通项公式及前n项和数学运算xx全国卷T1712分求数列的通项公式及前n项和数学运算命题分析本节内容一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的前n项和公式，错位相减法、裂项相消法求和为考查重点，常与函数、方程、不等式等联系综合考查，多以解答题形式出现.A100200(129)B100100(129)C200(129)D100(129)解析：选A从第1次着地后开始，每次着地所经过的路程构成一个公比q的等比数列所以经过的路程S1002100200(129)3若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为_解析：Sn2n12n2.答案：2n1n224已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_.解析：Sn12222323n2n，所以2Sn122223324n2n1，得Sn222232nn2n1n2n1，所以Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12分组转化法求和明技法分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和提能力【典例】 (xx唐山检测)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解：(1)等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27.所以bn3n1(n1,2,3，)设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.刷好题已知数列an，bn满足a15，an2an13n1(n2，nN)，bnan3n(nN)(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)an2an13n1(nN，n2)，an3n2(an13n1)，bn2bn1(nN，n2)b1a1320，bn0(n2)，2，bn是以2为首项，2为公比的等比数列bn22n12n.(2)(1)知anbn3n2n3n，Sn(2222n)(3323n)2n1.错位相减法求和明技法错位相减法求和策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解提能力【典例】 (xx太原模拟)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN，求数列cn的前n项和解：(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意知q0.由已知，有消去d，整理得q42q280，解得q24.又因为q0，所以q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN；数列bn的通项公式为bn2n1，nN.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1 (2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN.母题变式 若cn，如何求解？解：an2n1，nN，bn2n1，nN.cn.设数列cn的前n项和为Sn，则Snc1c2c3cnSn上述两式相减，得Sn12()12(1)33.Sn6，nN.刷好题(xx漳州质检)已知数列an中，a13，a25，且an1是等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnnan，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)an1是等比数列且a112，a214，2，an122n12n，an2n1.(2)bnnann2nn，故Tnb1b2b3bn(2222323n2n)(123n)令T2222323n2n，则2T22223324n2n1，两式相减，得T222232nn2n1n2n1，T2(12n)n2n12(n1)2n1.123n，Tn(n1)2n1.裂项相消法求和析考情裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中低档提能力命题点1：an型裂项求和【典例1】 数列an的前n项和为Sn2n12，数列bn是首项为a1，公差为d(d0)的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若cn(nN)，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1S12112221，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n.则b1a12.由b1，b3，b9成等比数列，得(22d)22(28d)，解得d0(舍去)或d2，所以数列bn的通项公式为bn2n.(2)由(1)得cn，所以数列cn的前n项和Tn11. 命题点2：形如an的数列求和【典例2】 (xx潍坊模拟)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a12也满足上式，综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，故bn.Tn.悟技法利用裂项相消法求和的注意事项(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项刷好题1(xx福州质检)已知函数f(x)xa的图像过点(4,2)，令an，nN.记数列an的前n项和为Sn，则S2 016()A1B1C1D1解析：选C由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 016a1a2a3a2 016()()()()()1.2(xx沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)设等比数列an的公比为q，由a4a1q3得q2，故ana1qn12n1，nN.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1，nN.