（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第1课时 平行直线学案 新人教B版必修2

（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 第1课时 平行直线学案 新人教B版必修2学习目标1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理知识点一基本性质41文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性2符号表达：ac.知识点二等角定理思考观察图，在长方体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180.梳理等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等知识点三空间四边形顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线空间四边形用表示顶点的四个字母表示1若ABAB，ACAC，则BACBAC.()2没有公共点的两条直线是异面直线()3若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()类型一基本性质4的应用例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形解在PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EFAB，EFAB，同理GHDC，GHDC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，ABCD.所以EFGH，EFGH.所以四边形EFGH是平行四边形反思与感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行跟踪训练1如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.E是AA1的中点，EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，EQ綊B1C1(基本性质4)四边形EQC1B1为平行四边形，B1E綊C1Q.又Q，F是DD1，C1C的中点，QD綊C1F.四边形QDFC1为平行四边形C1Q綊DF，B1E綊DF.四边形B1EDF为平行四边形类型二等角定理的应用例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)BMCB1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，A1M1綊AM，四边形AMM1A1是平行四边形，A1A綊M1M.又A1A綊B1B，M1M綊B1B，四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论(2)利用三角形相似(3)利用三角形全等本例是通过第一种途径来实现的跟踪训练2已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.证明(1)如图，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质，得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1，又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，DNMD1A1C1.类型三空间四边形的认识例3如图，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且，求证：(1)当时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当时，四边形EFGH是梯形证明(1)，EHBD，.同理，GFBD，.又，EHGF，EH綊GF.四边形EFGH是平行四边形(2)由(1)知EHGF，又，EHGF.四边形EFGH是梯形反思与感悟因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”，不包含平面四边形，说明“A，B，C，D四点必不共面”，不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的跟踪训练3已知空间四边形ABCD中，ABAC，BDBC，AE是ABC的边BC上的高，DF是BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系解由已知，得E，F不重合设BCD所在平面为，则DF，A，E，EDF，所以AE与DF异面1直线ab，直线b与c相交，则直线a，c一定不存在的位置关系是()A相交 B平行 C异面 D无法判断答案B解析如图，a与c相交或异面2下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4答案B解析均为假命题可举反例，如a、b、c三线两两垂直如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交3下列结论正确的是()A若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C空间四边形的两条对角线可以相交D空间四边形的两条对角线不相交答案D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4下面三个命题，其中正确的个数是()三条相互平行的直线必共面；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形A1 B2 C3 D0答案D解析空间中三条平行线不一定共面，故错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故、都错，故选D.5两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A全等 B不相似C仅有一个角相等 D相似答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具3注意：等角定理的逆命题不成立一、选择题1已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D以上结论都不对答案B解析由等角定理可知PQR与ABC相等或互补，故答案为B.2分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行 B一定相交C一定异面 D相交或异面答案D3若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行答案D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是()A相交 B异面C平行 D垂直答案C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点由三角形的中位线定理知，EFAC，GHAC，所以EFGH，故选C.5正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是()A正方形 B菱形C矩形 D空间四边形答案B解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形6.已知在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图)，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()Al与AD平行Bl与AD不平行Cl与AC平行Dl与BD垂直答案A解析假设lAD，则由ADBCB1C1知，lB1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行7长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A6条 B8条 C10条 D12条答案B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条8异面直线a，b，有a，b且c，则直线c与a，b的关系是()Ac与a，b都相交Bc与a，b都不相交Cc至多与a，b中的一条相交Dc至少与a，b中的一条相交答案D解析若c与a，b都不相交，c与a在内，ac.又c与b都在内，bc.由基本性质4，可知ab，与已知条件矛盾如图，只有以下三种情况二、填空题9空间两个角、，且与的两边对应平行且60，则_.答案60或12010在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面11a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行则上述说法中正确的为_(仅填序号)答案解析由基本性质4知正确若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，错误；若平面l，a，b，al，bl，则ab，错误三、解答题12.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由解如图所示，在面A1C1内过点P作直线EFB1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求理由：因为EFB1C1，BCB1C1，所以EFBC.13.如图所示，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且.(1)证明：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值(1)证明AA与BB相交于O点，且，ABAB.同理ACAC，BCBC.(2)解ABAB，ACAC且AB和AB，AC和AC的方向相反，BACBAC.同理ABCABC，因此ABCABC，又.2.四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()AMN(ACBD)BMN(ACBD)CMN(ACBD)DMNMN，所以MN(ACBD)15.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面