（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论学案 新人教B版必修2

（鲁京辽）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论学案 新人教B版必修2学习目标1.理解平面的基本性质与推论，能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题.2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.3.理解异面直线的概念知识点一平面的基本性质与推论思考1直线l与平面有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面思考3观察正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理(1)平面的基本性质平面内容作用图形基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(即直线在平面内或平面经过直线)判断直线是否在平面内的依据基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即不共线的三点确定一个平面)确定平面及两个平面重合的依据基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线判断两平面相交，线共点，点共线的依据(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面知识点二点、直线、平面之间的关系及表示思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线、平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“”表示梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及表示文字语言符号语言图形语言A在l上AlA在l外AlA在内AA在外Al在内ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll知识点三共面与异面直线思考如图，直线AB与平面相交于点B，点A在外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？答案不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点A就在内，这与点A在外矛盾由图知，直线l与直线AB没有公共点，所以它们不相交，直线l与直线AB不可能平行，否则它们就会同在平面内，所以直线l与直线AB既不相交也不平行梳理共面与异面直线(1)共面概念：空间中的几个点或几条直线，都在同一平面内特征：共面的直线相交或者平行(2)异面直线概念：既不平行又不相交的直线判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线1分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线()2两直线若不是异面直线，则必相交或平行()类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系解在(1)中，l，aA，aB.在(2)中，l，a，b，alP，blP.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.解(1)点A在平面内，点B不在平面内，如图.(2)直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上，如图.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图.类型二平面的基本性质的应用命题角度1点、线共面问题例2如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.解因为PQa，所以PQ与a确定一个平面.所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P.又因为a，所以与重合，所以PQ.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内解已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c和l共面证明：如图，ab，a与b确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blB，由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练2已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内证明方法一(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内方法二(辅助平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内命题角度2点共线与线共点问题例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点证明如图，连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F，D1，C四点共面，D1F与CE相交，设交点为P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据基本性质3，可得PDA，即CE，D1F，DA相交于一点反思与感悟(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由基本性质3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线方法二APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线类型三异面直线的判定例4如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明解将展开图还原为正方体(如图)NC与DE，NC与AF，NC与BM，DE与AF，DE与BM，AF与BM，都是异面直线，共有6对以NC与AF是异面直线为例证明如下：方法一连接BE，若NCAF，则由NCBE，可知AFBE，这与AF与BE相交矛盾故NC与AF不平行若NC与AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有公共点，这与正方体的性质矛盾故NC与AF不相交所以NC与AF异面方法二连接BE，如图，因为直线NC平面BCNE，直线AF平面BCNEO.O直线NC，所以NC与AF异面反思与感悟判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交 (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图)跟踪训练4分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A异面 B平行C相交 D以上都有可能答案D解析如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面1若A平面，B平面，C直线AB，则()AC BCCAB DABC答案A解析因为A平面，B平面，所以AB.又因为C直线AB，所以C.2平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3 B4 C5 D6答案C解析如图，用列举法知符合要求的棱为：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故选C.3.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，与AA1异面的是()AAB BBB1CDD1 DB1C1答案D解析由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.4线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是_答案直线AB解析由基本性质1知直线AB在平面内5.如图，已知D，E分别是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_答案P直线DE解析因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.1解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想3异面直线是既不平行也不相交的直线一、选择题1下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()答案D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示，并画出两平面的交线2空间中，可以确定一个平面的条件是()A三个点 B四个点C三角形 D四边形答案C解析由平面的基本性质及推论得：在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误故选C.3如果A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，可以表示为()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DAa，a，B答案B解析A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，表示为：Aa，a，B，故选B.4空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线答案B解析A，B，C，D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错误；如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，故B正确；当任意三点不共线时，也满足条件，故C错误；当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，故D错误，故选B.5有下列说法：梯形的四个顶点在同一个平面内；三条平行直线必共面；有三个公共点的两个平面必重合其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图形，故正确；三条平行直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合，若三个公共点共线，两平面有可能相交，故错误，故选B.6三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为()A1 B2 C3 D无数答案C解析在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示PA，PB，PC相交于一点P，则PA，PB，PC不共面，则PA、PB确定一个平面PAB，PB，PC确定一个平面PBC，PA，PC确定一个平面PAC.故选C.7.如图所示，平面l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据基本性质3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上8长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A2对 B3对 C6对 D12对答案C解析如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的棱是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以组成6对异面直线二、填空题9如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_(填序号)答案解析根据异面直线的定义可得10三条平行直线最多能确定的平面的个数为_答案3解析当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面综上，最多可确定3个平面11设平面与平面相交于l，直线a，直线b，abM，则M_l.答案解析因为abM，a，b，所以M，M.又因为l，所以Ml.12已知A，B，若Al，Bl，那么直线l与平面有_个公共点答案1解析若直线l与平面有两个公共点，则l，那么B，这与B矛盾，lA.三、解答题13.已知：Al，Bl，Cl，Dl，如图所示求证：直线AD，BD，CD共面证明因为Dl，所以l与D可以确定平面，因为Al，所以A，又D，所以AD.同理，BD，CD，所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面四、探究与拓展14在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形答案C解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形故选C.15在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1、D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设lA1B1P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离解(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点连接QN，则直线QN就是两平面的交线l.(2)M是AA1的中点，MA1DD1，A1是QD1的中点又A1PD1N，A1PD1N.N是D1C1的中点，A1PD1C1，PB1A1B1A1Pa.(3)过点D1作D1HPN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离QD12A1D12a，D1N，D1H a.即点D1到l的距离是a.