（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题四 三角函数的图象与性质讲义 理（普通生含解析）

（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题四 三角函数的图象与性质讲义 理（普通生，含解析）全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018三角函数的最值及导数T16三角函数单调性的应用T10三角函数的零点问题T152017三角函数的图象变换T9三角函数的最值T14余弦函数的图象与性质T62016三角函数的图象变换与对称性T7三角函数的图象变换T14(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第612或1416题位置上 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 大稳定1.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角，的终边分别与单位圆交于点和，则sin()()AB.C D.解析：选D因为角，的终边分别与单位圆交于点和，所以sin ，cos ，sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .2.若tan ，则sin4cos4的值为()A BC. D.解析：选Btan ，sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2.3.设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x0，当26n49时，an0；当76n99时，an0.2.某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为()A. BC. D0解析：选A由已知程序框图可知，该程序的功能是计算Ssin sin sin sin的值因为sin ，sin sinsin ，sin sin 0，sin sinsin ，sin sinsin ，sin sin 20，而sin sinsin ，sin sinsin ，sin sin(2)sin ，所以函数值呈周期性变化，周期为6，且sin sin sin sin sin sin 0.而2 01763361，所以输出的S3360sin .故选A.3.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6 m2 B9 m2C12 m2 D15 m2解析：选B如图，由题意可得AOB，OA4，在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO42，于是矢422.由ADAOsin 42，可得弦长AB2AD224.所以弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2)故选B. 题型一由“图”定“式”例1(1)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,00，0,0)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f，则函数f(x)在上的最小值为()A.BC D解析(1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，所以函数的最大值为2，即A2.由图象可得，x，x为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T24，故4，解得.所以f(x)2sin.把点代入可得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)又0，所以.所以f(x)2sin，故选B.(2)由题意得，函数f(x)的最小正周期T4，解得2.因为点在函数f(x)的图象上，所以Asin0，解得k，kZ，由00，0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则MAB，mAB，解得B，A.(2)T定：由周期的求解公式T，可得.(3)点坐标定：一般运用代入法求解值，注意在确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”题型二三角函数的图象变换例2(1)(2019届高三湘东五校联考)将函数f(x)sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是()Ax BxCx Dx(2)(2018郑州第一次质量测试)若将函数f(x)3sin(2x)(0)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若函数g(x)是奇函数，则函数g(x)的单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析(1)依题意知，将函数f(x)sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数g(x)sin的图象令xk，kZ，得x2k，kZ，当k0时，所得函数图象的一条对称轴的方程为x，故选D.(2)由题意知g(x)3sin3sin，因为g(x)是奇函数，所以k(kZ)，即k(kZ)，又00，左移；0，上移；k0，下移伸缩变换由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍 增分考点讲练冲关典例(1)(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4(2)设函数f(x)cos(x)(0，所以00)的单调区间时，令xz，得yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小 正周期为.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期多练强化1若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是()A1 BC D解析：选Bf(x)2sin，又图象关于中心对称，所以2k(kZ)，所以k(kZ)，又0，所以，所以f(x)2sin 2x，因为x，所以2x，f(x)，2，所以f(x)的最小值是.2(2018济南模拟)已知函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且ff(x)，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递增Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递减解析：选D因为f(x)sin(x)cos(x)2sin的最小正周期为，所以，所以2.因为ff(x)，所以直线x是f(x)图象的一条对称轴，所以2k，kZ，所以k，kZ，因为|0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数yg(x)的图象，若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值解(1)f(x)2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin.由最小正周期为，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图象，所以g(x)2sin 2x1.令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有两个零点，若yg(x)在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可所以b的最小值为4.解题方略解决三角函数图象与性质综合问题的思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B(一角一函数)的形式；(2)把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题多练强化(2017山东高考)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解：(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.因为f0，所以k，kZ.故6k2，kZ.又00，|的图象如图所示，为了得到g(x)cos的图象，则只需将f(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析根据函数f(x)sin(x)的部分图象知，T，即，解得2.根据“五点作图法”并结合|0，的部分图象如图所示，则的值为()A B.C D.解析：选B由题意，得，所以T，由T，得2，由图可知A1，所以f(x)sin(2x)又fsin0，所以.3(2019届高三西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D.解析：选A因为0，所以0)在区间上单调递增，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：选B法一：因为x，所以x，因为函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，所以即又0，所以0，选B.法二：取1，fsinsin 0，fsinsin 1，fsinsin ，不满足题意，排除A、C、D，选B.二、填空题7(2018惠州调研)已知tan ，且，则cos_.解析：法一：cossin ，由知为第三象限角，联立得5sin21，故sin .法二：cossin ，由知为第三象限角，由tan ，可知点(2，1)为终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin .答案：8已知函数f(x)sin(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为_解析：由题意得，所以T，所以2，将点P代入f(x)sin(2x)，得sin1，所以2k(kZ)又|0，0)的最小值为1，其图象相邻两个最高点之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值解：(1)函数f(x)的最小值为1，A11，即A2.函数f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为，函数f(x)的最小正周期T，2，故函数f(x)的解析式为f(x)2sin1.(2)f2sin12，sin.0，0)，函数f(x)mn，直线xx1，xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间解：(1)因为向量m(2sin x，sin x)，n(cos x，2sin x)(0)，所以函数f(x)mn2sin xcos xsin x(2sin x)sin 2x2sin2x sin 2xcos 2x2sin.因为直线xx1，xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为2，即，得1.(2)由(1)知，f(x)2sin，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)2.已知函数f(x)sin 2xcos4xsin4x1(01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间，上的图象解：(1)f(x)sin 2x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)1sin 2xcos 2x12sin1.点是函数f(x)图象的一个对称中心，k，kZ，3k，kZ.01，k0，f(x)2sin1.由xk，kZ，得xk，kZ，令k0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x.(2)由(1)知，f(x)2sin1，当x，时，列表如下：x0xf(x)011310则函数f(x)在区间，上的图象如图所示3(2018山东师大附中模拟)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)说明函数yf(x)的图象可由函数ysin 2xcos 2x的图象经过怎样的平移变换得到；(3)若方程f(x)m在上有两个不相等的实数根，求m的取值范围解：(1)由题图可知，A2，T4，2，f(x)2sin(2x)，f0，sin0，k，kZ，即k，kZ.|，f(x)2sin.(2)ysin 2xcos 2x2sin2sin，故将函数ysin 2xcos 2x的图象向左平移个单位长度就得到函数yf(x)的图象(3)当x0时，2x，故2f(x)，若方程f(x)m在上有两个不相等的实数根，则曲线yf(x)与直线ym在上有2个交点，结合图形，易知2m.故m的取值范围为(2，4已知函数f(x)sin(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x时取得最大值1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x时，若方程f(x)a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围解：(1)由题意，T2，故2，所以sinsin1，所以2k，kZ，所以2k，kZ.因为0，所以，所以f(x)sin.(2)画出该函数的图象如图，当a1时，方程f(x)a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线x对称，所以x1x2，x3，所以x1x2x3，故x1x2x3的取值范围为.