2022年高考数学二轮复习 限时训练6 导数的应用 理

2022年高考数学二轮复习 限时训练6 导数的应用 理1已知函数f(x)ax(1a)ln x.(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)若a0，讨论函数f(x)的单调性解：(1)当a2时，f(x)2xln x，f(x)2，又f(1)0，f(1)3，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y3.(2)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；若a0，f(x)0，解得x11，x2，当1a0时，f(x)在(0,1)和上单调递减，在上单调递增；当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；当a1时，f(x)在和(1，)上单调递减，在上单调递增2已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围；解：(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0得x2，x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，ln 310，f(1)f(3)，x1时f(x)的最大值为，x2时函数取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2，解得aa2成立，求实数m的取值范围解：(1)由已知，得f(x)2ax(x0)当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在上是增函数；若x，则f(x)0，故f(x)在上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等价于maa2f(x)max.因为a(4，2)，所以2a，即ma2.因为a(4，2)，所以2a20时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.