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专题三 解析几何江苏卷5年考情分析小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时考查直线与圆(如2016年)，经常与向量结合在一起命题偶考点直线的方程、圆的方程第一讲 | 小题考法解析几何中的基本问题考点(一) 直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.题组练透1(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_解析：由题意可设P(x00)，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x0，即x0时取等号故所求最小值是4.法二：设P(x00)，由yx得y1，则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令11，结合x00得x0， P(，3)，曲线yx(x0)上的点P到直线xy0的最短距离即为此时点P到直线xy0的距离，故dmin4.答案：42(2019苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x2y10上的圆的标准方程为_解析：法一：根据圆经过点A(1，3)，B(4，6)，知圆心在线段AB的垂直平分线上，由点A(1，3)，B(4，6)，知线段AB的垂直平分线方程为xy70，则由得即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r，故圆的标准方程为(x5)2(y2)217.法二：因为圆心在直线x2y10上，所以圆心坐标可设为(2a1，a)，又圆经过点A(1，3)，B(4，6)，所以圆的半径 r，解得a2，所以r，故圆的标准方程为(x5)2(y2)217.法三：设圆心的坐标为(a，b)，半径为r(r0)，因为圆心在直线x2y10上，且圆经过点A(1，3)，B(4，6)，所以得a5，b2，r，故圆的标准方程为(x5)2(y2)217.答案：(x5)2(y2)2173(2019扬州期末)若直线l1：x2y40与l2：mx4y30平行，则两平行直线l1，l2间的距离为_解析：法一：若直线l1：x2y40与l2：mx4y30平行，则有，求得m2，故两平行直线l1，l2间的距离为.法二：若直线l1：x2y40与l2：mx4y30平行，则有，求得m2，所以直线l2：2x4y30，在l1：x2y40上取一点(0，2)，则两平行直线l1，l2间的距离就是点(0，2)到直线l2的距离，即.答案：方法技巧1求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.典例感悟典例(1)(2018无锡期末)过圆O：x2y216内一点P(2，3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，则四边形ACBD的面积为_(2)(2018南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2y24引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为_解析(1)设O到AB的距离为d1，O到CD的距离为d2，则由垂径定理可得dr2，dr2，由于ABCD，故d1d2，且d1d2OP，所以r2d16，得AB，从而四边形ACBD的面积为SABCD19.(2)法一(几何法)：因为A(4，0)，B(0，4)，所以直线AB的方程为yx4，所以可设P(a，a4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程为x1xy1y4，PD的方程为x2xy2y4，将P(a，a4)分别代入PC，PD的方程，得则直线CD的方程为ax(a4)y4，即a(xy)44y，所以所以直线CD过定点N(1，1)，又因为OMCD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)又因为以ON为直径的圆的方程为，因为A在该圆外，所以AM的最大值为3.法二(参数法)：同法一可知直线CD的方程为ax(a4)y4，即a(xy)44y，得a.又因为O，P，M三点共线，所以ay(a4)x0，得a.因为a，所以点M的轨迹方程为(除去原点)，因为A在该圆外，所以AM的最大值为 3. 答案(1)19(2)3方法技巧解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系演练冲关1(2019南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆C：(x4)2y24.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是_解析：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为yk(xm)(k0)，圆心O，C到直线l的距离分别为d1，d2，则由直线l与圆O相交得d11，得m21.由直线l被两圆截得的弦长相等得，则dd3，即3，化简得m，则m(m21)，即3m28m160，所以4m.答案：2(2019南京盐城一模)设M(x，y)|3x4y7，点PM，过点P引圆(x1)2y2r2(r0)的两条切线PA，PB(A，B均为切点)，若APB的最大值为，则r的值为_解析：由题意知点P位于直线3x4y70上或其上方，记圆(x1)2y2r2(r0)的圆心为C，则C(1，0)，C到直线3x4y70的距离d2，连接PC，则PC2.设APB，则sin，因为max，所以，所以r1.答案：13(2019苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2y22mx(4m6)y40(mR)与以C2(2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足xxyy，则实数m的值为_解析：由题意得C1(m，2m3)，C2(2，3)由xxyy，得xyxy，即OAOB，所以OAB为等腰三角形，所以线段AB的垂直平分线经过原点O，又相交两圆的圆心连线垂直平分公共弦AB，所以两圆的圆心连线C1C2过原点O，所以OC1OC2，所以3m2(2m3), 解得m6.答案：64(2019常州期末)过原点O的直线l与圆x2y21交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为_解析：易知A(1，0)因为PQ是圆O的直径，所以APAQ.以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，则ANNQ，所以kAN，又直线AN与直线AP的斜率之积等于1，所以kANkAP1，所以kAPkPO，所以OAPAOP，所以点P为OA的垂直平分线与圆O的交点，则P，所以直线l的方程为yx.答案：yx5(2018南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x4)2(ya)216上的两个动点，且AB2.若直线l：y2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a的值为_解析：法一：设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB2，得CM，即点M的轨迹为(x04)2(y0a)25.又因为，所以，即(x0x，y0y)，从而则动点P的轨迹方程为(x2)25，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则，解得a2或a18.法二：由题意，圆心C到直线AB的距离d，则AB中点M的轨迹方程为(x4)2(ya)25.由，得2，所以.如图，连结CM并延长交l于点N，则CN2CM2.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN2，所以点C到直线l的距离为2，解得a2或a18.答案：2或18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主. 题组练透1(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线x21(b0)经过点(3，4)，所以91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，其渐近线方程为yx.答案：yx2(2019苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3，1)，则该双曲线的离心率为_解析：由题意，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由双曲线的一条渐近线过点(3，1)，得，可得9a2b2c2a2，得10a2c2，所以可得该双曲线的离心率e.答案：3(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线x与两条渐近线yx的交点坐标为.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(2，0)，F2(2，0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|PQ|42.答案：24.(2019南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)的准线为l，直线l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，AB，则p的值为_解析：抛物线y22px(p0)的准线为直线，l：x，不妨令A点在第二象限，则直线l与双曲线y21的两条渐近线yx分别交于点A，B，则AB，p2.答案：2方法技巧应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围 (一) 主干知识要记牢1直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.2直线与圆相交(1)几何法由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长AB2.(2)代数法设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1x2和x1x2，则MN.3判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r(Rr)的关系来判断两圆位置关系(1)外离：O1O2Rr；(2)外切：O1O2Rr；(3)相交：RrO1O2Rr；(4)内切：O1O2Rr；(5)内含：0O1O20，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系(二) 二级结论要用好1过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.2.过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B(求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC；(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；(3)cossin；(4)直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P(x0，y0)时，直线AB的方程为x0xy0yr2.3椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是1(ab0)，焦点F1(c，0)，F2(c，0)，点P的坐标是(x0，y0)(1)三角形的三个边长是PF1aex0，PF2aex0，F1F22c，e为椭圆的离心率(2)如果PF1F2中F1PF2，则这个三角形的面积SPF1F2c|y0|b2tan .(3)椭圆的离心率e.4双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线1(a0，b0)上的点，PF1F2为焦点三角形(1)面积公式Sc|y0|r1r2sin (其中PF1r1，PF2r2，F1PF2)(2)焦半径若P在右支上，PF1ex0aPF2ex0a；若P在左支上，PF1ex0a，PF2ex0a.5抛物线y22px(p0)焦点弦AB的3个结论(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)ABxAxBp. A组抓牢中档小题1若直线l1：mxy80与l2：4x(m5)y2m0垂直，则m_解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293(2019无锡期末)以双曲线1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是_解析：由题可设抛物线的方程为y22px(p0)，双曲线中，c3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以3，p6，所以抛物线的标准方程为y212x.答案：y212x4已知直线l过点P(1，2)且与圆C：x2y22相交于A，B两点，ABC的面积为1，则直线l的方程为_解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为yk(x1)2，即kxyk20.因为SABCCACBsinACB1，所以sinACB1，所以sinACB1，即ACB90，所以圆心C到直线AB的距离为1，所以1，解得k，所以直线方程为3x4y50；当直线斜率不存在时，直线方程为x1，经检验符合题意综上所述，直线l的方程为3x4y50或x1.答案：3x4y50或x15已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A的横坐标的取值范围为_解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当BAC60时，|MA|4.设A(x，6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得x1或x5，因此点A的横坐标的取值范围为1，5答案：1，56(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x2)2(y2)21上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kxy30上，则实数k的最小值为_解析：圆(x2)2(y2)21关于x轴的对称圆的方程为(x2)2(y2)21，由题意得，圆心(2，2)到直线kxy30的距离d1，解得k0，所以实数k的最小值为.答案：7(2019南京四校联考)已知圆O：x2y21，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：yx4(mxn，mn)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足APB60，则nm的最小值为_解析：设M(a，a4)(man)，则圆M的方程为(xa)2(ya4)21.连接MP，MB，则MB1，PBMB.因为APB 60，所以MPB30，所以MP2MB2，所以点P在以M为圆心，2为半径的圆上，连接OM，又点P在圆O上，所以点P为圆x2y21与圆(xa)2(ya4)24的公共点，所以21OM21，即13，得解得2a2.所以n2，m2，所以nm.答案：8(2019南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(5，0)若圆M：(x4)2(ym)24上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为_解析：设点P(x0，y0)，则直线PA的方程为y(x1), 在y轴上的截距为，同理可得直线PB在y轴上的截距为，由直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，得5，化简，得(x02)2y9(y00)，所以点P的轨迹是以C(2，0)为圆心，3为半径的圆(点A(1，0)，B(5，0)除外)，由题意知点P的轨迹与圆M恰有一个公共点，若A，B均不在圆M上，因此圆心距等于半径之和或差，则5，解得m；或1，无解若A或B在圆M上，易得m，经检验成立所以m的值为或.答案：或9(2018扬州期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2y26y50没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_解析：由圆x2y26y50，得圆的标准方程为x2(y3)24，所以圆心C(0，3)，半径r2.因为双曲线1(a0，b0)的渐近线bxay0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即2，即3a2c，即e1，故双曲线离心率的取值范围是.答案：10在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2(y3)22，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是_解析：设PCA，所以PQ2sin .又cos ，AC3，)，所以cos ，所以cos2，sin21cos2，因为，所以sin ，所以PQ.答案：11(2019南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知MN是C：(x1)2(y2)22的一条弦，且CMCN，P是MN的中点当弦MN在圆C上运动时，直线l：x3y50上存在两点A，B，使得APB恒成立，则线段AB长度的最小值是_解析：因为MN是C：(x1)2(y2)22的一条弦，且CMCN，P是MN的中点，所以PCr1，点P的轨迹方程为(x1)2(y2)21.圆心C到直线l：x3y50的距离为.因为直线l上存在两点A，B，使得APB恒成立，所以ABmin22.答案：2212(2018苏锡常镇调研)已知直线l：xy20与x轴交于点A，点P在直线l上圆C：(x2)2y22上有且仅有一个点B满足ABBP，则点P的横坐标的取值集合为_解析：法一：由ABBP，得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切由题意得A(2，0)，C(2，0)若圆D与圆C外切，则DCDA；若圆D与圆C内切，则DADC.所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线1上，即14x22y27.又点D在直线l上，由得12x28x150，解得xD或xD.所以xP2xDxA2xD25或xP.法二：由题意可得A(2，0)，设P(a，a2)，则AP的中点M，AP，故以AP为直径的圆M的方程为.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故 ，解得a或a5.故点P的横坐标的取值集合为.答案：13已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于A，B两点若FAB的周长最大时，FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为_解析：设直线xm与x轴交于点H，椭圆的右焦点为F1，由椭圆的对称性可知FAB的周长为2(FAAH)2(2aF1AAH)，因为F1AAH，故当F1AAH时，FAB的周长最大，此时直线AB经过右焦点，从而点A，B坐标分别为，所以FAB的面积为2c，由条件得2cab，即b2c22bc，bc，从而椭圆的离心率为e.答案：14已知A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，则|的取值范围为_解析：因为A，B是圆C1：x2y21上的动点，AB，所以线段AB的中点H在圆O：x2y2上，且|2|.因为点P是圆C2：(x3)2(y4)21上的动点，所以5|5，即|，所以72|13，从而|的取值范围是7，13答案：7，13B组力争难度小题1(2019苏锡常镇四市一模)若直线l：axy4a0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2y21上存在点C，使得ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为_解析：法一：根据题意得，圆O：x2y21上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离不大于2，即2，解得a，于是a的取值范围是.法二：因为ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以AB为直径的圆上，记圆心为M，半径为1，且CM直线l，又点C也在圆O：x2y21上，所以C是两圆的交点，即OM2，所以dOM2，解得a，于是a的取值范围是.答案：2(2017全国卷 )已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，则圆心A到此渐近线的距离d.又因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案：3(2019江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(xk)2(yk4)21上任一点P作圆C2：x2y21的一条切线，切点为Q，则当|PQ|最小时，k_解析：由题意得，圆C1与圆C2外离，如图因为PQ为切线，所以PQC2Q，由勾股定理，得|PQ|，要使|PQ|最小，则需|PC2|最小显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，此时，|PC2|C1C2|1，所以当|C1C2|最小时，|PC2|就最小，|C1C2|2，当k2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小答案：24(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若AFBF4OF，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知AFy1，BFy2，OF，由AFBFy1y2y1y2p4OF2p，得y1y2p.联立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx5已知圆C：(x2)2y24，线段EF在直线l：yx1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得0，则线段EF长度的最大值是_解析：过点C作CHl于H，因为C到l的距离CH2r，所以直线l与圆C相离，故点P在圆C外因为|cosAPB0，所以cosAPB0，所以APB，圆C上存在两点A，B使得APB，由于点P在圆C外，故当PA，PB都与圆C相切时，APB最大，此时若APB，则PCr2，所以PH，由对称性可得EFmax2PH.答案：6设抛物线x24y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足AF2，已知P为抛物线准线上任一点，当PAPF取得最小值时，PAF外接圆的半径为_解析：由抛物线的方程x24y可知F(0，1)，设A(x0，y0)，又由AF2，根据抛物线的定义可知AFy0y012，解得y01，代入抛物线的方程，可得x02，即A(2，1)如图，作抛物线的焦点F(0，1)，关于抛物线准线y1的对称点F1(0，3)，连接AF1交抛物线的准线y1于点P，此时能使得PAPF取得最小值，此时点P的坐标为(1，1)，在PAF中，AF2，PFPA，由余弦定理得cosAPF，则sinAPF.设PAF的外接圆半径为R，由正弦定理得2R，所以R，即PAF外接圆的半径R.答案：第二讲 | 大题考法直线与圆题型(一)直线与圆的位置关系主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.典例感悟例1如图，在RtABC中，A为直角，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(1，1)在直线AC上，BC中点为M(2，0)(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(2，0)，且与RtABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程解(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为3.故AC边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.设C为(x0，3x02)，因为M为BC中点，所以B(4x0，3x02)点B代入x3y60，解得x0，所以C.所以BC所在直线方程为x7y20.(2)因为RtABC斜边中点为M(2，0)，所以M为RtABC外接圆的圆心又AM2，从而RtABC外接圆的方程为(x2)2y28.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径r，圆方程为(xa)2(yb)2r2.由于P与M相交，则公共弦所在直线m的方程为(42a)x2bya2b2r240.因为公共弦长为4，M半径为2，所以M(2，0)到m的距离d2，即2，化简得b23a24a，所以r .当a0时，r最小值为2，此时b0，圆的方程为x2y24.方法技巧解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组演练冲关(2019连云港模拟)已知圆O1：x2y225，点P在圆O2：x2y2r2(0r5)上，过点P作圆O2的切线交圆O1于点M，N两点，且r，OM，MN成等差数列(1)求r；(2)若点P的坐标为(4，3)，与直线MN平行的直线l与圆O2交于A，B两点，则使AOB的面积为4的直线l有几条？并说明理由解：(1)显然圆O1和圆O2是圆心在原点的同心圆连接OP，则OPMN，OM5，OPr，在直角三角形MOP中，MP，所以MN2.由r，OM，MN成等差数列，得2OMrMN，即25r2，解得r4.(2)因为点P的坐标为(4，3)，所以kOP，所以直线l的斜率k，设直线l的方程为yxb，即4x3y3b0.设圆心到该直线的距离为d，则d，则AB2，所以SAOBABdd4，整理得 d416d2480，(d24)(d212)0，解得d2或d2 ，因为d，从而对应的b有4个解：b或b，检验知均符合题意，故使AOB的面积为4的直线l有4条.题型(二)圆中的定点、定值问题主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.典例感悟例2已知圆C：x2y29，点A(5，0)，直线l：x2y0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标解(1)设所求直线方程为y2xb，即2xyb0.因为直线与圆C相切，所以3，解得b3.所以所求直线方程为2xy30.(2)法一：假设存在这样的点B(t，0)当点P为圆C与x轴的左交点(3，0)时，；当点P为圆C与x轴的右交点(3，0)时，.依题意，解得t或t5(舍去)下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2，所以.从而为常数法二：假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数，则PB22PA2，所以(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入，得x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3，3恒成立，所以解得或(舍去)故存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.方法技巧关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明演练冲关1(2019无锡天一中学模拟)已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，半径rOC.OC2t2，设圆C的方程为(xt)2t2，令y0，得x10，x22t，则A(2t，0)令x0，得y10，y2，则B.SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程为yx.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，r|OC|，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交，圆C的方程为(x2)2(y1)25.2已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2，1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标解：(1)设P(2m，m)，因为APB60，AM1，所以MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0或m，故所求点P的坐标为P(0，0)或P.(2)易知直线CD的斜率存在，可设直线CD的方程为y1k(x2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得k1或k，故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.(3)设P(2m，m)，MP的中点Q，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(xm)2m2，化简得x2y22ym(2xy2)0，此式是关于m的恒等式，故解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0，2)或.题型(三)与直线、圆有关的最值或范围问题主要考查与直线和圆有关的长度、面积的最值或有关参数的取值范围问题. 典例感悟例3已知ABC的三个顶点A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解(1)线段AB的垂直平分线方程为x0，线段BC的垂直平分线方程为xy30.所以外接圆圆心H(0，3)，半径为.圆H的方程为x2(y3)210.设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x3为所求；当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y2k(x3)，则3，解得k.所以直线l的方程为y2(x3)，即4x3y60.综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(2)直线BH的方程为3xy30，设P(m，n)(0m1)，N(x，y)因为点M是线段PN的中点，所以M，又M，N都在半径为r的圆C上，所以即因为该关于x，y的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r为半径的圆与以(6m，4n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2.又3mn30，所以r210m212m109r2对任意的m0，1成立而f(m)10m212m10在0，1上的值域为，所以r2且109r2.又线段BH与圆C无公共点，所以(m3)2(33m2)2r2对任意的m0，1成立，即r2.故圆C的半径r的取值范围为.方法技巧1隐形圆问题有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题2隐形圆的确定方法(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点P 对两定点A，B张角是90(kPAkPB1)确定隐形圆；(3)两定点A，B，动点P满足确定隐形圆；(4)两定点A，B，动点P满足PA2PB2是定值确定隐形圆；(5)两定点A，B，动点P满足PAPB(0，1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(6)由圆周角的性质确定隐形圆3与圆有关的最值或范围问题的求解策略与圆有关的最值或取值范围问题的求解，要对问题条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，要掌握解决问题常使用的思想方法，如要善于利用数形结合思想，利用几何知识，求最值或范围，要善于利用转化与化归思想将最值或范围转化为函数关系求解演练冲关1在等腰ABC中，已知ABAC，且点B(1，0)点D(2，0)为AC的中点(1)求点C的轨迹方程；(2)已知直线l：xy40，求边BC在直线l上的射影EF长的最大值解：(1)设C(x，y)，D(2，0)为AC的中点A(4x，y)，B(1，0)，由ABAC，得AB2AC2.(x5)2y2(2x4)2(2y)2，整理得(x1)2y24.A，B，C三点不共线，y0，则点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)法一：由条件，易得BE：xy10.设CF：xyb0.当EF取得最大值时，直线CF与圆(x1)2y24相切，设M(1，0)，则M到CF的距离为2.b21(舍去)或b21.CF：xy210.EFmax等于点B到CF的距离2.法二：设点M(1，0)，如图，过点C的轨迹圆心M作BE，CF的垂线，垂足分别为G，H，则四边形EFHG是矩形EFGHGMMH.由条件，得MG.MH的最大值为半径2.EFmax2.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解：圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA 2，而MC2d2，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2，4)，T(t，0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以55 55，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22 A组大题保分练1(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.连接MA由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2， 解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.2(2019镇江期初测试)已知圆C和直线xy20相切于点P(1，)，且经过点Q(4，0)(1)求圆C的方程；(2)设M(2，1)，过M作圆C的两条相互垂直的弦AD，BE，求四边形ABDE的面积的最大值解：(1)连接PC，PQ，由于圆C和直线xy20相切于点P(1，)，因此直线PC的斜率为，其方程为y(x1)，即xy20.易知直线PQ的斜率为，线段PQ的中点坐标为 ，则线段PQ的垂直平分线的方程为y，即xy20.由解得则圆心C的坐标为(2，0)所以圆C的半径rCQ2，所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)如图，作CHAD于点H，CGBE于点G，连接CM，则CH2CG2CM21，所以AD2BE24(4CH2)4(4CG2)28.又AD2BE22ADBE，所以ADBE14，所以四边形ABDE的面积SADBE147，当且仅当ADBE时等号成立，所以四边形ABDE的面积的最大值为7.3已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心C(a，0)，则2a0或a5(舍去)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4，0)时，能使得ANMBNM总成立4已知圆M与直线3xy40相切于点(1，)，圆心M在x轴上(1)求圆M的方程(2)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB分别与直线x8相交于C，D两点记OAB，OCD的面积分别是S1，S2，求的取值范围解：(1)由题可知，设圆的方程为(xa)2y2r2，解得所以圆的方程为(x4)2y216.(2)由题意知，AOB，设直线OA的斜率为k(k0)，则直线OA的方程为ykx，由得(1k2)x28x0，解得或则点A的坐标为.又直线OB的斜率为，同理可得点B的坐标为 .由题可知，C(8，8k)，D.因此，又，同理，所以，当且仅当|k|1时取等号又0，所以的取值范围是.B组大题增分练1.如图，已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程解：(1)设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1：x2y70相切，r2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)即kxy2k0.连结AQ，则AQMN.MN2，AQ1，则由AQ1，得k，直线l：3x4y60.故直线l的方程为x2或3x4y60.2(2019姜堰中学检测)已知圆O：x2y24，点A(1，0)，圆C经过点A且与圆O交于P，Q两点(1)若圆C与x轴相切，且PQ的长为，求圆C的方程；(2)若1，求PQ的长的取值范围解：(1)因为圆C与x轴相切，且经过点A(1，0)，所以可设圆心C(1，m)，则其半径r|m|，圆C的方程为(x1)2(ym)2m2，即x2y22x2my10.与圆O的方程相减得直线PQ的方程2x2my50.取弦PQ的中点M，连接OM，OP，易知OMPQ，且OM，因为OM2PM2OP2，PMPQ，所以4，解得m1.当m1时，圆C的方程为(x1)2(y1)21；当m1时，圆C的方程为(x1)2(y1)21.所以圆C的方程为(x1)
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