2022年高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 解析几何 文

2022年高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 解析几何 文21B12，H1xx新课标全国卷 已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围21解：(1)f(x)的定义域为(，)f(x)exx(x2)当x(，0)或x(2，)时，f(x)0.所以f(x)在(，0)，(2，)单调递减，在(0，2)单调递增故当x0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)0；当x2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)4e2.(2)设切点为(t，f(t)，则l的方程为yf(t)(xt)f(t)所以l在x轴上的截距为m(t)ttt23.由已知和得t(，0)(2，)令h(x)x(x0)，则当x(0，)时，h(x)的取值范围为2 ，)；当x(，2)时，h(x)的取值范围是(，3)所以当t(，0)(2，)时，m(t)的取值范围是(，0)2 3，)综上，l在x轴上的截距的取值范围是(，0)2 3，)5H1，H4xx天津卷 已知过点P(2，2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1C2 D.5C解析 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y2k(x2)，由题意得，解之得k.又切线与直线axy10垂直，a2.15H1，C8，E8xx四川卷 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_15(2，4)解析 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小AC所在直线方程为y2x，BD所在直线方程为yx6，交点坐标为(2，4)，即为所求H2两直线的位置关系与点到直线的距离20H2，H4xx新课标全国卷 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线段长为2 .(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程20解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.4H2、H3和H4xx重庆卷 设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D24B解析 |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.H3圆的方程14H3xx江西卷 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_14(x2)2解析 r24(r1)2，得r，圆心为.故圆C的方程是(x2)2.21F2、F3、H3、H5和H8xx重庆卷 如图15所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程图1521解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因为x1(4，4)，所以上式当x2x0时取最小值，所以x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2 |x0|.当x0时，PPQ的面积S取到最大值2 .此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.4H2、H3和H4xx重庆卷 设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D24B解析 |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.H4直线与圆、圆与圆的位置关系6H4xx安徽卷 直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A1 B2 C4 D46C解析 圆的标准方程是(x1)2(y2)25，圆心(1，2)到直线x2y50的距离d1，所以直线x2y50被圆x2y22x4y0所截得的弦长l24.7H4xx广东卷 垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第象限的直线方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy07A解析 设直线方程为yxm，且原点到此直线的距离是1，即1，解得m.当m时，直线和圆切于第象限，故舍去，选A.14H4xx湖北卷 已知圆O：x2y25，直线l：x cosy sin1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k_144解析 圆心到直线的距离d1，r，rdd，所以圆O上共有4个点到直线的距离为1，k4.10H4xx江西卷 如图13所示，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令ycos x，则y与时间t(0t1，单位：s)的函数yf(t)的图像大致为()图13图1410.B解析 如图，设MOA，cos 1t，cos 22cos2 12t24t1，x212，ycos xcos 22t24t1，故选B.20H2，H4xx新课标全国卷 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线段长为2 .(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程20解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.13H4xx山东卷 过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_132 解析 设弦与圆的交点为A、B，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得(32)2(21)24，解之得|AB|2 .8H4xx陕西卷 已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定8B解析 由题意点M(a，b)在圆x2y21外，则满足a2b21，圆心到直线的距离d0，得k23.所以，k的取值范围是(，)()(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2(1k2)x，|ON|2(1k2)x.又|OQ|2m2n2(1k2)m2，由，得，即.由(*)式可知，x1x2，x1x2，所以m2.因为点Q在直线ykx上，所以k，代入m2中并化简，得5n23m236.由m2及k23，可知0m20，所以n.于是，n与m的函数关系为n(m(，0)(0，)13H4xx浙江卷 直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于_134 解析 圆的标准方程为(x3)2(y4)225，圆心到直线的距离为d，所以弦长为224 .4H2、H3和H4xx重庆卷 设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D24B解析 |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径因为圆的圆心为(3，1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d3(3)24.H5椭圆及其几何性质21H5，H10xx安徽卷 已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点P(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A(0，2)，联结AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由21解：(1)因为焦距为4，所以a2b24.又因为椭圆C过点P(，)，所以1，故a28，b24，从而椭圆C的方程为1.(2)由题意，E点坐标为(x0，0)，设D(xD，0)，则(x0，2)，(xD，2)再由ADAE知，0，即x0xD80.由于x0y00，故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以G，0，故直线QG的斜率kQG.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x2y8.从而kQG.故直线QG的方程为yx.将代入椭圆C方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0，解得xx0，yy0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点19M2，H5，H10xx北京卷 直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形19解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2 .(2)证明：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形15H5xx全国卷 若x，y满足约束条件则zxy的最小值为_150解析 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC及其内部，目标函数的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，显然在点A取得最小值，点A(1，1)，故zmin110.8H5xx全国卷 已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.18C解析 设椭圆C的方程为1(ab0)，与直线x1联立得y(c1)，所以2b23a，即2(a21)3a，2a23a20，a0，解得a2(负值舍去)，所以b23，故所求椭圆方程为1.15H5，H8xx福建卷 椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_15.1解析 如图，MF1F2中，MF1F260，所以MF2F130，F1MF290.又|F1F2|2c，所以|MF1|c，|MF2|c.根据椭圆定义得2a|MF1|MF2|cc，得e1.9H5xx广东卷 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.19D解析 设椭圆C的标准方程为1(ab0)，由题知c1，解得a2，b2a2c2413，选D.12H5xx江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(a0，b0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2d1，则椭圆C的离心率为_12.解析 由题意知F(c，0)，l：x，不妨设B(0，b)，则直线BF：1，即bxcybc0.于是d1，d2c.由d2d1，得6，化简得6c4a2c2a40，即6e4e210，解得e2或e2(舍去)，故e，故椭圆C的离心率为.20H5，H8xx江西卷 椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图18所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值图1820解：(1)因为e，所以ac，bc，代入ab3得，c，a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为yk(x2)，代入y21，解得P.直线AD的方程为yx1.与联立解得M.由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)方法二：设P(x0，y0)(x00，2)，则k.直线AD的方程为：y(x2)，直线BP的方程为：y(x2)，直线DP的方程为：y1x，令y0，由于y01可得N，联立解得M，因此MN的斜率为m.所以2mk(定值)11H5xx辽宁卷 已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，联结AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B.C. D.11B解析 设椭圆的右焦点为Q，由已知|BF|8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|8，FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a14，2c10，所以e.5H5xx新课标全国卷 设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.5D解析 设PF2x, 则PF12x，由椭圆定义得3x2a，结合图形知，故选D.22H5，H8xx山东卷 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设t，求实数t的值22解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，故题意知解得a，b1，因此椭圆C的方程为y21.(2)(i)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为xm，由题意m0或0m.将xm代入椭圆方程y21，得|y|.所以SAOB|m|.解得m2或m2.又tt()t(2m，0)(mt，0)，因为P为椭圆C上一点，所以1.由得 t24或t2，又因为t0，所以t2或t.(ii)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为ykxh.将其代入椭圆的方程y21，得(12k2)x24khx2h220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由判别式0可得12k2h2，此时x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|2 .因为点O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d2 |h|.又SAOB，所以 |h|.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或nh2，即12k24h2或12k2h2.又tt()t(x1x2，y1y2)，因为P为椭圆C上一点，所以t21，即t21.将代入得t24或t2，又知t0，故t2或t，经检验，适合题意综合(i)(ii)得t2或t.20H5，H8xx陕西卷 已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点若A是PB的中点，求直线m的斜率20解： (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|.由此得|4x|2.化简得1，所以，动点M的轨迹方程为1.(2)方法一：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k)2424(34k2)96(2k23)0.由求根公式得，x1x2，x1x2.又因A是PB的中点，故x22x1.将代入，得x1，x，可得，且k2，解得k或k，所以，直线m的斜率为或.方法二：由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)A是PB的中点，x1，y1.又1，1，联立，解得或即点B的坐标为(2，0)或(2，0)，所以，直线m的斜率为或.9H5xx四川卷 从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.9C解析 由已知，P点坐标为，A(a，0)，B(0，b)，于是由kABkOP得，整理得bc，从而ac.于是，离心率e.18H5，H8xx天津卷 设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值18解：(1)设F(c，0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y.于是，解得b.又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直线CD的方程为yk(x1)由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.21H5、H9、H10xx新课标全国卷 已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2 .若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1，2，所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性得|AB|.综上，|AB|2 或|AB|.9H5，H6xx浙江卷 如图14所示，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()图14A. B. C. D.9D解析 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2 ，a，则双曲线的离心率e，选择D.21F2、F3、H3、H5和H8xx重庆卷 如图15所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程图1521解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因为x1(4，4)，所以上式当x2x0时取最小值，所以x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2 |x0|.当x0时，PPQ的面积S取到最大值2 .此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.H6双曲线及其几何性质22H6、H8、D3xx全国卷 已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列22解：(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，并求得x.由题设知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)证明：由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|0，b0)的两个焦点若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_14.1解析 如图，因PF1PF2，且PF1F230，故|PF2|F1F2|c，则|PF1|c，又由双曲线定义可得|PF1|PF2|2a，即cc2a，故1.3H6xx江苏卷 双曲线1的两条渐近线的方程为_3yx解析 令0，得渐近线方程为yx.11H6，H7xx山东卷 抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.11D解析 抛物线C1：yx2的焦点坐标为，双曲线y21的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y(x2)，联立得2x2p2x2p20.设点M的横坐标为a ，则在点M处切线的斜率为y|xa.又双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)11H6xx陕西卷 双曲线1的离心率为_11.解析 由双曲线方程中a216, b29，则c2a2b225，则e.11H6，H7xx天津卷 已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_11x21解析 由抛物线的准线方程为x2，得a2b24，又双曲线的离心率为2，得2，得a1，b23，双曲线的方程为x21.7A2，H6xx北京卷 双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()Am Bm1Cm1 Dm27C解析 双曲线的离心率e，解得m1.故选C.4H6xx新课标全国卷 已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx4C解析 ，所以，故所求的双曲线渐近线方程是yx.9H5，H6xx浙江卷 如图14所示，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()图14A. B. C. D.9D解析 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2 ，a，则双曲线的离心率e，选择D.10E1、H6和H8xx重庆卷 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.10A解析 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足，所以3，14，即有 2.又双曲线的离心率为e，所以 0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.20H7，H8，H10xx广东卷 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值20解：21B12xx广东卷 设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.11D解析 抛物线C1：yx2的焦点坐标为，双曲线y21的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y(x2)，联立得2x2p2x2p20.设点M的横坐标为a ，则在点M处切线的斜率为y|xa).又双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，即ap，代入2x2p2x2p20得，p或p0(舍去)11H6，H7xx天津卷 已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_11x21解析 由抛物线的准线方程为x2，得a2b24，又双曲线的离心率为2，得2，得a1，b23，双曲线的方程为x21.5H7，H8xx四川卷 抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是()A2 B2 C. D15D解析 抛物线y28x的焦点为F(2，0)，该点到直线xy0的距离为d1.8H7xx新课标全国卷 O为坐标原点，F为抛物线C：y24 x的焦点，P为C上一点，若|PF|4 ，则POF的面积为()A2 B2 C2 D48C解析 设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|x0，所以x03 ，代入抛物线方程得y224，解得|y|2 ，所以POF的面积等于|OF|y|2 2 .H8直线与圆锥曲线(AB课时作业)22H6、H8、D3xx全国卷 已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列22解：(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，并求得x.由题设知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)证明：由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.15H5，H8xx福建卷 椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_15.1解析 如图，MF1F2中，MF1F260，所以MF2F130，F1MF290.又|F1F2|2c，所以|MF1|c，|MF2|c.根据椭圆定义得2a|MF1|MF2|cc，得e1.20H7，H8，H10xx广东卷 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值20解：21B12xx广东卷 设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当kn)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记，BDM和ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时，若S1S2，求的值；(2)当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2？并说明理由图1522解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1：1，C2：1，其中amn0，1.(1)方法一：如图，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x0.则S1|BD|OM|a|BD|，S2|AB|ON|a|AB|，所以.在C1和C2的方程中分别令x0，可得yAm，yBn，yDm，于是.若，则，化简得2210.由1，可解得1.故当直线l与y轴重合时，若S1S2，则1.方法二：如图，若直线l与y轴重合，则|BD|OB|OD|mn，|AB|OA|OB|mn.S1|BD|OM|a|BD|，S2|AB|ON|a|AB|.所以.若，则，化简得2210，由1，可解得1.故当直线l与y轴重合时，若S1S2，则1.(2)方法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2，根据对称性，不妨设直线l：ykx(k0)，点M(a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1，d2，所以d1d2.又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以，即|BD|AB|.由对称性可知|AB|CD|，所以|BC|BD|AB|(1)|AB|，|AD|BD|AB|(1)|AB|，于是，将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得xA，xB.根据对称性可知xCxB，xDxA，于是.从而由和式可得.令t，则由mn，可得t1，于是由可解得k2.因为k0，所以k20，于是式关于k有解，当且仅当0，等价于(t21)t21，可解得t1，即1，解得1，所以当11时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2.方法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2.根据对称性，不妨设直线l：ykx(k0)，点M(a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1，d2，所以d1d2.又S1|BD|d1，S2|AB|d2，所以.因为，所以.由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，可得1，1，两式相减可得0，依题意xAxB0，所以xx，所以由上式解得k2.因为k20，所以由0，可解得1.从而11，所以当11时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1S2.20H5，H8xx江西卷 椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图18所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值图1820解：(1)因为e，所以ac，bc，代入ab3得，c，a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为yk(x2)，代入y21，解得P.直线AD的方程为yx1.与联立解得M.由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)方法二：设P(x0，y0)(x00，2)，则k.直线AD的方程为：y(x2)，直线BP的方程为：y(x2)，直线DP的方程为：y1x，令y0，由于y01可得N，联立解得M，因此MN的斜率为m.所以2mk(定值)图1520H8xx辽宁卷 如图15，抛物线C1：x24y，C2：