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1 1.1 1.1 1集合的概念集合的概念一二三一、集合的概念【问题思考】 1.你能具体说出你所在班级中头脑比较聪明的同学名单吗?你能具体说出你所在班级中所有女生的姓名名单吗?提示:比较聪明的同学名单不能具体说出来,因为聪明与否是一个比较模糊的词语;而所在班级中女生的姓名是具体明确的.2.你认为将要研究的“集合”是由什么构成的呢?提示:今天我们研究的“集合”这一新概念,是必须由一些确定的对象构成的.也就是说上述所说的聪明的同学是不能构成集合的.因为聪明是没有明确划分标准的.四一二三3.填空.(1)集合:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).集合通常用 英语大写字母A,B,C,来表示.(2)元素:构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).集合中的元素通常用英语小写字母a,b,c,来表示.4.做一做:下列各组对象能构成集合的有()2017年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;不超过10的非负奇数;立方接近零的正数;高一年级视力比较好的同学.A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案:B四一二三四二、元素与集合的关系【问题思考】 1.设集合M表示“110之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?提示:3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8M.2.填写下表:一二三四名师点拨 一二三四3.做一做:集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是()答案:D 一二三四三、集合的分类【问题思考】 1.方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?提示:该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合中元素个数为0.2.填空.(1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集.一二三四四、常用数集及其表示【问题思考】 1.若元素aQ,能否得出aR?提示:能.因为实数集包含有理数集和无理数集,故Q中的元素一定是R中的元素.2.填写下表:3.做一做:用符号“”或“”填空. 答案:(1)(2)(3)(4)(5) 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)2016年北京大学招收的大学一年级新生可以构成一个集合. ()(2)学习成绩特别好的同学可以构成一个集合. ()(3)方程x2-4x+4=0的解集中含有两个元素. ()(4)方程x2+x+1=0的实数解构成的集合为空集. ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三集合中元素的确定性集合中元素的确定性【例1】 判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)2017年召开的第28届世界大学生冬季运动会所有的男队员;(2)方程x2-1=0的所有实根;(3) 的近似值的全体;(4)大于0的所有整数.解:(1)能,因为男队员是确定的.(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.(4)能,因为大于0的整数是确定的.探究一探究二探究三反思感悟集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.探究一探究二探究三集合中元素的互异性集合中元素的互异性【例2】 若集合中的三个元素分别为2,x,x2-x,则元素x应满足的条件是.解析:由元素的互异性可知x2,且x2-x2,且x2-xx,答案:x2,且x-1,且x0反思感悟集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.探究一探究二探究三变式训练变式训练1若m,m,n,n,m2,n2构成集合M,则M中的元素最多有()A.6个 B.5个 C.4个D.3个解析:由集合中的元素满足互异性,知集合M中的元素最多为m,n,m2,n2,且4个元素互不相同.答案:C探究一探究二探究三元素与集合的关系元素与集合的关系【例3】已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.分析:-3是集合的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.解:由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;探究一探究二探究三反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.探究一探究二探究三变式训练变式训练2用符号“”和“”填空. 答案:(1)(2)(3) 1.下列对象不能构成集合的是()A.所有的正数 B.等于2的数C.接近0的数D.不等于0的偶数答案:C2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 ()答案:D 3.用符号或填空. (3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3C,5C;(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,则-1D,(-1,1)D.解析:(1)依次应填,. (3)由于n是正整数,所以n2+13.而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填,.(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1是数,所以-1D.又(-1)2=1,所以依次应填,.答案:(1)(2)(3)(4)4.下列对象构成的集合是空集的是.(填序号)小于1的自然数;2米高的人;方程x2-x+1=0的解集.解析:因为方程x2-x+1=0的判别式=1-40,所以方程无解,即解集为空集.而小于1的自然数为0,2米高的人也存在,所以都不是空集.答案:5.已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2A,求实数x的值.解:当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.当x2=1时,得x=1.若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.当x2=x时,得x=0或x=1,易知都不符合题意.综上可知,符合题意的x的值为-1.
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