（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 8 第8讲 离散型随机变量的均值与方差教学案

第8讲离散型随机变量的均值与方差1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布XB(n，p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1p)np(1p)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()答案：(1)(2)(3)教材衍化1(选修23P68A组T1改编)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)_解析：E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案：2(选修23P68A组T5改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_解析：E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，因为E(Y)E(X)所以乙技术好答案：乙易错纠偏(1)期望、方差的性质不熟导致错误；(2)二项分布的数学期望公式用法不当1已知两个随机变量X，Y满足X2Y4，且XN(1，22)，则E(Y)，D(Y)依次是_解析：由XN(1，22)得E(X)1，D(X)4.又X2Y4，所以Y2，所以E(Y)2E(X)，D(Y)D(X)1.答案：，12在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为_解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且YB，则E(Y)32.答案：2离散型随机变量的均值、方差的求解(高频考点)离散型随机变量的均值、方差的求解，比较大小，求实际问题中的均值、方差是浙江新高考的热点主要命题角度有：(1)直接求均值、方差；(2)两个随机变量的均值、方差大小比较；(3)实际问题中的均值、方差的求解角度一直接求均值、方差 (1)(2019高考浙江卷)设0a1，随机变量X的分布列是X0a1P则当a在(0，1)内增大时，()AD(X)增大BD(X)减小CD(X)先增大后减小DD(X)先减小后增大(2)随机变量的取值为0，1，2.若P(0)，E()1，则D()_【解析】(1)由题意可得，E(X)(a1)，所以D(X)，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大故选D.(2)设P(1)a，P(2)b，则解得所以D()01.【答案】(1)D(2)角度二两个随机变量的均值、方差大小比较 已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1，2.若0p1p2，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)【解析】根据题意得，E(i)pi，D(i)pi(1pi)，i1，2，因为0p1p2，所以E(1)E(2)令f(x)x(1x)，则f(x)在上单调递增，所以f(p1)f(p2)，即D(1)E(Y)，所以从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适核心素养系列22数据分析利用期望与方差进行决策某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一应选用哪个？【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量1，2的期望，当E(1)E(2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(1)，D(2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近(3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好若E(1)与E(2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E(1)与E(2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定 基础题组练1若随机变量X的分布列为 XCP1，其中C为常数，则下列结论正确的是()AE(X)D(X)0BE(X)C，D(X)0CE(X)0，D(X)CDE(X)D(X)C解析：选B.E(X)C1C，D(X)(E(X)C)210，故选B.2(2020稽阳市联谊学校高三联考)随机变量的分布列如下，且满足E()2，则E(ab)的值为()123PabcA.0B1C2 D无法确定，与a，b有关解析：选B.因为E()2，则a2b3c2，又abc1，联立两式可得ac，2ab1，E(ab)aE()b2ab1.3(2018高考浙江卷)设0pp2，E(1)E(2) Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)E(2)解析：选A.随机变量1，2的分布列为112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.11某射击运动员在一次射击比赛中所得环数的分布列如下：3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3，则y的值为_解析：由题意知，x0.10.3y1，又E()3x40.150.36y4.3，两式联立解得y0.2.答案：0.212已知X的分布列为X101P且YaX3，E(Y)，则a的值为_解析：E(X)101，E(Y)E(aX3)aE(X)3a3，所以a2.答案：213设口袋中有黑球、白球共9个从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_解析：设白球有m个，则取得白球的数学期望是012，即2，解得m3.答案：314随机变量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差数列若E()，则D()的值是_解析：由题意可得解得所以D().答案：15已知随机变量的分布列为101P那么的数学期望E()_，设21，则的数学期望E()_解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E()101，E()E(21)2E()121.答案：16(2020浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为_，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为_解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，则P(A).随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(Xk)(k0，1，2，3)所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.答案：17从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有_种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为X，则随机变量X的数学期望E(X)_解析：从4双不同鞋子中任取4只，则其中恰好有一双的不同取法有CCCC48.X0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列为X012PE(X)012.答案：48综合题组练1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值解：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X01234P所以E(X)012341.5，D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211，得a2，又E(Y)aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4，所以或2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E，D，求abc.解：(1)由题意得2，3，4，5，6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E，D(1)2(2)2(3)2，化简得解得a3c，b2c，故abc321.3C1：yaxb，a，b1，2，3，4，5，C2：x2y22.(1)求C1，C2有交点的概率P(A)；(2)求交点个数的数学期望E()解：(1)设圆心(0，0)到直线axyb0的距离为d，若C1，C2有交点，则db22(a21)当b1时，a1，2，3，4，5；当b2时，a1，2，3，4，5；当b3时，a2，3，4，5；当b4时，a3，4，5；当b5时，a4，5.共5543219种情况，所以P(A).(2)当交点个数为0时，直线与圆相离，有6种情况；当交点个数为1时，直线与圆相切，b22(a21)，只有a1，b2这1种情况；当交点个数为2时，由(1)知直线与圆相交，有18种情况所以E()012.4(2020温州八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择若投资甲项目一年后可获得的利润1(万元)的概率分布列如下表所示：1110120170Pm0.4n且1的期望E(1)120；若投资乙项目一年后可获得的利润2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0p1)和1p .若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与2的关系如下表所示：X012241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求2的分布列；(3)若E(1)E(2)，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围解：(1)由题意得解得m0.5，n0.1.(2)2的可能取值为41.2，117.6，204，P(241.2)(1p)1(1p)p(1p)，P(2117.6)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(2204)p(1p)，所以2的分布列为241.2117.6204Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得：E(2)41.2p(1p)117.6p2(1p)2204p(1p)10p210p117.6，由E(1)E(2)，得12010p210p117.6，解得0.4p0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)21