2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.1 配方法 专题（讲）理

2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.1 配方法 专题（讲）理 一、配方法的定义：配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方.配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一.二、配方法的基本步骤：配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.如：三、常见的基本配方形式可得到各种基本配方形式，如： ；结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： ；。本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 配方法与函数二次函数或通过换元能化为二次函数的函数均可用配方法求其最值.在换元的过程中要注意引入参数的取值范围。例1.【xx高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意知，最小值为.令，则，当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”故选A例2【xx届浙江省台州中学高三上学期第三次统练】已知函数（1）当时，若存在，使得，求实数的取值范围；（2）若为正整数，方程的两个实数根满足，求的最小值【答案】（1）或；（2）11试题解析：（1）当时， 由题意可知， 在上有两个不等实根，或在上有两个不等实根，则或,解得或即实数的取值范围是或.（2）设，则由题意得，即 ，所以，由于 当时， ，且无解，当时， ，且，于是无解，当时， ，且，由，得，此时有解，综上所述， ，当时取等号，即的最小值为112 配方法与三角函数 在三角函数中，同角三角函数基本关系式中的平方关系及其变形、二倍角公式及其变形为考察配方法提供了平台，例3.【xx届宁夏银川一中高三上学期第二次月考】函数f(x)cos2xsinx的最小值为_【答案】-2【解析】 ，所以当 时， 取最小值 3配方法与解三角形 在解三角形中，余弦定理为考察配方法提供了平台，因为对于三角形的三边，如果能用一个变量给表示出来，就可以转化为二次函数问题，可以通过配方法来解。例4.【xx届河北省石家庄市二模】在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为， ， ，其面积，这里已知在中， ， ，其面积取最大值时_【答案】 4 配方法与平面向量例5.【xx届山东省德州市高三上学期期中】已知向量.（1）当时，求的值；（2）当时， (为实数），且，试求的最小值.【答案】(1) 或;(2) .【解析】试题分析：（1）由可得，整理得，解方程可得的值；（2）由可得，根据数量积的计算并将代入整理得，因此，结合二次函数最值的求法可得最小值为。试题解析：（1）， 整理得，解得或.或。（2），即 当时， ，式化简得 ，当时， 取得最小值，且最小值是.5配方法与不等式例6.【xx年高考二轮】已知不等式|y4|y|2x对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】 |y4|y|y4y|4，(|y4|y|)max4，要使不等式对任意实数x，y都成立，应有2x4，a(2x)242x(2x2)24，令f(x)(2x2)24，则af(x)max4，a的最小值为4，故选D.6 配方法与导数例7.【xx届广东省深圳市高级中学高三11月考】设和是函数的两个极值点,其中.(1)求的取值范围;(2)若,求的最大值.【答案】(1) . (2) 试题解析：(1)函数的定义域为因为所以.由题意得方程有两个不等的正根m,n(其中).故,且.所以即的取值范围是.(2)当时, .设,则,于是有,所以,令,则.所以在上单调递减,所以.故的最大值是。7 配方法与数列例 8.数列an中，如果存在ak，使得akak1且akak1成立(其中k2，kN*)，则称ak为数列an的峰值若an3n215n18，则an的峰值为( ) A0 B4 C.3(13) D.3(16)【答案】A【解析】 因为an34(3)，且nN*，所以当n2或n3时，an取最大值，最大值为a2a30.故选A.8 配方法与立体几何例9.已知菱形ABCD的边长为3(3)，ABC60，将菱形ABCD沿对角线AC折成如图所示的四面体，点M为AC的中点，BMD60，P在线段DM上，记DPx，PAPBy，则函数yf(x)的图象大致为( ) 【答案】D【解析】由题意可知AMAB，BMMD1，DPx，MP1x，在RtAMP中，PA，在BMP中，由余弦定理得PB， yPAPB(0x1)当0x时，函数y单调递减，当x1时，函数y单调递增，对应的图象为D.9 配方法与解析几何例10.已知点的坐标为，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且（1）求证：点共线；（2）若，当时，求动点的轨迹方程【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，则，因为，所以，又，所以因为，且，所以，又都过点，所以三点共线【反思提升】综合上面的九种类型，配方法在高考题目中频繁出现，配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.主要用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解以及与最值一类有关的问题中.对于应用配方法的意识在于平时的训练与积累。