2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.3 待定系数法（讲）理

2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.3 待定系数法（讲）理 一、待定系数法： 待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解. 二、待定系数法解题的基本步骤： 使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.1用待定系数法求曲线方程 确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决.例1.【xx届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为_【答案】【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为可化简为其圆心为，半径为两圆相切于原点，且圆过点解得圆的标准方程为故答案为例2.【xx届山西省孝义市高三下学期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.解析：(1)设， 的坐标分别为， ，根据椭圆的几何性质可得，解得， ，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知， 的坐标分别为， ，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，联立得，设， ，则，得， ， ， 解得，得.即存在符合条件的直线.2用待定系数法求函数解析式 利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应学会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中.例3.【xx届湖南省长沙市长郡中学高三】已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函数f（x）过点（，2），（，0）得： 解得： f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），g（x）=2sin2x，故答案为：A.例4.【xx届天津市耀华中学高三上学期第三次月考】若幂函数在上为增函数，则实数的值为_.【答案】2 例5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且（）的表达式；（）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值【答案】（I）；（II） 【解析】试题分析：（1）由已知设，由，求出 的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出 的值。试题解析：（1）设，则 由已知，得， 又方程有两个相等的实数根，即故； （2）依题意，得， ，整理，得，即，例6.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)(0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求的最小值.【答案】（）. （）当时，取得最小值.【解析】（）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：00500且函数表达式为. 3用待定系数法求数列通项式 等差数列、等比数列是高中阶段重点研究的两类数列，在高考题中，除设计直接考查等差数列、等比数列的题目外，还常常命制通过转化而成为我们熟悉数列的问题，而利用待定系数法往往可以实现这一转化.利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果例7.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为（ ）A B C. D【答案】C【解析】由题意，得，解得，所以，所以，故选C例8.在等比数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）， （2）由题意知，4用待定系数法求解的其它类型例9. 若向量,是不共线的两向量，且，（），则A，B，C三点共线的条件是（ ）A B C D 【答案】D 例10.【xx高考新课标2】设向量，不平行，向量与平行，则实数_【答案】.【解析】因为向量与平行，所以，则所以【反思提升】综上所述，待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立数量关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数之后就只需根据题目给出的条件，解题即可用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在诸如函数、数列、解析几何、平面向量等题目中都可以应用但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单，最为合适的方法解题时要根据具体的题目，选择简单又适合的方法