2022年高考数学大一轮复习 第八章 解析几何同步练习 文

2022年高考数学大一轮复习 第八章 解析几何同步练习 文1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2掌握确定直线位置的几何要素3掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；范围：直线的倾斜角的取值范围是0，)(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线3.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式1明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(7)不经过原点的直线都可以用1表示()(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4解析：kMN1，m1.答案：A3直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30B60C150D120解析：由直线方程得yxa，所以斜率k，设倾斜角为，所以tan ，又因为0180，所以60.答案：B4已知直线l的倾斜角满足3sin cos ，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是_解析：由3sin cos ，得tan ，直线l的斜率为.又直线l在x轴上的截距为2，直线l与x轴的交点为(2,0)，直线l的方程为y0(x2)，即x3y20.答案：x3y205经过两点M(1，2)，N(3,4)的直线方程为_解析：经过两点M(1，2)，N(3,4)的直线方程为，即3x2y10.答案：3x2y10直线的倾斜角与斜率1若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A1B3C0D2解析：由ktan 1.得42y2，y3.答案：B2(xx青岛模拟)若ab0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.答案：1.在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为这一特殊情形2求倾斜角的取值范围的一般步骤是：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角的取值范围直线的方程根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.1求适合下列条件的直线方程(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的倍解析：(1)由题意，所求直线的斜率k存在且k0，设直线方程为y2k(x3)，令y0，得x3，令x0，得y23k，由已知323k，解得k1或k，直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.2求过点A(1，1)与直线l1：2xy60相交于点B且|AB|5的直线方程解析：过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点的坐标为(1,4)，此时|AB|5，即x1为所求设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行)则B点坐标为.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.3(xx湖南长沙一模)过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且aN*，bN*，则可作出的直线l的条数为()A1B2C3D4解析：由题意得1(a1)(b3)3，又aN*，bN*，故有两个解或答案：B在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况直线方程的综合利用直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求l的方程解析：依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(4k)55549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.在本例条件下，若|PA|PB|最小，求l的方程解析：|PA|PB|(1k2)48(k0)当且仅当k且k0，即k1时，|PA|PB|取最小值这时l的方程为xy50.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决A级基础训练1在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1)Dy33(x1)解析：因为AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线 AB的点斜式方程为：y33(x1)答案：D2(xx山西太原质检)设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为45，则()A0180B0135C0180D0135解析：0135.选D答案：D3已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1B1C2或1D2或1解析：由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x，a2，解得a2或a1.答案：D4直线AxBy10在y轴上的截距是1，而且它的倾斜角是直线xy3的倾斜角的2倍，则()AA，B1BA，B1CA，B1DA，B1解析：将直线AxBy10化成斜截式yx.1，B1，故排除A，D又直线xy3的倾斜角，直线AxBy10的倾斜角为2，斜率tan，A，故选B答案：B5若直线过点P且被圆x2y225截得的弦长是8，则该直线的方程为()A3x4y150Bx3或yCx3Dx3或3x4y150解析：若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x3，代入圆的方程解得y4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为yk(x3)，即kxy3k0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为，解得k，此时该直线的方程为3x4y150.答案：D6已知m0，则过点(1，1)的直线ax3my2a0的斜率为_解析：点(1，1)在直线ax3my2a0上，a3m2a0，ma0，k.答案：7直线xcos y20的倾斜角的范围是_解析：设直线的倾斜角为，依题意知，kcos ；cos 1,1，k，即tan .又0，)，.答案：8设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值b的取值范围是2,2答案：2,29已知直线过点P1(2,3)和点P2(1，m)，且m满足方程m24m30，求该直线方程解析：由题意，因为m满足方程m24m30，则m1或m3.若m1，则直线方程可写为，即2xy10；若m3，则直线方程的斜率为0，直线方程可写为y3.因此符合条件的直线方程为2xy10或y3.10设直线l的方程为xmy2m60，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为3.解析：(1)因为直线l的斜率存在，所以m0，于是直线l的方程可化为yx.由题意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由题意得2m63，解得m.法二：直线l的方程可化为xmy2m6.由题意得2m63，解得m.B级能力提升1在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是()解析：直线l1：axyb0的斜率k1a，在y轴上的截距为b；直线l2：bxya0的斜率k2b，在y轴上的截距为a.在选项A中l2的斜率b0，而l1在y轴上截距b0，所以A不正确同理可排除C、D答案：B2一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解析：设所求直线的方程为1，A(2,2)在直线上，1.又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|b|1.由可得(1)或(2).由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程答案：x2y20或2xy203已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解析：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得6，解得k1或k2.所以直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|(6b)b|6，b1.直线l的方程为x6y60或x6y60.4已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解析：(1)证明：证法一：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)证法二：设直线l过定点(x0，y0)，则kx0y012k0对任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，x020，y010，解得x02，y01，故直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是0，)(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0且12k0，k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.第二节两直线的位置关系1能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB|.(2)点P(x1，y1)到直线l：AxByC0的距离：d.(3)两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)间的距离为d.常见的四大直线系方程(1)过定点P(x0，y0)的直线系A(xx0)B(yy0)0(A2B20)，还可以表示为yy0k(xx0)(斜率不存在时可视为xx0)(2)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(3)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(4)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2已知p：直线l1：xy10与直线l2：xay20平行，q：a1，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由于直线l1：xy10与直线l2：xay20平行的充要条件是1a(1)10，即a1.答案：A3已知点P(1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为()Axy10Bxy0Cxy40Dxy0解析：线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率kPQ1，直线l的斜率kl1，直线l的方程为xy40.答案：C4直线Ax3yC0与直线2x3y40的交点在y轴上，则C的值为_解析：因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C4.答案：45已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解析：直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即3x4y0，直线l1与直线l2的距离为.答案：两条直线的平行与垂直1直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80解析：直线2x3y40的斜率是，由直线l与直线2x3y40垂直，可知直线l的斜率是，又因直线l过点(1，2)，由点斜式可得直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.答案：A2(xx广东惠州二调)“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：若直线l1与l2平行，则a(a1)210，即a2或a1，所以“a1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件答案：A3已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab等于()A4B2C0D2解析：由题意知，l的倾斜角为，ktan1，设l1的斜率为k1，k1，l1与l垂直，kk11，a0.又l2：2xby10与l1平行，1，b2，ab2.答案：B两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况(2)已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10且A1C2A2C10l1l2.两直线的交点求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解析：法一：由方程组，得，即P(0,2)ll3，kl，直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.1(xx浙江温州十校联考)过两直线2xy50和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为_解析：联立得交点P(1，3)设过点P且与直线3xy10平行的直线方程为3xym0，则313m0，解得m0.答案：3xy02过点P(3,0)作一条直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程解析：法一：设直线l的方程为yk(x3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得得解之，得xA和xB，P(3,0)是线段AB的中点，由xAxB6得6，解得k8.故直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.法二：设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，P(3,0)是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为(6x1，y1)，解这个方程组，得点A的坐标为，由两点式可得l的方程为8xy240.3已知直线l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0，分别求满足下列条件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一点；(2)l1，l2，l3围成三角形解析：(1)直线l1，l2的方程联立得，解得，即直线l1，l2的交点为P(1，2)又点P在直线l3上，所以12kk0，解得k.(2)由(1)知k.当直线l3与l1，l2均相交时，有，解得k且k1，综上可得k，且k，且k1.1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点2求经过两直线交点的直线方程，利用直线系方程，会给解题带来方便距离问题已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2.解析：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.已知直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程解析：l1l2，或(1)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，解得n22或n18.故所求直线的方程为2x4y110或2x4y90.(2)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，l2的方程为2x4y10，解得n18或n22.故所求直线的方程为2x4y90或2x4y110.求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线之间的距离时，可先把两平行线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可转化成点到直线距离求解对称问题已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解析：(1)设A(x，y)，由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M的对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.在本例条件下，求直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解析：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10.即2x3y90.对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解A级基础训练1(xx广东六校一联)如果直线(2a5)x(a2)y40与直线(2a)x(a3)y10互相垂直，则a()A2B2C2，2D2,0，2解析：由题意可知(2a5)(2a)(a2)(a3)(2a)(2a5)(a3)(a2)(a2)0，解得a2，故选C答案：C2已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A0或B或6C或D0或解析：依题意得，|3m5|m7|，3m5m7或3m57m.m6或m.故应选B答案：B3已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()ABC2D2解析：l2，l1关于yx对称，l2的方程为x2y3.即yx.l2的斜率为.答案：A4(xx广东模拟)若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A0B1C1D2解析：直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)mn0.答案：A5(xx湖北八市联考)已知集合M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，则a()A6或2B6C2或6D2解析：易知集合M中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点，要使MN，则N中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线，或过(2,3)点且斜率不为3的直线，3或2a6a0，a6或a2.答案：A6经过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为_解析：y6x4，y|x12，所求直线的方程为y22(x1)，即2xy40.答案：2xy407直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1,0)对称，则b_.解析：法一：由题知，点A不在直线x2y30上，两直线平行，a2.又点A到两直线距离相等，|b2|4，b6或b2.点A不在直线x2y30上，两直线不能重合，b2.法二：在直线x2y30上任取两点P1(1,1)，P2(3,0)，则P1，P2关于点A的对称点P1，P2都在直线ax4yb0上，易知P1(1，1)，P2(1,0)，b2.答案：28设直线l经过点A(1,1)，则当点B(2，1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为_解析：设点B(2，1)到直线l的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl，直线l的方程为y1(x1)，即3x2y50.答案：3x2y509已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解析：(1)l1l2，a(a1)b0.又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立可得：a2，b2或a，b2.10已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程解析：设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得(1)把x4，y5代入得x2，y7，P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.B级能力提升1(xx洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排除C，故选D答案：D2(xx四川卷)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：由题意可知点A为(0,0)，点B为(1,3)又直线xmy0的斜率k1，直线mxym30的斜率k2m，k1k21.两条动直线互相垂直又由圆的性质可知，动点P(x，y)的轨迹是圆，圆的直径为|AB|.|PA|PB|5.当且仅当|PA|PB|时，等号成立|PA|PB|的最大值是5.答案：53已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或.l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.4A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解析：如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A(0,400)，点B(a,100)过点B作BCAO于点C在ABC中，AB500，AC400100300，由勾股定理得BC400，B(400,100)点A(0,400)关于x轴的对称点A(0，400)，由两点式得直线AB的方程为yx400.令y0，得x320，即点P(320,0)故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短第三节圆的方程1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题的思想1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24F0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()答案：(1)(2)(3)2方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()Am1Bm或m1CmDm1解析：由D2E24F16m2420m0，解得m1或m，故选B答案：B3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1B0a1Ca1或a1Da1解析：点(1,1)在圆内，(1a)2(1a)20)，则圆心坐标为.由题意可得消去F得，解得，代入求得F12，所以圆的方程为x2y26x4y120，标准方程为(x3)2(y2)225.法二：因为A(0，6)，B(1，5)，所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率kAB1，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y，即xy50.圆心C的坐标是方程组的解，解得，所以圆心C的坐标是(3，2)圆的半径长r|AC|5，所以，圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 .(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值与圆有关的最值问题已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.1已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值与最小值分别为_解析：设k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值由1，解得k.答案：2若本例中的条件不变(1)求点P(x，y)到直线3x4y120的距离的最大值和最小值(2)求x2y2的最大值和最小值解析：(1)圆心(2,0)到直线3x4y120的距离为d，P(x，y)到直线3x4y120的距离的最大值为，最小值为.(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.3设圆x2y22的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为_解析：设点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(0，b)(a，b0)，则直线AB的方程为1，即bxayab0，因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d，整理得ab，即2(a2b2)(ab)24ab，所以ab4，当且仅当ab时取等号，又|AB|2，所以|AB|的最小值为2，此时ab，即ab2，切线l的方程为1，即xy20.答案：xy20与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题与圆有关的轨迹问题已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程解析：(1)设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1)求与圆有关的轨迹问题的四种方法A级基础训练1(xx四川成都外国语学校)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21解析：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，它关于直线xy10对称的点为(2，2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.答案：B2若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A(，2)B(，1)C(1，)D(2，)解析：曲线C的方程可化为(xa)2(y2a)24，则该方程表示圆心为(a,2a)，半径等于2的圆因为圆上的点均在第二象限，所以a2.答案：D3圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()A30B18C6D5解析：由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线xy140的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的差为6.答案：C4已知二元二次方程Ax2Cy2DxEyF0，则是方程表示圆的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件解析：取AC4，D2，E2，F1时，满足但是4x24y22x2y10不表示圆；方程x2y2x