2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.2 换元法（讲）理

2022年高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.2 换元法（讲）理 换元法又称辅助元素法、变量代换法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关题型作以总结和方法的探讨.学换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：1、 局部换元 局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现. 1.1对于形如的值域（最值）问题，令，化为一元二次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.例1【xx届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考】设函数，是定义域为R上的奇函数（1）求的值；（2）已知，函数，求的值域；（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：试题解析：（1）先利用为上的奇函数得求出以及函数的表达式，（2）先由得，得出函数的单调性，再对进行整理，整理为用表示的函数，最后利用函数的单调性以及值域，得到的值域（3）利用换元法，将不等式转化为对勾函数问题求解，注意分类讨论思想的应用 （3）=，假设存在满足条件的正整数，则，当时，当时，则，令，则，易证在上是增函数，当时，则，令，则，易证在上是减函数，综上所述，是正整数，=3或4存在正整数=3或4，使得对恒成立1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；例2【xx届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算判断其与的关系； （2）令，故，换元得，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3）由，得，即恒成立，求其最值即可.试题解析：（1）函数的定义域为，对任意， ，所以，函数是偶函数（2），令，因为，所以，故，原函数可化为， ，图像的对称轴为直线，当时，函数在时是增函数，值域为； 当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为综上， （3）由，得， 当时， ，所以，所以，所以， 恒成立 令，则， ，由，得，所以， 所以， ，即的取值范围为 1.3、常数换元 例3.【xx届江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知，则的值为_【答案】【解析】由题意得，解得答案： .1.4.复合函数中的换元 例4.已知函数，其中且，（I）若，且时，的最小值是2,求实数的值；（II）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】（I），2分易证在上单调递减，在上单调递增，且，3分当时，由，解得（舍去）4分当时，由，解得.5分综上知实数的值是.6分 .11分故实数的取值范围为.12分1.5.局部换元法与不等式 局部换元法在解关于某个函数的不等式和复杂的不等式证明中，经常用到，通过换元将复杂的不等式问题转化为简单不等式、超越不等式化为一般不等式，将不熟悉的不等式问题转化为熟悉的不等式问题,如在解可化为形式为不等式时，常令，将复杂不等式化为一元二次不等式，解出t的范围，再解不等式关于的简单不等式.例5.【xx届甘肃省西北师范大学附属中学】在等腰梯形中，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 例6.【xx届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查（2月）】已知实数满足，求的取值范围_【答案】【解析】作出可行域如图所示： 令表示可行域内的点到原点的斜率，由图联立直线可得.易知在单调递减，在单调递增.时， ， 时， ， 时， ，所以.故答案为： .1.6 局部换元法与数列在已知数列递推公式求出通项公式中，常用到构造等比或等差数列法，其实质就是换元法，证明与数列有关的不等式，其实质就是求数列的最值，也常用到换元法.例7.已知在数列中，当时，其前项和满足。() 求的表达式；() 设，数列的前项和证明【答案】() ；() 见解析. 【解析】 (1)当时，代入，得，由于，所以，令=，则=2，所以是首项为，公差为2的等差数列，所以=，所以 (2) 所以1.7局部换元法与圆锥曲线联系对圆锥曲线的最值问题或取值范围问题，常转化为函数的最值问题，当函数解析式较为复杂时，常用换元法进行转化.例8.等腰直角内接于抛物线，为抛物线的顶点，的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】因为等腰直角内接于抛物线，为抛物线的顶点， 所以，可设，得，将代入，得，抛物线的方程为，所以，设，则，设，则，时，“” 成立.故选C. 例9.平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点 直线 交曲线E于M，N两点（）求曲线E的方程，并证明：MAN是一定值；（）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值【答案】（）,证明见解析 ()16.【解析】（）设动点P坐标为，当时，由条件得：，化简得，曲线E的方程为，, 由题可设直线的方程为,联立方程组可得 ,化简得： 设,则， 又,则 , 所以,所以的大小为定值 ()，令设在上单调递减 由，得K=0，此时有最大值16.2.三角换元在求函数值域（最值）或不等式证明中，若变量范围为（0,1）或-1,1 ，利用与三角函数值域相似性，可设或；若二元函数二元满足的条件可化为平方和为1的形式,利用与正余弦的平方和为1的相似性，可以用三角代换，化二元函数为三角函数的值域（最值）问题求解，把二元函数化为一元函数，把不熟悉的二元函数函数问题转化为熟悉的三角函数问题，实质上圆的参数方程，椭圆的参数方程就是三角代换，利用三角换元，可以去根号，也可以把二元函数化为一元函数求解.如求函数y的值域时，易发现x0,1，设，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域. 例10.设实数x，y，m，n满足x2y21，m2n23，那么mxny的最大值是( ) A. B2 C. D.2(10)【答案】A.【解析】设xsin，ycos，msin，ncos，其中，(0，180)mxnysinsincoscoscos()故选A项例11.已知实数x、y满足方程x2y24x10. (1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值；【答案】（1）最小值，最大值.（2）最大值，最小值. （2）由(1)知x2y2(2cos)2(sin)274cos.当2k(kZ)时，x2y2有最大值，2k(kZ)时，x2y2有最小值.【反思提升】（1）在用换元法处理不等式时，先将不等式化简看是否是某个函数的不等式问题，若是，常将这个函数换元.（2）在利用构造法求数列通项公式时，常用换元法.（3）对复合函数的零点问题或关于某个函数的方程解得个数问题，常用换元法，令内函数为t或方程中的函数为t,把复合函数的零点问题转化为外函数的零点问题和内函数已知函数值求值问题；将复杂方程转化为两个简单方程问题.