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1 随机事件的概率 核心必知1概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)2频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值3随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生4任何事件的概率是区间0,1上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生问题思考1把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么说此次试验正面朝上的频率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，这样理解正确吗？提示：正确由题意，正面朝上的频率为0.498，通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关2如果某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能够治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈 讲一讲1.下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率实验序号抛掷的次数n正面向上的次数m“正面向上”出现的频率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247尝试解答利用频率的定义，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为：0502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.频数、频率和概率三者之间的关系：(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现；(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化练一练1某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291016进球次数m6897712进球频率(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少？解：(1)进球的频率依次是：0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.(2)这位运动员投篮一次进球的概率P0.76. 讲一讲 2.掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？尝试解答把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点所以掷一颗骰子得到6点的概率是，并不意味着把它掷6次能得到1次6点随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数没有关系 练一练2掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？解：不正确掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为.连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面和反面的可能性还是，不会大于. 讲一讲3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只查看其中有记号的天鹅，设有20只试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量尝试解答设保护区中天鹅的数量为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A捕到带有记号的天鹅，则P(A).第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A).所以，解得n1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500.利用频率近似等于概率的关系求未知量：(1)抽出m个样本进行标记，设总体容量为n，则标记概率为；(2)随机抽取n1个个体，发现其中m1个被标记，则标记频率为；(3)用频率近似等于概率建立关系式；(4)求出n，注意这个n值仅是真实值的近似练一练3为了估计水库中的鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000条，给每条鱼作上记号且不影响其存活，然后放回水库经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条试根据上述数据，估计水库中鱼的条数解：设水库中鱼的条数为n，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的概率为.第二次从水库中捕出500条，带有记号的鱼有40条，则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为，由，得n25 000，所以水库中约有鱼25 000条【解题高手】【易错题】一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查，发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右如果这个调查继续做下去，10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变)你觉得这种看法对吗？说出你的理由错解这种看法是正确的，10年后发生事故的频率等于0.001.错因频率会在某个常数附近摆动，随着试验次数的增加，摆动会越来越小，但不一定等于该常数正解这种看法是错误的随着试验次数的增加，频率会稳定于一个常数附近，这个常数就是概率，但稳定于不一定是等于，况且0.001未必是出租车发生事故的概率1下列事件：长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；经过有信号灯的路口，遇上红灯；从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；下周六是晴天其中，是随机事件的是()AB C D解析：选D 为必然事件；对于，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以是不可能事件；为随机事件2在某市的天气预报中有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指()A明天该地区约有90%的地方会降水，其余地方不降水B明天该地区约有90%的时间会降水，其余时间不降水C在气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D明天该地区降水的可能性为90%解析：选D 明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.3在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，则每个人抽到奖票的概率()A递减 B递增 C相等 D不确定解析：选C 因为每个人获得奖票的概率均为，即抽到奖票的概率与抽取顺序无关4下列事件：明天进行的某场足球赛的比分是31；下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ；同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；射击一次，命中靶心；当x为实数时，x24x40.其中必然事件有_，不可能事件有_，随机事件有_(填序号)答案：5某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率是_解析：由频率定义可知用电量超过指标的频率为0.4，频率约为概率答案：0.46某质检员从一批种子中抽取若干组种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下(单位：粒)：种子粒数25701307002 0003 000发芽粒数24601166391 8062 713发芽率(1)计算各组种子的发芽率，填入上表；(精确到0.01)(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率解：(1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90.(2)由(1)知，发芽率逐渐稳定在0.90，因此可以估计种子的发芽率为0.90.一、选择题1“某彩票的中奖概率为”意味着()A买100张彩票就一定能中奖B买100张彩票能中一次奖C买100张彩票一次奖也不中D购买彩票中奖的可能性为答案：D2抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较()A第一次准确 B第二次准确 C两次的准确率相同 D无法比较解析：选B 用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确3下列结论正确的是()A事件A发生的概率P(A)满足0P(A)1B事件A发生的概率P(A)0.999，则事件A是必然事件C用某种药物对患有胃溃疡的500 名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%D某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C A不正确，因为0P(A)1；B不正确，若事件A是必然事件，则P(A)1；D不正确，某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖，但不一定会发生4给出下列三个命题，其中正确命题的个数为()设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，则硬币出现正面朝上的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率A0B1C2D3解析：选A 均不正确5在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是()A100个手术有99个手术成功，有1个手术失败B这个手术一定成功C99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术D这个手术成功的可能性是99%解析：选D 成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%.二、填空题6一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球_个解析：10075.答案：757在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.答案：8下列说法：一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是；甲乙两人做游戏：抛一枚骰子，向上的点数是奇数，甲胜，向上的点数是偶数，乙胜，这种游戏是公平的；乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从110共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；昨天没有下雨，则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的其中正确的有_(填序号)解析：对于，甲胜、乙胜的概率都是，是公平的；对于，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故错误答案：三、解答题9高一(2)班有50名同学，其中男、女各25人，今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学，试问：碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大？有人说可能性一样大，这种说法对吗？解：这种说法不正确这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个，其中碰到同性同学有24种可能，碰到异性同学有25种可能，每碰到一个同学相当于做了一次试验，因为每次试验的结果是随机的，所以碰到异性同学的可能性大，碰到同性同学的可能性小10某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900)900，1 100)1 100，1 300)1 300，1 500)1 500，1 700)1 700，1 900)1 900，)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48121208223600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.- 8 -
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